專利名稱：填色盤(pán)的制作方法
技術(shù)領(lǐng)域：
本發(fā)明為智力玩具。
地圖四色問(wèn)題是一個(gè)著名的數(shù)學(xué)難題，已有150多年歷史。沒(méi)有這方面的智力玩具。
本發(fā)明的目的是提供這方面的智力玩具。
本發(fā)明的目的是這樣實(shí)現(xiàn)的，設(shè)置一個(gè)圓盤(pán)，圓盤(pán)的邊界圓周有不同于內(nèi)部的顏色。另有V個(gè)(整數(shù))類似棋子的小立方體，每個(gè)小立方體的六個(gè)面，染有選定的六種顏色之一，做成叫頂點(diǎn)的棋子，放在圓周的固定位置，把圓周分為V段，每段叫界邊。頂點(diǎn)向上的一面可以有選定的(6，5或)4種顏色之一。叫做頂點(diǎn)的顏色。另外再用兩種顏色的筆在圓內(nèi)各畫(huà)V-3條連接頂點(diǎn)的弦(同一界邊上的兩頂點(diǎn)不連接)，分別叫內(nèi)邊和外邊。任意二內(nèi)邊(或外邊)不相交。同一條邊(界，內(nèi)或外邊)兩端的頂點(diǎn)叫相鄰。游戲規(guī)則是對(duì)每個(gè)頂點(diǎn)選取6，5或4種顏色之一使它和相鄰的頂點(diǎn)有不同的顏色。
本發(fā)明的具體結(jié)構(gòu)由以下附圖和實(shí)施例給出。


圖1，填色盤(pán)俯視圖。
圖2，地圖四色問(wèn)題定義的平面圖及其不完全圖。
圖3，片狀圖。
圖4，MX＝2，My＝2的平面5，MX＝4，MY＝2的平面圖。
圖6，MX＝2，MY＝3的平面圖。
圖1，設(shè)置一個(gè)圓盤(pán)1，圓盤(pán)的邊界圓周有不同于內(nèi)部顏色。另有V個(gè)(整數(shù))類似棋子的小立方體，每個(gè)小立方體的六個(gè)面，染有選定的六種顏色之一，做成叫頂點(diǎn)2的棋子，放在圓周的固定位置，把圓周分為V段，每段叫界邊3。頂點(diǎn)向上的一面可以有選定的(6，5或)4種顏色之一。叫做頂點(diǎn)的顏色。另外再用兩種顏色的筆在圓內(nèi)各畫(huà)V-3條連接頂點(diǎn)的弦(同一界邊上的兩頂點(diǎn)不連接)，分別叫內(nèi)邊和外邊。任意二內(nèi)邊(或外邊)不相交。同一條邊(界，內(nèi)或外邊)兩端的頂點(diǎn)叫相鄰。游戲規(guī)則是對(duì)每個(gè)頂點(diǎn)選取6，5或4種顏色之一使它和相鄰的頂點(diǎn)有不同的顏色。
本智力玩具可行性由以下證明給出。
任意平面圖可以用四種顏色著色崔世泰摘要本文給出平面圖的不完全圖，片狀圖，條以及它們的容許解集合的定義。用它們分析平面圖的相關(guān)結(jié)構(gòu)特征。利用這些特征證明平面圖的容許解集合非空。
關(guān)鍵詞平面圖不完全圖片狀圖條容許解用A記“地圖四色問(wèn)題”(歐陽(yáng)光中著)定義的平面圖，圖A的每個(gè)面都是三角形，頂點(diǎn)的集合記為U，U＝{v1，v2，....vv}.|U|＝V.|U|表示集合U中元的個(gè)數(shù)。
設(shè)已給平面圖A(圖1)。用把圖A重新描一遍的方法定義A的不完全圖X。
描的步驟是1，描任取定的一條起始邊ab及其兩頂點(diǎn)a，b。已描部分記為K。2，取頂點(diǎn)v3，v3和K中的一條邊構(gòu)成A的一個(gè)三角形面T1。這條邊的兩頂點(diǎn)叫下頂點(diǎn)，v3叫上頂點(diǎn)，描中T1未描部分，已描部分(包括K)記為K1。3，設(shè)已描出Kj，取不屬于Kj的頂點(diǎn)vj+1，vj+1和Kj中的一條邊構(gòu)成A的一個(gè)三角形面Tj+1，這條邊的兩頂點(diǎn)叫Tj+1的下頂點(diǎn)，vj+1叫的上頂點(diǎn)。描Tj+1中未描部分。由于A有限且連通，描出KV-2時(shí)已描出全部V個(gè)頂點(diǎn)。定義KV-2為A的不完全圖X，_用粗線標(biāo)出。X有一個(gè)V邊形作邊界，邊界內(nèi)有V-2個(gè)三角形面。邊界上的邊叫界邊，邊界內(nèi)的邊叫內(nèi)邊。顯然界邊數(shù)是V，內(nèi)邊數(shù)是(3(V-2)-V)/2＝V-3。選取不同的起始邊以及描的過(guò)程中上頂點(diǎn)順序的不同都會(huì)得到不同的X。X的V-2個(gè)三角形面和V個(gè)頂點(diǎn)按描出過(guò)程有序OT(X)＝T1，T2，....TV-2，和OV(X)＝v1，v2，....vv，其中v1＝a，v2＝b，設(shè)已按初始ab邊描出一個(gè)X，可以選另一條邊作起始邊和/或，選另一個(gè)上頂點(diǎn)序描出同一個(gè)X。圖A中不屬于X的邊叫X外邊。
用EB，EX，EY各表示全體界邊，全體內(nèi)邊，全體外邊的集合。顯然Y＝EBUEY也是圖A的不完全圖Y，EY是Y的內(nèi)邊，EX是Y的外邊?？梢园训墓步邕叜?huà)成凸的(如圓，圖2)。EX和EY分別用實(shí)直線和虛直線表示，這樣的圖叫圖A的片狀圖。片狀圖有如下明顯的特征1，X的兩條內(nèi)邊(或兩條外邊)不在圓內(nèi)相交。2，X的外邊總是和部分內(nèi)邊相交，與同一外邊相交的所有內(nèi)邊含于的一個(gè)條(定義見(jiàn)下文)內(nèi)。3，有一對(duì)內(nèi)外邊重合時(shí)，片狀圖可以分為兩個(gè)子片狀圖。
X有樹(shù)型結(jié)構(gòu)。任取含于的一個(gè)三角形T，X內(nèi)與該三角形相鄰的三角形的個(gè)數(shù)叫T的分支數(shù)nT，nT≤3。nT＝3的三角形叫內(nèi)三角形。X的部分三角形構(gòu)成的連通子圖叫條F，如果F中所有三角形的nT≤2。顯然F中相鄰的三角形必定有連續(xù)的序號(hào)。約定第一個(gè)頂點(diǎn)和最后一個(gè)頂點(diǎn)都不是內(nèi)邊的頂點(diǎn)，叫始頂點(diǎn)和終頂點(diǎn)。條的序叫條序，記為O(F)或r1-r2。條也可以反向描出，其序?yàn)閞2-r1。條的始終兩頂點(diǎn)把邊界分為兩側(cè)，站在始頂點(diǎn)面向終頂點(diǎn)(叫正向)左邊是左側(cè)，右邊是右側(cè)。每一側(cè)的頂點(diǎn)序號(hào)都是沿正向單調(diào)增加。條的部分三角形構(gòu)成的連通子圖叫束，記為Su，如果這些三角形有公共頂點(diǎn)p，并且p和子圖其余叫底頂點(diǎn)的若干頂點(diǎn)分別位于條的兩側(cè)。束的序號(hào)也按描出的順序標(biāo)記。約定相鄰的兩束的公共邊屬于前一個(gè)束。始頂點(diǎn)和終頂點(diǎn)是條的最末端的頂點(diǎn)，也叫末頂點(diǎn)。一般情況不完全圖X包括內(nèi)三角形。從一個(gè)內(nèi)三角形T1沿它的兩個(gè)描出方向在x內(nèi)描出的最大條叫初條F，初條F上的內(nèi)三角形設(shè)為T(mén)1，T2，...由T1，T2，...沿第三個(gè)方向在X內(nèi)描出的最大條為一級(jí)支條F1，F(xiàn)2，.....在每個(gè)一級(jí)支條上重復(fù)上述過(guò)程有二級(jí)支條。用MX記X的末頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，或分支數(shù)。HX記X的內(nèi)三角形個(gè)數(shù)。由于每個(gè)支條只有一個(gè)末頂點(diǎn)，所以MX＝HX+2。從每個(gè)末頂點(diǎn)描到最近的內(nèi)三角形構(gòu)成的條叫邊緣條，記為Fb。X的序可以表示為初條F和支條F1，F(xiàn)2，....的序的順序連接.O(X)＝O(F)，OF1)，O(F2)，...例，如圖5，HX＝2，MX＝4，O(F)＝r1-r2，O(F1)＝a3-r3，O(F2)＝a4-r4，末頂點(diǎn)為r1，r2，r3，r4。對(duì)應(yīng)的邊緣條O(Fb1)＝a1-r1(只有一個(gè)三角形)，O(Fb2)＝a2-r2，O(Fb3)＝a3-r3，O(Fb4)＝a4-r4.。O(X)＝O(F)，O(F1)，O(F2)，....＝r1，b4，a1，a4，a，a3，a2，b3，r2，c3，r3，c4，r4。
用D＝{1，2，3，4}記四種顏色的集。用這四種顏色對(duì)不完全圖X的頂點(diǎn)集U＝{1，2，....，v}著色。著色是給頂點(diǎn)集U中每個(gè)頂點(diǎn)i一種顏色或一個(gè)坐標(biāo)。將頂點(diǎn)i著顏色2記為c(i)＝2，或cI＝2。下面按O(X)序給出的一個(gè)最大容許解集合S(X)，每個(gè)容許解s是V維空間DV＝(1，2，....V)中的一點(diǎn)。待著色的頂點(diǎn)和已著色的頂點(diǎn)必須滿足相鄰頂點(diǎn)顏色不同的條件，叫約束方程。i＝1時(shí)，約束方程Uc1t＝D有四個(gè)解c1t＝t，t＝1，2，3，4。i＝2時(shí)，約束方程Uc2k＝D-c1t有三個(gè)解。i＝3時(shí)約束方程Uc3f＝D-c1t-c2k。有兩個(gè)解c31，c32。設(shè)已著色部分點(diǎn)集Ui為{1，2，3，....，i}，Ui的全部容許解集合為Si(X)。當(dāng)i≥2時(shí)，對(duì)Si(X)中每個(gè)解s＝(c1，c2，...，ci)按圖X的描出過(guò)程正向倍增成為Si+1中的兩個(gè)解s1＝c1，c2，...，cI，cI+12)和s2＝(c1，c2，...，cI，cI+12)。其中i+1是三角形TI-1的上頂點(diǎn)，TI-1下頂點(diǎn)是m，n..m，n≤i，約束方程是{cI+11，cI+12，cm，cn}＝D，當(dāng)s取遍SI(X)時(shí)得SI+1(X)。重復(fù)這一過(guò)程或用歸納法得SV(X)或S(X)。|S(X)|＝3(2V)＝N。cI+1t，t＝1，2，3，叫s的ci坐標(biāo)的后續(xù)坐標(biāo)。對(duì)任意給定的cj，j＜i如果有t＝1，2或3(i＝1)使cj＝cI+1t該后續(xù)坐標(biāo)叫關(guān)于cj的偽后續(xù)坐標(biāo)，否則叫真后續(xù)坐標(biāo)。當(dāng)X添加外邊(j，i)時(shí)，偽后續(xù)坐標(biāo)及由其正向倍增的全部解都被刪除。
下面研究X是條F時(shí)解集合S(F)的特征。圖4設(shè)F的左右側(cè)頂點(diǎn)順序各為U1＝{i1，i2，...ih}，Ur＝{j1，j2，....jK}。其中i1＝j(luò)1＝1，ih＝j(luò)K＝V。把S(F)中的每個(gè)解s＝(c1，c2，...cv)刪去除c1，cv外的所有右側(cè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，合并相同的，即相同的只取一個(gè)，得到左側(cè)頂點(diǎn)的解集合S1(F)＝{s1}＝{c(i1)，c(i2)，....c(ih)}。s1是s在子空間(i1，i2，...ih)上的投影。同理有右側(cè)頂點(diǎn)集Ur的解集合Sr(F)＝{sr}＝{(c(j1)，c(j2)，...c(jk)}。把S1(F)和Sr(F)中的解s1，sr刪除c1，cv以后的h-2，k-2個(gè)坐標(biāo)叫約束解s11，sr1。從圖4可以看出S1(F)也有倍增性，即對(duì)任意給定的一個(gè)右側(cè)約束解sr1，f＝1時(shí)，給定c1后，有c31，c32滿足{c31，c32，c1，c2}＝D。f＝2，給定c3后，有c61，c62滿足{c61，c62，c3，c5}＝D......仿照前面的記號(hào)，對(duì)S1f(F)中每個(gè)解s1＝(c(i1)，c(i2)，...c(if))，c(if)有兩個(gè)后續(xù)坐標(biāo)c1(if+1)，c2(if+1)使s11＝(c(i1)，c(i2)，...c(if)，c1(if+1))，s12＝(c(i1)，c(i2)，...c(if)，c2(if+1))成為S1(f+1)(F)中的兩個(gè)解。此外還有反向倍增性。如果S1(F)的兩個(gè)解s11，s12的if，if+1，...ih坐標(biāo)都相同，為(c(if)，c(if+1)，....c(ih))即它們?cè)谧涌臻g(if，if+1，...ih)上的投影相同。則兩個(gè)解的c(if-1)坐標(biāo)(叫在先坐標(biāo))c1(if-1)，c2(if-1)不同。顯然，這些性質(zhì)對(duì)右側(cè)解集合也成立。
定理1 MX＝2，MY＝2時(shí)A可以用四種顏色著色。
證明下面提到的內(nèi)邊外邊都是指X的內(nèi)邊外邊。由于Y也是條，是若干束的順序連接。Y的頂點(diǎn)使用圖X上已有的頂點(diǎn)標(biāo)記1，2，.......V.Y的一個(gè)束，其底頂點(diǎn)的序號(hào)或者都小于公共頂點(diǎn)的序號(hào)，叫下束?；蛘叨即笥诠岔旤c(diǎn)的序號(hào)，叫上束。這兩種束叫非平凡。不可能部分底頂點(diǎn)序號(hào)小于公共頂點(diǎn)序號(hào)，部分大于公共頂點(diǎn)序號(hào)。因?yàn)槟菢釉撌幸粋€(gè)外邊與的內(nèi)邊重合。片狀圖可以分為兩個(gè)子片狀圖。同樣，作為條其始終頂點(diǎn)必須位于條的兩側(cè)，叫非平凡，否則也有一條外邊與內(nèi)邊重合。
現(xiàn)在按O(Y)序添加Y中的束所包含的外邊。圖4設(shè)Y的始終頂點(diǎn)為ji，it。圖中ji＝5，it＝11。各在的右左側(cè)，第一個(gè)束Su1＝{(jI-1，jI+1)，(jI-2，jI-2，)，...，(jI- 1，jI+a)}＝{(4，8)，(4，9)}，為上束，其中Su1所包含的外邊數(shù)w1＝a＝2。添加(jI-1，jI+1)后，刪去Sri(F)每個(gè)解中坐標(biāo)c(jI))的關(guān)于c(jI-1)的在頂點(diǎn)jI-1上的偽后續(xù)坐標(biāo)c1(jI+1)或c2(jI+1)。把從外邊(jI-1，jI+1)的底頂點(diǎn)jI+1指向始點(diǎn)jI的界邊(jI，jI+1)叫刪邊。對(duì)于Su1中的其余外邊，仿照此法添加。添加第二條外邊(jI-1，jI+2，)后，從它的底頂點(diǎn)jI+2指向始頂點(diǎn)ji的界邊(jI+1，jI+2)成為刪邊。以上表述適用于上束中的公共頂點(diǎn)jI-1和底頂點(diǎn)在X的同一(左或右)側(cè)，上乘(Su1)中的外邊公共頂點(diǎn)(jI-1)和底頂點(diǎn)(ip)在異側(cè)時(shí)，該外邊(jI-1，ip)，p≥t+1，添加后，刪去S1(p-1)(F)中每個(gè)解坐標(biāo)c(ip-1)關(guān)于c(jI-1)在頂點(diǎn)ip上的偽后續(xù)坐標(biāo)c1(ip)或c2(ip)。從外邊(jI-1，ip)的底頂點(diǎn)ip指向終頂點(diǎn)it的界邊(ip-1，ip)成為刪邊。這些表述也適用于第z，z＞1，個(gè)上束，只要把相應(yīng)的頂點(diǎn)序號(hào)作替換。添加第二個(gè)束Su2＝{(jI-2，jI+a)，(jI-3，jI+a)，....(jI-B，jI+a)}＝{(2，9)，(1，9)}為下束，含w2＝b-1＝2條外邊。添加其中第一條外邊(jI- 2，jI+A)后，刪去Sr(I+a)中每個(gè)解在空間(jI-1，jI，....jI+A)上的投影的c(jI-1)坐標(biāo)的偽在先坐標(biāo)c1(jI-2)或c2(jI-2)。從外邊底頂點(diǎn)(jI-2)指向的始頂點(diǎn)jI的界邊(jI-2，jI-1)成為刪邊。Su2中的其余外邊仿照此法添加。這里的表述適用于下束中外邊底頂點(diǎn)(jI-b)和公共頂點(diǎn)(jI+a)在X的同一(左或右)側(cè)。當(dāng)下束(Su2)中外邊的底頂點(diǎn)(ip)和公共頂點(diǎn)(jI+a)異側(cè)時(shí)，該外邊為(ip，jI+a)，p＜t，添加后刪去S1(p-1)(F)中每個(gè)解坐標(biāo)c(io-1)關(guān)于c(jI+a)在頂點(diǎn)ip上的偽后續(xù)坐標(biāo)c1(ip)或c2(ip)。外邊(ip，jI+a)的底頂點(diǎn)ip指向終頂點(diǎn)it的界邊(ip-1，ip)成為刪邊。用X的始終頂點(diǎn)1，V和Y的始終頂點(diǎn)jI，it把的邊界分為四段圓弧jIV，Vit..it1，1jI，則上束中的外邊刪邊都在弧jIV，Vit上，即1，2象限，下束中外邊的刪邊都在it1，1jI上，即3，4象限。1，4象限的刪邊都指向jI。2，3象限的刪邊都指向it。添加V-3條刪邊后，有V-3個(gè)界邊成為刪邊。在圖4中界邊(jI，jI-1)，(ih-1，ih)，(it，it+1)不是刪邊。每次添加外邊刪除的解的數(shù)目不超過(guò)添加前解的數(shù)目的一半。故添加V-3條外邊后的解的數(shù)目|S(A)|≥N2-(V-3)＝24，即非空?？紤]到四種顏色有24種排列，實(shí)際不同的解的數(shù)目大于1。證明完畢。
本證明中所用的刪除法叫1號(hào)刪除法，或1法。在圖上按O(Y)序添加到第k條外邊d時(shí)，外邊d將X的邊界分為兩段弧，分別包含Y的始頂點(diǎn)和終頂點(diǎn)，叫始弧和終弧。始弧(或終弧)和外邊d一起構(gòu)成以始(或終)頂點(diǎn)為末頂點(diǎn)的邊緣條叫始(或終)邊緣條。添加k條外邊得到k條刪邊，包括全部在邊界上的刪邊和第一個(gè)束的第一條外邊頂點(diǎn)的最短的連通弧叫始邊緣條的1號(hào)刪邊弧。例如圖4，添加3條外邊(4，8)，(4，9)，(2，9)后的刪邊弧為連接頂點(diǎn)2，4，5，8，9的弧?，F(xiàn)在給出2號(hào)刪除法，把Y中的束Suk，k＝1，2，....中的最后一條外邊改劃歸Su(k+1)，成為Su(k+1)中的第一條外邊。例如圖4，Su1的最后一條外邊(4，9)不再屬于Su1而屬于Su2。經(jīng)過(guò)這樣的改變后再用1號(hào)刪除法。例如圖4中添加(4，8)，(4，9)，(2，9)后為連接頂點(diǎn)2，4，5，8的弧。在2號(hào)刪除法中只改變第k條外邊(2，9)的刪邊位置，由在底頂點(diǎn)改為在公共頂點(diǎn)(或相反)可以使弧Su2在邊界上移動(dòng)一個(gè)界邊的距離。叫的位置的修正。例如上例中把外邊(2，9)刪邊由(2，4)改為(8，9)，修正為連接4，5，8，9的弧。
定理2 MX＝2，My＞2時(shí)A可以用四種顏色著色。
證明首先設(shè)M，＝3，如圖6，Y有一內(nèi)三角形(2，6，9)。有三個(gè)末頂點(diǎn)3，5，11。三個(gè)邊緣條Fb3，F(xiàn)b5，F(xiàn)b11。5-6是Y中包括Fb5的一個(gè)條，該條的內(nèi)邊數(shù)等于頂點(diǎn)數(shù)減3，因而等于右側(cè)在頂點(diǎn)9，2之間的頂點(diǎn)數(shù)z，這里z＝3.3條內(nèi)邊是(4，8)，(4， 9)，(2，9)。以頂點(diǎn)5為始頂點(diǎn)在X內(nèi)按序5-6添加這z條內(nèi)邊，按2號(hào)刪除法有始邊緣條刪邊弧Hu2。現(xiàn)在把這z條內(nèi)邊暫用共頂點(diǎn)6的z條內(nèi)邊(6，4)，(6，5)，(6，8)代替，叫代內(nèi)邊。代替后，不存在Fb5，Y的分支數(shù)減少1。由定理1，用1號(hào)刪除法可以得到全部刪邊分布，把包含全部代內(nèi)邊在邊界上的刪邊的最短連通邊界弧HuI叫代弧。根據(jù)1號(hào)和2號(hào)刪除法以及簡(jiǎn)單的計(jì)算修正，有HuI＝Hu2故命題成立。再用歸納法知My＞3時(shí)命題也成立。定理得證。
定理3 MX＞2，MY＝2時(shí)A可以用四種顏色著色。
證明首先介紹當(dāng)MX＞2，MY＝2時(shí)圖X的正規(guī)序。把邊界畫(huà)成圓形，X的全部h個(gè)末頂點(diǎn)r1，r2，...rh把圓周分為h段弧r1r2，r2r3，...rhr1。每段弧的兩端點(diǎn)是X中一個(gè)條的始終頂點(diǎn)。設(shè)Y的始頂點(diǎn)a位于弧r1r2上，如圖5(其中h＝4)，把r1-r2取作初條F，則初條F有兩個(gè)支條ah-rh，a3-r3分別連接兩相鄰的末頂點(diǎn)rh，r3，當(dāng)按O(Y)序描外邊時(shí)開(kāi)始外邊都在初條F內(nèi)，然后有某個(gè)外邊(r2，r4)的底頂點(diǎn)r4進(jìn)入支條ah-rh，a3-r3之一，設(shè)進(jìn)入ah-rh(圖5)。ah-rh即定義為支條F1。該外邊(r2，r4)在條rh-r2中。接著把rh-r2當(dāng)作初條，即定義為過(guò)渡初條F1重復(fù)上述過(guò)程。條rh-r2有兩支條ah-1-rh-1，a3-r3，分別連接兩相鄰末頂點(diǎn)rh-1，r3按O(Y)序繼續(xù)描外邊，當(dāng)某個(gè)外邊(r3，r4)的一個(gè)底頂點(diǎn)r3進(jìn)入支條ah-1-rh-1a3-r3之一時(shí)，該支條定義為F2。用歸納法有F，F(xiàn)1，F(xiàn)2，....O(X)＝O(F)，O(F1)，.....為X的正規(guī)序。初條和支條，支條和支條的公共邊，如(a4，b4)，(a3，b3)叫過(guò)渡邊。在X的正規(guī)序中每個(gè)支條的兩側(cè)也有正向和反向倍增性。此外根據(jù)描出過(guò)程有下列補(bǔ)充。過(guò)渡邊，如(a4，b4)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，如c(a4)在初條r1-r2左側(cè)有兩后續(xù)坐標(biāo)c1(a3)，c2(a3)。c(a4)在支條a4-r4右側(cè)也有兩后續(xù)坐標(biāo)c1-(c4)，c2(c4)同理支條a4-r4左側(cè)的坐標(biāo)c(r4)的兩個(gè)在先坐標(biāo)是過(guò)渡邊(a4，b4)的左頂點(diǎn)的坐標(biāo)c1(b4)，c2(b4)。支條的終點(diǎn)坐標(biāo)，如c(r3)，c(r4)無(wú)后續(xù)坐標(biāo)。這些可以推廣到其他過(guò)渡邊及有關(guān)頂點(diǎn)?，F(xiàn)在按O(Y)序在X上添加外邊。設(shè)Y的終頂點(diǎn)為c4。當(dāng)添加的外邊都在初條r1-r2時(shí)，把r1-r2當(dāng)作定理1證明中的條X用1號(hào)刪除法進(jìn)行添加。當(dāng)添加的外邊都在過(guò)度初條F1，rh-r2中時(shí)，把rh-r2當(dāng)作定理1證明中的條X用1號(hào)刪除法進(jìn)行添加....。添加完V-3條外邊后，X的V-3條界邊或過(guò)渡邊成為刪邊，并且沒(méi)有重復(fù)。故定理成立定理4 MX＞2，MY＞2時(shí)A可以用四種顏色著色。
證明。和定理2的證明相同。關(guān)于1號(hào)，2號(hào)刪除法，代弧HuI，刪邊弧Hu2，Hu2的定義表述與前面相同，取Y中的一個(gè)邊緣條Fb，用共頂點(diǎn)的代邊取代Fb的內(nèi)邊，使Y的分支數(shù)減少1，根據(jù)歸納法可以得到代弧HuI。設(shè)Fb和與之相連內(nèi)三角形構(gòu)成條為Fb1，添加Fb1的全部?jī)?nèi)邊有2號(hào)刪邊弧Hu2。由于Hu2＝HuI，定理得證。
權(quán)利要求
1，一種填色盤(pán)，其特征是包括一個(gè)圓盤(pán)和圓盤(pán)近邊界圓周上的V個(gè)頂點(diǎn)，圓周被V個(gè)頂點(diǎn)分成V段界邊，在頂點(diǎn)之間有連接頂點(diǎn)的V-3條內(nèi)邊和V-3條外邊。
全文摘要
本發(fā)明為與地圖四色問(wèn)題有關(guān)的智力玩具。包括一個(gè)圓盤(pán)，圓盤(pán)的近邊界有一圓周，有不同于內(nèi)部的顏色。另有V個(gè)(整數(shù))類似棋子的小立方體，每個(gè)小立方體的六個(gè)面，染有選定的六種顏色之一，做成叫頂點(diǎn)的棋子，放在圓周的固定位置，把圓周分為V段，每段叫界邊。頂點(diǎn)向上的一面可以有選定的(6，5或)4種顏色之一。叫做頂點(diǎn)的顏色。另外再用兩種顏色的筆在圓內(nèi)各畫(huà)V－3條連接頂點(diǎn)的弦(同一界邊上的兩頂點(diǎn)不連接)，分別叫內(nèi)邊和外邊。任意二內(nèi)邊(或外邊)不相交。同一條邊(界，內(nèi)或外邊)兩端的頂點(diǎn)叫相鄰。游戲規(guī)則是對(duì)每個(gè)頂點(diǎn)選取6，5或4種顏色之一使它和相鄰的頂點(diǎn)有不同的顏色。
文檔編號(hào)A63F9/06GK1502390SQ02145328
公開(kāi)日2004年6月9日 申請(qǐng)日期2002年11月21日 優(yōu)先權(quán)日2002年11月21日
發(fā)明者崔世泰 申請(qǐng)人:崔阿年