專利名稱：一種有厚度的梁?jiǎn)卧?jì)算方法
技術(shù)領(lǐng)域：
本發(fā)明涉及一種有厚度的梁?jiǎn)卧?jì)算方法。
背景技術(shù)：
目前地下結(jié)構(gòu)的計(jì)算方法主要分為荷載結(jié)構(gòu)法與地層結(jié)構(gòu)法。荷載結(jié)構(gòu)法和地層結(jié)構(gòu)法均可以用數(shù)值方法來(lái)求解。目前常用的有限單元法軟件采用專門的桿梁板殼單元來(lái)模擬這些結(jié)構(gòu)桿件，但這樣的處理仍會(huì)帶來(lái)一些麻煩，比如隧道一襯和二襯的二維分析，如果將一襯和二襯都簡(jiǎn)化為梁，無(wú)論采用一襯還是二襯的中心線或與一襯相接的圍巖輪廓線作為梁的計(jì)算位置，與實(shí)際相比都有較大的距離，而且桿梁模型的簡(jiǎn)化會(huì)給進(jìn)一步的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和驗(yàn)算帶來(lái)較大的不便；而且按照梁?jiǎn)卧睦碚摚B拱隧道的中墻部分顯然不能簡(jiǎn)化為梁?jiǎn)卧獊?lái)進(jìn)行計(jì)算。
為了較為準(zhǔn)確地考慮隧道的初襯、二襯或中墻等結(jié)構(gòu)的實(shí)際承載和受荷作用，可以采用實(shí)體單元來(lái)進(jìn)行模擬。但由于隧道的二襯等是以彎曲為主的構(gòu)件，從材料力學(xué)的知識(shí)知道，襯砌結(jié)構(gòu)的擾曲函數(shù)次數(shù)一般比較高，故需要沿厚度方向多布幾層低階單元(一般5層)或用一層高階單元來(lái)分析才能達(dá)到足夠的精度，給編程處理和實(shí)際計(jì)算帶來(lái)了一定的困難襯砌的厚度一般比較薄，沿厚度方向布幾層低階單元會(huì)需要很多的離散單元，并可能會(huì)產(chǎn)生畸形單元帶來(lái)較大的計(jì)算誤差；而采用有限元的高階單元會(huì)存在邊中結(jié)點(diǎn)，且有時(shí)為了地層和結(jié)構(gòu)離散的方便及控制總的求解自由度等的需要，要求采用過(guò)渡單元，等給前處理及編程帶來(lái)了困難，當(dāng)然該困難是相對(duì)的，隨著計(jì)算機(jī)圖形技術(shù)和前處理技術(shù)的發(fā)展，高階的等參單元及過(guò)渡單元也時(shí)常有一定的應(yīng)用。
低階單元由于具有前處理網(wǎng)格離散方便等特點(diǎn)，在巖土工程數(shù)值計(jì)算中被廣泛使用，但由上述第一個(gè)問(wèn)題可以知道，用于桿梁?jiǎn)卧x散需要過(guò)多的單元給實(shí)際應(yīng)用帶來(lái)了較多的不便。該問(wèn)題可以通過(guò)廣義結(jié)點(diǎn)有限單元法的高階位移函數(shù)來(lái)得到解決將桿、梁等線單元?jiǎng)澐譃閷?shí)體單元，采用傳統(tǒng)的有限元網(wǎng)格作為廣義結(jié)點(diǎn)有限單元法的數(shù)學(xué)覆蓋，在物理覆蓋上采用級(jí)數(shù)形式的位移函數(shù)，通過(guò)增加流形單元覆蓋位移函數(shù)的階數(shù)而不是單元的結(jié)點(diǎn)數(shù)來(lái)提高數(shù)值求解的精度，而且還可以在分析區(qū)域的不同地方(如結(jié)構(gòu)桿件、應(yīng)力集中)采用不同階次的覆蓋位移函數(shù)來(lái)提高精度和求解效率。

發(fā)明內(nèi)容
本發(fā)明的目的在于提供一種有厚度的梁?jiǎn)卧?jì)算方法。采用實(shí)體單元進(jìn)行二維桿、梁等線單元的分析求解，再按通常的桿、梁?jiǎn)卧碚搶⒃搶?shí)體單元的應(yīng)力計(jì)算結(jié)果轉(zhuǎn)化為工程常用的彎距、軸力和剪力等。
采用的桿梁?jiǎn)卧紤]結(jié)構(gòu)的實(shí)際幾何厚度和尺寸，同時(shí)又能給出工程所需的剪力、軸力和彎矩等內(nèi)力，為了區(qū)別于傳統(tǒng)的桿、梁線單元，將該單元命名為廣義梁?jiǎn)卧?，?jiǎn)稱廣義梁元。具體技術(shù)方案如下1、將傳統(tǒng)有限元的結(jié)點(diǎn)自由度廣義化，認(rèn)為每一結(jié)點(diǎn)為可以有任意多個(gè)廣義自由度的點(diǎn)，得到廣義結(jié)點(diǎn)有限元的位移函數(shù)表達(dá)式U=Σi=1nNiΣj=1mifij(x,y)00fij(x,y)di,2j-1di,2j=Σi=1nNiFiDi=Σi=1nN‾iDi]]>式中Ni(ξ，η)為定義在規(guī)則坐標(biāo)系下的插值形函數(shù)，fij為多項(xiàng)式級(jí)數(shù)，采用拉格朗日多項(xiàng)式；Fi為多項(xiàng)式矩陣；Ni為插值函數(shù)矩陣，Di為結(jié)點(diǎn)i的廣義自由度向量，其形式為Di=di,1di,2Ldi,2miT.]]>2、根據(jù)上述廣義結(jié)點(diǎn)有限單元的位移函數(shù)，可以按傳統(tǒng)有限元法同樣的步驟求得單元得應(yīng)力，然后將實(shí)體單元的應(yīng)力計(jì)算結(jié)果按桿、梁?jiǎn)卧碚撧D(zhuǎn)化為工程中的彎距、軸力和剪力。具體的轉(zhuǎn)化方法是對(duì)于有厚度的梁?jiǎn)卧娜我鈾M斷面，用直接積分的方法求結(jié)構(gòu)的軸力、彎矩、剪力，即內(nèi)力，其計(jì)算方法如下式N=∫-h2h2σxdyM=∫-h2h2σxydyQ=∫-h2h2τxydy]]>式中N，M，Q為結(jié)構(gòu)的軸力、彎矩、剪力h為單元斷面厚度；σx為單元水平應(yīng)力；τxy為單元剪應(yīng)力；y為積分坐標(biāo)。
3、采用高斯積分的方法求解所述N，M，Q，即
N=ΣiwiσxiM=ΣiwiσxiyiQ=Σiwiτxyi]]>式中wi=h2Hi,]]>Hi為積分權(quán)系數(shù)；yi=h2ξi,]]>ξi為積分點(diǎn)坐標(biāo)，ξi∈[-1 1]；σxi，τxyi為ξi點(diǎn)的局部坐標(biāo)系下的應(yīng)力。
4、將ξi轉(zhuǎn)換成總體坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，根據(jù)總體坐標(biāo)(xi，yi)可以找到該點(diǎn)所在的平面單元，得到該平面單元的廣義結(jié)點(diǎn)位移De，進(jìn)而可以求得該點(diǎn)在總體坐標(biāo)系下的應(yīng)力σxi、σyi和τxyi，應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣，然后將總體坐標(biāo)系下的應(yīng)力σxi、σyi和τxyi轉(zhuǎn)換成局部坐標(biāo)系下的應(yīng)力σxi、σyi和τxyiσxi=σ‾xicos2β+σ‾yisin2β+2τ‾xyisinβcosβτxyi=(σ‾yi-σ‾xi)sinβcosβ+τ‾xyi(cos2β-sin2β)]]>將式上式代入下式，N=∫-h2h2σxdyM=∫-h2h2σxydyQ=∫-h2h2τxydy]]>求出廣義梁?jiǎn)卧摂嗝娴膬?nèi)力。
采用本發(fā)明有厚度的梁?jiǎn)卧?jì)算方法，保證了線單元模擬的數(shù)值精度，同時(shí)又克服了常用的桿梁線單元計(jì)算位置與實(shí)際位置不相符合從而帶來(lái)計(jì)算誤差和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)不便等缺點(diǎn)，以便于一些負(fù)責(zé)結(jié)構(gòu)進(jìn)一步的設(shè)計(jì)和分析。
以下結(jié)合附圖及實(shí)施例進(jìn)一步說(shuō)明本發(fā)明。


圖1廣義梁元結(jié)構(gòu)輪廓線示意2廣義梁元中心線及分段說(shuō)明圖3廣義梁元分段單元示意4梁?jiǎn)卧疽?懸臂梁計(jì)算模型圖6梁?jiǎn)卧?jì)算得到的彎距圖7廣義梁?jiǎn)卧?jì)算得到的梁彎距圖8圓形隧洞計(jì)算圖9廣義梁?jiǎn)卧邢拊Ｐ蛨D10廣義梁?jiǎn)卧獜澗貓D(kN.m)圖11廣義梁?jiǎn)卧S力圖(kN)圖12廣義梁?jiǎn)卧袅D(kN)具體實(shí)施方式
一種有厚度的梁?jiǎn)卧?jì)算方法，其計(jì)算過(guò)程如下1、根據(jù)有限元基本原理，單元位移函數(shù)可寫為u=Σi=1nNi(ξ,η)uiv=Σi=1nNi(ξ,η)vi---(1)]]>式中n為單元結(jié)點(diǎn)數(shù)；ui、vi為結(jié)點(diǎn)i在x、y方向的位移；Ni(ξ，η)是定義在規(guī)則坐標(biāo)系下的插值形函數(shù)，對(duì)四邊形四結(jié)點(diǎn)單元，表達(dá)式如下Ni(ξ,η)=14(1+ξiξ)(1+ηiη)---(2)]]>其中，ξi、ηi為規(guī)則坐標(biāo)系下單元的四個(gè)結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)；ξ、η為局部坐標(biāo)，∈[-1，1]。
2、將插值基函數(shù)取為[N1N2L Nn]T，則以傳統(tǒng)有限元法所表達(dá)的位移函數(shù)近似解為U=Σi=1nNiai---(3)]]>式中U為單元位移函數(shù)，U=uv;]]>n為單元結(jié)點(diǎn)數(shù)；αi(i＝1，2，L，n)為結(jié)點(diǎn)i上的自由度向量[uivi]T。
3、將傳統(tǒng)有限元的結(jié)點(diǎn)自由度廣義化，認(rèn)為每一結(jié)點(diǎn)為可以有任意多個(gè)廣義自由度的點(diǎn)，即將式(3)中的傳統(tǒng)自由度向量ai進(jìn)一步表示為多個(gè)廣義自由度的函數(shù)，例如ai=uivi=Σj=1mifij(x,y)00fij(x,y)di,aj-adi,2j---(4)]]>將式(4)代入式(3)，從而得到位移函數(shù)表達(dá)式U=Σi=1nNiΣj=1mifij(x,y)00fij(x,y)di,2j-1di,2j]]>=Σi=1nNiFiDi=Σi=1nN‾iDi---(5)]]>式中fij為多項(xiàng)式級(jí)數(shù)，采用拉格朗日多項(xiàng)式；Fi為多項(xiàng)式矩陣；Ni為插值函數(shù)矩陣，使解的協(xié)調(diào)性得到自然滿足；Di為結(jié)點(diǎn)i的廣義自由度向量，其形式為Di=di,1di,2Ldi,2miT---(6)]]>稱這種具有多個(gè)廣義自由度的結(jié)點(diǎn)為“廣義結(jié)點(diǎn)”。將這種通過(guò)引入廣義結(jié)點(diǎn)概念構(gòu)造出來(lái)的有限元稱為廣義結(jié)點(diǎn)有限元。當(dāng)ai=uivi=1001di,1di,2---(7)]]>時(shí)，這種廣義結(jié)點(diǎn)有限元方法便退化為傳統(tǒng)有限元方法。
在廣義結(jié)點(diǎn)有限元中，一個(gè)廣義結(jié)點(diǎn)上的廣義自由度的個(gè)數(shù)是與人們所期望的單元插值函數(shù)的階數(shù)有關(guān)的，可任意取定。
與傳統(tǒng)有限元一樣，廣義結(jié)點(diǎn)有限元插值函數(shù)也具有局部非零的性質(zhì)。其階數(shù)隨結(jié)點(diǎn)廣義自由度個(gè)數(shù)的增加而提高。傳統(tǒng)有限元方法采用低階分片插值多項(xiàng)式作為逼近空間，而廣義結(jié)點(diǎn)有限元方法則采用高階分片多項(xiàng)式甚至級(jí)數(shù)展開式作為逼近空間，因此廣義結(jié)點(diǎn)有限元方法可通過(guò)提高廣義結(jié)點(diǎn)覆蓋函數(shù)的階數(shù)，在不增加結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的前提下有效提高總體近似解的精度。
采用8結(jié)點(diǎn)的等參數(shù)單元以滿足梁?jiǎn)卧M需要較高階位移函數(shù)的要求。其位移函數(shù)的構(gòu)造原理與上面的四結(jié)點(diǎn)等參單元一樣。
根據(jù)式(5)的廣義結(jié)點(diǎn)有限單元的位移函數(shù)，可以按傳統(tǒng)有限元法同樣的步驟得出其求解的平衡離散方程組KU＝F。
4、廣義梁?jiǎn)卧詢蓷l圓弧為例，如圖1所示。
從圖1的結(jié)構(gòu)輪廓線(即對(duì)偶線)可以提取出襯砌的有效計(jì)算中心線的位置如圖2所示，將該中心線劃分為分段的線單元1.2、2-3、…、9-10。以單元2-3為例，過(guò)點(diǎn)2、3作垂直于單元2-3的垂線，與襯砌輪廓線的交點(diǎn)為1′-2′和3′-4′，單元2-3如圖3所示。則可以求出點(diǎn)2、3、1′、2′、3′和4′的坐標(biāo)。
直接積分法求廣義梁?jiǎn)卧慕Y(jié)構(gòu)內(nèi)力。取廣義梁?jiǎn)卧囊粋€(gè)端面，如圖3中的1′-2′，線單元2-3在整體坐標(biāo)系下如圖4所示。其中x，y為整體坐標(biāo)系，x，y為廣義梁?jiǎn)卧木植孔鴺?biāo)系，ξ為1′-2′斷面的自然坐標(biāo)。
對(duì)于廣義梁?jiǎn)卧娜我鈾M斷面，用直接積分的方法求該斷面的內(nèi)力，計(jì)算方法如下式N=∫-h2h2σxdyM=∫-h2h2σxydyQ=∫-h2h2τxydy---(8)]]>采用高斯積分的方法求上式中的N，M，Q，則式(9)變?yōu)镹=ΣiwiσxiM=ΣiwiσxiyiQ=Σiwiτxyi---(9)]]>式中wi=h2Hi,]]>Hi為積分權(quán)系數(shù)；yi=h2ξi,]]>ξi為積分點(diǎn)坐標(biāo)，ξi∈[-1 1]；σxi，τxyi為ξi點(diǎn)的局部坐標(biāo)系下的應(yīng)力。
如圖4所示，為了求積分點(diǎn)上的應(yīng)力值，首先將ξi轉(zhuǎn)換成總體坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，以1′-2′斷面為例x‾i=x‾2-h2ξisinβy‾i=y‾2+h2ξicosβ---(10)]]>根據(jù)總體坐標(biāo)(xi，yi)可以找到該點(diǎn)所在的平面單元，也就得到了該平面單元的廣義結(jié)點(diǎn)位移De，進(jìn)而可以求得該點(diǎn)在總體坐標(biāo)系下的應(yīng)力σxi、σyi和τxyi，應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣。
然后將總體坐標(biāo)系下的應(yīng)力σxi、σyi和τxyi轉(zhuǎn)換成局部坐標(biāo)系下的應(yīng)力σxi、σyi和τxyiσxi=σ‾xicos2β+σ‾yisin2β+2τ‾xyisinβcosβτxyi=(σ‾yi-σ‾xi)sinβcosβ+τ‾xyi(cos2β-sin2β)---(11)]]>將(11)式的結(jié)果代入(9)式即可求出廣義梁?jiǎn)卧摂嗝娴膬?nèi)力。
實(shí)施例一懸臂梁如圖5所示的懸臂梁，在末端受有垂直向下的均布力p＝5kN/m，厚度t＝1m，長(zhǎng)l＝10m，寬h＝1m。材料的彈性模量E＝2.8×107kPa，泊松比μ＝0.2，不計(jì)自重。
表1梁?jiǎn)卧椒ㄅc廣義梁?jiǎn)卧椒◤澗?kN.m)比較 用梁?jiǎn)卧?jì)算結(jié)果如圖6所示。采用廣義梁?jiǎn)卧?jì)算得到的梁彎距結(jié)果如圖7所示，與梁?jiǎn)卧?jì)算所得比較結(jié)果列與表1。采用廣義梁?jiǎn)卧玫降牧簡(jiǎn)卧獜澗嗯c采用一般梁?jiǎn)卧?jì)算結(jié)果均吻合良好，最大誤差不超過(guò)0.6％。
實(shí)施例二圓形隧洞如圖8所示的圓形隧洞，上下受垂直均布力p＝100kPa，左右受水平均布力e＝λp＝0.5×100＝50kPa厚度t＝0.4m，外徑r＝5.0m。材料的彈性模量E＝2.8×107kPa，泊松比μ＝0.2，不計(jì)自重。
按一般梁?jiǎn)卧?jì)算，襯砌內(nèi)力計(jì)算式為M=pr24(1-λ)cos2αN=pr(cos2α+λsin2α)Q=pr2sin2α(1-λ)]]>廣義梁?jiǎn)卧?jì)算模型見圖9，共劃分得392單元，1480節(jié)點(diǎn)，計(jì)算結(jié)果見圖10~圖12。
廣義梁?jiǎn)卧c梁?jiǎn)卧?計(jì)算半徑取襯砌中心線)內(nèi)力具體比較見表2。
表2梁?jiǎn)卧椒ㄅc廣義梁?jiǎn)卧椒▋?nèi)力比較

最大內(nèi)力比較見表3。
表3梁?jiǎn)卧椒ㄅc廣義梁?jiǎn)卧椒ㄗ畲髢?nèi)力比較

從表2可以看出，取襯砌外徑做計(jì)算半徑易引起彎矩比實(shí)際值大，取襯砌中心線作計(jì)算半徑易引起軸力比實(shí)際值小。采用廣義結(jié)點(diǎn)梁法有效避免了由于襯砌厚度存在引起的內(nèi)力計(jì)算誤差，且與襯砌實(shí)際受力情況相符，剪力誤差相對(duì)較大是由于傳統(tǒng)的力學(xué)計(jì)算采用平截面假定引起。
權(quán)利要求
1.一種有厚度的梁?jiǎn)卧?jì)算方法，其特征在于1)利用高階覆蓋位移函數(shù)的廣義結(jié)點(diǎn)有限元，計(jì)算結(jié)構(gòu)位移和應(yīng)力結(jié)果；2)將傳統(tǒng)有限元的結(jié)點(diǎn)自由度廣義化，認(rèn)為每一結(jié)點(diǎn)為可以有任意多個(gè)廣義自由度的點(diǎn)，得到廣義結(jié)點(diǎn)有限元的位移函數(shù)表達(dá)式U=Σi=1nNiΣj=1mifij(x,y)00fij(x,y)di,2j-1di,2j=Σi=1nNiFiDi=Σi=1nN‾iDi]]>式中Ni(ξ，η)為定義在規(guī)則坐標(biāo)系下的插值形函數(shù)，fij為多項(xiàng)式級(jí)數(shù)，采用拉格朗日多項(xiàng)式；Fi為多項(xiàng)式矩陣；Ni為插值函數(shù)矩陣，Di為結(jié)點(diǎn)i的廣義自由度向量，其形式為Di=di,1di,2Ldi,2miT,]]>根據(jù)所述廣義結(jié)點(diǎn)有限單元的位移函數(shù)，求得單元的應(yīng)力，然后將實(shí)體單元的應(yīng)力計(jì)算結(jié)果按桿、梁?jiǎn)卧碚撧D(zhuǎn)化為工程中的彎距、軸力和剪力。
2.根據(jù)權(quán)利要求1所述的一種有厚度的梁?jiǎn)卧?jì)算方法，其特征在于對(duì)于有厚度的梁?jiǎn)卧娜我鈾M斷面，用直接積分的方法求結(jié)構(gòu)的軸力、彎矩、剪力，其計(jì)算方法如下式N=∫-h2h2σxdyM=∫-h2h2σxydyQ=∫-h2h2τxydy]]>式中N，M，Q為結(jié)構(gòu)的軸力、彎矩、剪力；h為單元斷面厚度；σx為單元水平應(yīng)力；τxy為單元剪應(yīng)力；y為積分坐標(biāo)。
3.根據(jù)權(quán)利要求2所述的一種有厚度的梁?jiǎn)卧?jì)算方法，其特征在于采用高斯積分的方法求解所述軸力、彎矩、剪力，即N，M，Q，N=ΣiwiσxiM=ΣiwiσxiyiQ=Σiwiτxyi]]>式中wi=h2Hi,]]>Hi為積分權(quán)系數(shù)；yi=h2ξi,]]>ξi為積分點(diǎn)坐標(biāo)，ξi∈[-1 1]；σxi，τxyi為ξi點(diǎn)的局部坐標(biāo)系下的應(yīng)力。
4.根據(jù)權(quán)利要求3所述的一種有厚度的梁?jiǎn)卧?jì)算方法，其特征在于將ξi轉(zhuǎn)換成總體坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，根據(jù)總體坐標(biāo)(xi，yi)可以找到該點(diǎn)所在的平面單元，得到該平面單元的廣義結(jié)點(diǎn)位移De，進(jìn)而可以求得該點(diǎn)在總體坐標(biāo)系下的應(yīng)力σxi、σyi和τxyi，應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣，然后將總體坐標(biāo)系下的應(yīng)力σxi、σyi和τxyi轉(zhuǎn)換成局部坐標(biāo)系下的應(yīng)力σxi、σyi和τxyiσxi=σ‾xicos2β+σ‾yisin2β+2τ‾xyisinβcosβτxyi=(σ‾yi-σ‾xi)sinβcosβ+τ‾xyi(cos2β-sin2β)]]>將式上式代入下式，N=∫-h2h2σxdyM=∫-h2h2σxydyQ=∫-h2h2τxydy]]>求出廣義梁?jiǎn)卧摂嗝娴膬?nèi)力。
全文摘要
一種有厚度的梁?jiǎn)卧?jì)算方法，利用高階覆蓋位移函數(shù)的廣義結(jié)點(diǎn)有限元，計(jì)算結(jié)構(gòu)位移和應(yīng)力結(jié)果；將傳統(tǒng)有限元的結(jié)點(diǎn)自由度廣義化，認(rèn)為每一結(jié)點(diǎn)為可以有任意多個(gè)廣義自由度的點(diǎn)，得到廣義結(jié)點(diǎn)有限元的位移函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)所述廣義結(jié)點(diǎn)有限單元的位移函數(shù)，求得單元的應(yīng)力，然后將實(shí)體單元的應(yīng)力計(jì)算結(jié)果按桿、梁?jiǎn)卧碚撧D(zhuǎn)化為工程中的彎距、軸力和剪力。采用本發(fā)明有厚度的梁?jiǎn)卧?jì)算方法，保證了線單元模擬的數(shù)值精度，同時(shí)又克服了常用的桿梁線單元計(jì)算位置與實(shí)際位置不相符合從而帶來(lái)計(jì)算誤差和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)不便等缺點(diǎn)，以便于一些負(fù)責(zé)結(jié)構(gòu)進(jìn)一步的設(shè)計(jì)和分析。
文檔編號(hào)E04B1/00GK1912267SQ20051002863
公開日2007年2月14日 申請(qǐng)日期2005年8月9日 優(yōu)先權(quán)日2005年8月9日
發(fā)明者蔡永昌, 朱合華, 丁文其, 李曉軍, 王曉形, 周建暉 申請(qǐng)人:同濟(jì)大學(xué)