一種針對帶有輸出約束的柔性機(jī)械臂的振動控制方法
【專利摘要】本發(fā)明提供一種針對帶有輸出約束的柔性機(jī)械臂的振動控制方法，能夠在已有的約束條件下減小柔性機(jī)械臂在運(yùn)行過程中的振動，同時(shí)控制柔性機(jī)械臂轉(zhuǎn)動到期望角位置。所述方法包括：利用哈密頓原理，建立柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的動力學(xué)模型；依據(jù)所述動力學(xué)模型，確定帶有輸出約束的邊界控制器，對帶有輸出約束的柔性機(jī)械臂的振動進(jìn)行抑制的同時(shí)，控制所述柔性機(jī)械臂轉(zhuǎn)動到期望角位置。本發(fā)明適用于自動控制技術(shù)領(lǐng)域。
【專利說明】
一種針對帶有輸出約束的柔性機(jī)械臂的振動控制方法
技術(shù)領(lǐng)域
[0001] 本發(fā)明涉及自動控制技術(shù)領(lǐng)域，特別是指一種針對帶有輸出約束的柔性機(jī)械臂的 振動控制方法。
【背景技術(shù)】
[0002] 近年來，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，工業(yè)、醫(yī)療、軍事及太空探索等領(lǐng)域?qū)τ谌嵝詸C(jī)械 臂有著越來越大的需求及越來越高的要求。與傳統(tǒng)的剛性柔性機(jī)械臂相比，柔性機(jī)械臂具 有質(zhì)量輕、精度高、能耗小、速度快等優(yōu)點(diǎn)，在現(xiàn)代工程中，柔性機(jī)械臂正飛速地發(fā)展著。作 為柔性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)動力學(xué)分析和控制理論研究最直接的應(yīng)用對象，柔性機(jī)械臂的物理模型較 為簡單，易于計(jì)算機(jī)對其進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作，因此，柔性機(jī)械臂已成為發(fā)展新一代機(jī)器人和航空 航天技術(shù)的關(guān)鍵性課題?；诮频南到y(tǒng)模型對柔性機(jī)械臂開展其振動控制研究是非常必 要的。
[0003] 雖然柔性機(jī)械臂較傳統(tǒng)剛性柔性機(jī)械臂有著很大的優(yōu)勢，然而由于自身的結(jié)構(gòu)及 材料特性的影響，柔性機(jī)械臂在運(yùn)行過程中將產(chǎn)生自身的彈性形變及振動，對柔性機(jī)械臂 系統(tǒng)的定位及軌跡跟蹤造成很大的影響。因此，抑制柔性機(jī)械臂自身的彈性振動，同時(shí)精確 地進(jìn)行軌跡跟蹤是亟待解決的問題。而且，在實(shí)際的操作中，由于實(shí)驗(yàn)平臺的空間約束，以 及柔性機(jī)械臂在轉(zhuǎn)動過程中因幅度或彈性振動過大引發(fā)的安全問題，需要對柔性機(jī)械臂的 末端及偏轉(zhuǎn)角度進(jìn)行輸出約束控制。
[0004] 目前，大多數(shù)對于柔性機(jī)械臂的研究都基于有限維模型，采用的是普通微分方程 (0DE)來描述柔性機(jī)械臂系統(tǒng)模型，然而這樣處理容易導(dǎo)致溢出效應(yīng)從而使柔性機(jī)械臂系 統(tǒng)不穩(wěn)定。實(shí)際上，柔性機(jī)械臂是一類無窮維分布式參數(shù)系統(tǒng)，有高度的非線性和耦合特 性，其運(yùn)動過程既有大范圍的整體運(yùn)動，又有局部的彈性變形，所以對于傳統(tǒng)的基于有限維 模型的剛性柔性機(jī)械臂的控制設(shè)計(jì)方法不適用于柔性機(jī)械臂的控制上。

【發(fā)明內(nèi)容】

[0005] 本發(fā)明要解決的技術(shù)問題是提供一種針對帶有輸出約束的柔性機(jī)械臂的振動控 制方法，以解決現(xiàn)有技術(shù)所存在的基于有限維模型描述柔性機(jī)械臂系統(tǒng)模型，導(dǎo)致柔性機(jī) 械臂系統(tǒng)不穩(wěn)定的問題。
[0006] 為解決上述技術(shù)問題，本發(fā)明實(shí)施例提供一種針對帶有輸出約束的柔性機(jī)械臂的 振動控制方法，包括：
[0007] 利用哈密頓原理，建立柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的動力學(xué)模型；
[0008] 依據(jù)所述動力學(xué)模型，確定帶有輸出約束的邊界控制器，對帶有輸出約束的柔性 機(jī)械臂的振動進(jìn)行抑制的同時(shí)，控制所述柔性機(jī)械臂轉(zhuǎn)動到期望角位置。
[0009] 進(jìn)一步地，所述柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的動力學(xué)模型包括:柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的控制方程 及柔性機(jī)械臂末端角位移的運(yùn)動方程。
[0010] 進(jìn)一步地，所述柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的控制方程表示為：
[0011] EIxtm：(s,〇 + py(s, t) - Ty^t) = sV(5, t) e [0,L] x[0,?)：
[0012] 所述柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的邊界條件表示為： ,γ(0,〇 = 0 x'(0,t) = 0
[0013] l x"(L,i) = 0 -EJx"{0j)+ Ιφ{(diào)1)~ Tx{L,t) = u.,{t) + d,(t)
[0014] 所述柔性機(jī)械臂末端角位移的運(yùn)動方程為：
[0015] ；〇，，(U)- 7'冰)= "2(〇 + 4⑴ e [0,勾
[0016] 其中，V表示數(shù)學(xué)符號任意，L表示柔性機(jī)械臂的長度，P表示柔性機(jī)械臂的密度，I 代表關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動慣量，EI表示柔性機(jī)械臂的彎曲剛度，T表示柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的張力，爐(〇表 示關(guān)節(jié)的偏轉(zhuǎn)角度，例〇表示調(diào)：?)對t的二階導(dǎo)數(shù)，x(s，t)表示在位置s、時(shí)間t時(shí)柔性機(jī)械臂 系統(tǒng)的偏移量，X'（S，t)、x"（S，t)、X" '（S，t)、X""（S，t)分別表示X(S，t)對S的一階導(dǎo)數(shù)、二 階導(dǎo)數(shù)、三階導(dǎo)數(shù)、四階導(dǎo)數(shù)，y(s，t)表示在位置S、時(shí)間t時(shí)柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的位置，且 _y(V) = 4M)+外(?），3^'（8,〇、/'（8,〇分別表示7(8,〇對 8的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)，列以） 表示y(s，t)對t的二階導(dǎo)數(shù)，f(s，t)表示時(shí)變分布式擾動，di(t)與d2(t)分別為加在關(guān)節(jié)與 末端負(fù)載上的時(shí)變邊界擾動，11 1(〇與112(〇分別為柔性機(jī)械臂關(guān)節(jié)處與末端負(fù)載上的控制 輸入，111(〇與1 12(〇的值由所述邊界控制器輸出。
[0017] 進(jìn)一步地，邊界輸出x(L，t)滿足|x(L，t)|〈D，偏轉(zhuǎn)角度爐(〇滿足|冰化只.，所述期 望角位置為％;
[0018] 其中，D>0，D為預(yù)設(shè)的第一閾值，死為預(yù)設(shè)的第二閾值。
[0019] 進(jìn)一步地，所述依據(jù)所述動力學(xué)模型，確定帶有輸出約束的邊界控制器包括：
[0020] 依據(jù)所述動力學(xué)模型，根據(jù)正切函數(shù)圖像的性質(zhì)，確定帶有輸出約束的邊界控制 器。
[0021] 進(jìn)一步地，所述邊界控制器表示為：
[0024] 其中，i(M0H州, %=巧-％，色(0表示死W對t的一階導(dǎo)數(shù)；州)表 示?ΚΟ對t的一階導(dǎo)數(shù)；k 1，k 2，k 3，k 4，k p，k s，k V表示控制參數(shù)，均為正數(shù)，且
沐) = )Χυ) + /?τ'(υ)-/:2/〃(/ν);α表示一個(gè)正權(quán)重常數(shù)，m表示柔性機(jī)械臂的 質(zhì)量，式、ξ分別為預(yù)設(shè)的第三閾值及第四閾值，5；滿足μωμ g ,:?滿足 i'(A〇表示x(s，t)對s的一階導(dǎo)數(shù)及對t的一階導(dǎo)數(shù)，且s = L;/"〇M)表示y(s，t)對s的三階 導(dǎo)數(shù)及t的一階導(dǎo)數(shù)，且s = L。
[0025] 進(jìn)一步地，所述依據(jù)所述動力學(xué)模型，確定帶有輸出約束的邊界控制器，對帶有輸 出約束的柔性機(jī)械臂的振動進(jìn)行抑制的同時(shí)，控制所述柔性機(jī)械臂轉(zhuǎn)動到期望角位置之 后，所述方法還包括：
[0026] 通過李雅普諾夫直接法對所述邊界控制器進(jìn)行穩(wěn)定性分析。
[0027] 進(jìn)一步地，所述通過李雅普諾夫直接法對所述邊界控制器進(jìn)行穩(wěn)定性分析包括：
[0028] 構(gòu)造針對所述柔性機(jī)械臂的閉環(huán)系統(tǒng)的李雅普諾夫候選函數(shù)；
[0029] 若所述李雅普諾夫候選函數(shù)是正定的，且所述李雅普諾夫候選函數(shù)對時(shí)間的導(dǎo)數(shù) 半負(fù)定，則判定所述邊界控制器能使所述柔性機(jī)械臂的閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。
[0030] 進(jìn)一步地，構(gòu)造的所述李雅普諾夫候選函數(shù)表示為：
[0032] 其中，夕(·Μ)表示y(s，t)對t的一階導(dǎo)數(shù)，α、β均為正數(shù)。
[0033] 進(jìn)一步地，所述通過李雅普諾夫直接法對所述邊界控制器進(jìn)行穩(wěn)定性分析之后， 所述方法還包括：
[0034] 通過仿真驗(yàn)證所述邊界控制器的可行性及有效性。
[0035] 本發(fā)明的上述技術(shù)方案的有益效果如下：
[0036] 上述方案中，利用哈密頓原理，建立柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的動力學(xué)模型;依據(jù)建立的所 述動力學(xué)模型，確定帶有輸出約束的邊界控制器，對帶有輸出約束的柔性機(jī)械臂的振動進(jìn) 行抑制的同時(shí)，控制所述柔性機(jī)械臂轉(zhuǎn)動到期望角位置。這樣，通過所述帶有輸出約束的邊 界控制器能夠在已有的約束條件下減小柔性機(jī)械臂在運(yùn)行過程中的振動，同時(shí)控制柔性機(jī) 械臂轉(zhuǎn)動到期望角位置。
【附圖說明】
[0037] 圖1為本發(fā)明實(shí)施例提供的針對帶有輸出約束的柔性機(jī)械臂的振動控制方法的流 程不意圖；
[0038] 圖2為本發(fā)明實(shí)施例提供的確定邊界控制器的流程示意圖；
[0039] 圖3為本發(fā)明實(shí)施例提供的針對帶有輸出約束的柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖；
[0040] 圖4為本發(fā)明實(shí)施例提供的針對帶有輸出約束的柔性機(jī)械臂的振動控制方法的具 體流程示意圖；
[0041] 圖5為本發(fā)明實(shí)施例提供的未加邊界控制時(shí)，柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的振動仿真圖；
[0042] 圖6為本發(fā)明實(shí)施例提供的未加邊界控制時(shí)，柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的偏轉(zhuǎn)角度仿真圖；
[0043] 圖7為本發(fā)明實(shí)施例提供的未加邊界控制時(shí)，柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的角度偏差仿真圖；
[0044] 圖8為本發(fā)明實(shí)施例提供的未加邊界控制時(shí)，柔性機(jī)械臂系統(tǒng)末端負(fù)載的振動仿 真圖；
[0045] 圖9為本發(fā)明實(shí)施例提供的加入邊界控制后，柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的振動仿真圖；
[0046] 圖10為本發(fā)明實(shí)施例提供的加入邊界控制后，柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的偏轉(zhuǎn)角度仿真 圖；
[0047] 圖11為本發(fā)明實(shí)施例提供的關(guān)節(jié)的控制輸入仿真圖；
[0048] 圖12為本發(fā)明實(shí)施例提供的末端負(fù)載的控制輸入仿真圖；
[0049] 圖13為本發(fā)明實(shí)施例提供的加入邊界控制后，邊界系統(tǒng)的角度偏差仿真圖；
[0050] 圖14為本發(fā)明實(shí)施例提供的加入邊界控制后，柔性機(jī)械臂系統(tǒng)末端負(fù)載的振動仿 真圖。
【具體實(shí)施方式】
[0051] 為使本發(fā)明要解決的技術(shù)問題、技術(shù)方案和優(yōu)點(diǎn)更加清楚，下面將結(jié)合附圖及具 體實(shí)施例進(jìn)行詳細(xì)描述。
[0052]本發(fā)明針對現(xiàn)有的基于有限維模型描述柔性機(jī)械臂系統(tǒng)模型，導(dǎo)致柔性機(jī)械臂系 統(tǒng)不穩(wěn)定的問題，提供一種針對帶有輸出約束的柔性機(jī)械臂的振動控制方法。
[0053]首先，為了更好地理解本發(fā)明實(shí)施例，對本發(fā)明實(shí)施例中出現(xiàn)的部分簡化符號進(jìn) 行說明：
[0055]其中，Δ表示待求導(dǎo)的函數(shù)。
[0056] 實(shí)施例一
[0057]參看圖1所示，本發(fā)明實(shí)施例提供的一種針對帶有輸出約束的柔性機(jī)械臂的振動 控制方法，包括：
[0058] S101，利用哈密頓原理，建立柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的動力學(xué)模型；
[0059] S102,依據(jù)所述動力學(xué)模型，確定帶有輸出約束的邊界控制器，對帶有輸出約束的 柔性機(jī)械臂的振動進(jìn)行抑制的同時(shí)，控制所述柔性機(jī)械臂轉(zhuǎn)動到期望角位置。
[0060] 本發(fā)明實(shí)施例所述的針對帶有輸出約束的柔性機(jī)械臂的振動控制方法，利用哈密 頓原理，建立柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的動力學(xué)模型;依據(jù)建立的所述動力學(xué)模型，確定帶有輸出約 束的邊界控制器，對帶有輸出約束的柔性機(jī)械臂的振動進(jìn)行抑制的同時(shí)，控制所述柔性機(jī) 械臂轉(zhuǎn)動到期望角位置。這樣，通過所述帶有輸出約束的邊界控制器能夠在已有的約束條 件下減小柔性機(jī)械臂在運(yùn)行過程中的振動，同時(shí)控制柔性機(jī)械臂轉(zhuǎn)動到期望角位置。
[0061] 在前述針對帶有輸出約束的柔性機(jī)械臂的振動控制方法的【具體實(shí)施方式】中，進(jìn)一 步地，所述柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的動力學(xué)模型包括:柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的控制方程及柔性機(jī)械臂 末端角位移的運(yùn)動方程。
[0062] 在前述針對帶有輸出約束的柔性機(jī)械臂的振動控制方法的【具體實(shí)施方式】中，進(jìn)一 步地，所述柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的控制方程表示為：
[0063] ：EIxmf(sj)： + py(s,t)-fy''^,t) =f(s,t} e [05Χ]χ[θ,.α3)
[0064] 所述柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的邊界條件表示為： .τ(0,/) = 0 .Yr(0,r) = 0
[0065] < xff(Lj) = 0 -Eixn(0j) +· I(p(i)-~Tx{Lj) = u.(r)^-d.(r)
[0066] 所述柔性機(jī)械臂末端角位移的運(yùn)動方程為：
[0067] -EIx'^U) + Ty'(U)~ Τφ{(diào)?) + my(Lj) = ιι2(? + d?(t), V/ g [0"x) (3)
[0068] 其中，V表示數(shù)學(xué)符號任意，L表示柔性機(jī)械臂的長度，P表示柔性機(jī)械臂的密度，I 代表關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動慣量，EI表示柔性機(jī)械臂的彎曲剛度，T表示柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的張力，祝〇表 示關(guān)節(jié)的偏轉(zhuǎn)角度，#(〇表示對t的二階導(dǎo)數(shù)，x(s，t)表示在位置s、時(shí)間t時(shí)柔性機(jī)械臂 系統(tǒng)的偏移量，X'（S，t)、x"（S，t)、X" '（S，t)、X""（S，t)分別表示X(S，t)對S的一階導(dǎo)數(shù)、二 階導(dǎo)數(shù)、三階導(dǎo)數(shù)、四階導(dǎo)數(shù)，y(s，t)表示在位置S、時(shí)間t時(shí)柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的位置，且 _>，(#)=^(#) +躍(〇,7'（8,〇、/'（8,〇分別表示7( 8,〇對8的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)，列以> 表示y(s，t)對t的二階導(dǎo)數(shù)，f(s，t)表示時(shí)變分布式擾動，di(t)與d2(t)分別為加在關(guān)節(jié)與 末端負(fù)載上的時(shí)變邊界擾動，11 1(〇與112(〇分別為柔性機(jī)械臂關(guān)節(jié)處與末端負(fù)載上的控制 輸入，111(〇與1 12(〇的值由所述邊界控制器輸出。
[0069] 本發(fā)明實(shí)施例中，所述柔性機(jī)械臂系統(tǒng)可以為單連桿柔性機(jī)械臂系統(tǒng)，對所述單 連桿柔性機(jī)械臂系統(tǒng)利用哈密頓(Hamilton)原理（p鞏￡；(/)- &(〇 +沙'(〇]汾=〇 )進(jìn)行建 七1: 模處理，得到所述單連桿柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的動力學(xué)模型，其中，所述單連桿柔性機(jī)械臂系統(tǒng) 的動力學(xué)模型包括:單連桿柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的控制方程及單連桿柔性機(jī)械臂末端角位移的 運(yùn)動方程;其中，所述單連桿柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的控制方程為：
[0070] Elx'!"{sj) + py{s,t) - Ty"(s.j) = f(s.j).. V(.s, /) e L〇, L\ x L〇,^) (1)
[0071 ]所述單連桿柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的邊界條件為： v(0,〇 = 0 x,(0,〇 = 0
[0072] ? Λ (2) -Elxrf{0^i) + ?φ{(diào)?) - ?χ( L^t)?/, (/) + ?/, (/)
[0073] 所述單連桿柔性機(jī)械臂末端角位移的運(yùn)動方程為：
[0074] + 5：Vie[0,?K3)
[0075] 其中，δ表示變分符號，Ek(t)，EP(t)分別表示單連桿柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的動能及由變 形產(chǎn)生的勢能dw(t)為外部擾動汽^^^"^和辦^彡以及邊界控制對系統(tǒng)所做總虛功的 變分;V表示數(shù)學(xué)符號任意，L表示柔性機(jī)械臂的長度，P表示柔性機(jī)械臂的密度，I代表關(guān)節(jié) 的轉(zhuǎn)動慣量，EI表示柔性機(jī)械臂的彎曲剛度，T表示柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的張力，^⑴表示關(guān)節(jié)的 偏轉(zhuǎn)角度，X (S，t)表不在位置s、時(shí)間t時(shí)柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的偏移量，y (s，t)表不在位置s、時(shí) 間t時(shí)柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的位置，且有.)·(λ? = 4.v,/) + .vp(r)成立，f (s，t)表示時(shí)變分布式擾 動，dl(t)與d2(t)分別為加在關(guān)節(jié)與末端負(fù)載上的時(shí)變邊界擾動，Ul(t)與U2(t)分別為關(guān)節(jié) 處與末端負(fù)載上的控制輸入，111(0與112(〇的值由邊界控制器和邊界控制器確定。
[0076] 由于在實(shí)際的操作過程中，單連桿柔性機(jī)械臂的末端會受到一定的空間位置約 束，為了達(dá)到控制目的，需確定一種帶有輸出約束的邊界控制器來減小柔性機(jī)械臂在運(yùn)行 過程中的振動，同時(shí)控制柔性機(jī)械臂轉(zhuǎn)動到期望角位置。
[0077] 本發(fā)明實(shí)施例中，邊界控制器設(shè)計(jì)的目的是減小柔性機(jī)械臂在操作過程中的振 動，保證在受約束的操作空間中邊界輸出X(L，t)滿足| X(L，t) | <D(D>0)，偏轉(zhuǎn)角度列/)滿足 |供(?)￥死，同時(shí)控制柔性機(jī)械臂能夠到達(dá)指定位置(期望角位置其中，D為預(yù)設(shè)的第一 閾值，死為預(yù)設(shè)的第二閾值。具體的，可以借助正切三角函數(shù)的性質(zhì)，設(shè)計(jì)如下的帶有輸出 約束的邊界控制器：
[0080] 其中，先(0_表示乾的對t的一階導(dǎo)數(shù)；分⑴表示神-)對t的一階導(dǎo)數(shù)；i從，0表示X (s，t)對s的一階導(dǎo)數(shù)及對t的一階導(dǎo)數(shù)，且s = L;j〃XZ,〇表示y(s，t)對s的三階導(dǎo)數(shù)及t的 一階導(dǎo)數(shù)，且s = L;丨噸)-％ (% =死-％);控制參數(shù)1^，1?，1?，1^4，1^上上均為 正數(shù)，且
?⑴=+^從·^丨-&W·，/) ;α表不一個(gè)正權(quán)重常數(shù)，m表不柔性機(jī) 械臂的質(zhì)量，4、忑分別為預(yù)設(shè)的第三閾值及第四閾值，式滿足，4滿足 丨吵)卜4。
[0081] 本發(fā)明實(shí)施例中，邊界控制器是指將作用力施加在柔性機(jī)械臂關(guān)節(jié)處或其末端， 屬于主動控制范疇，通過向柔性機(jī)械臂系統(tǒng)輸入能量來達(dá)到對所控制的系統(tǒng)進(jìn)行主動調(diào)節(jié) 的目的，可以減少助推器與執(zhí)行器的使用，如圖2和圖3所示。
[0082] 如圖4所示，在前述針對帶有輸出約束的柔性機(jī)械臂的振動控制方法的具體實(shí)施 方式中，進(jìn)一步地，所述依據(jù)所述動力學(xué)模型，確定帶有輸出約束的邊界控制器，對帶有輸 出約束的柔性機(jī)械臂的振動進(jìn)行抑制的同時(shí)，控制所述柔性機(jī)械臂轉(zhuǎn)動到期望角位置之 后，所述方法還包括：
[0083] S103,通過李雅普諾夫直接法對所述邊界控制器進(jìn)行穩(wěn)定性分析。
[0084]本發(fā)明實(shí)施例中，確定好邊界控制器后，需對單連桿柔性機(jī)械臂的閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn) 定性進(jìn)行分析。李雅普諾夫函數(shù)法是最常用的系統(tǒng)穩(wěn)定性判定方法。從力學(xué)的能量角度出 發(fā)，如果一個(gè)柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的總能量不斷衰減，直到收斂至平衡點(diǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn) 定的。首先，選擇合適的李雅普諾夫候選函數(shù)如下：
[0086] 其中，α，β均為正數(shù)；
[0090]接著，利用李雅普諾夫直接法來證明閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，即若找到一個(gè)合適的閉 環(huán)系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)是正定的，而其對時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)半負(fù)定，則該閉環(huán)系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定 的。首先，分析李雅普諾夫函數(shù)V(t)的最后一項(xiàng)A 3(t)可得：
[0091 ] |.4,(〇| S （[.'\.'(.s.，n]:. + [.(，(.y，0]]y.v 1 ?丨.4丨⑴ （7)
[0092]其中：
[0093] 所以，可以得到：
[0094] 0^Ai(Ai(t)+A2(t)) ^V(t)^A2(Ai(t)+A2(t)) (λι = πι?η( 1-αχ, 1 )>0 ,A2=max( 1 + αι,1)>0)〇
[0095] 李雅普諾夫函數(shù)對時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)為：
(8)
[0097] 其中，δ!~δ7均為正數(shù)。λ3,〇)的表達(dá)式如下：
[0100]其中，7為預(yù)設(shè)的第五閾值，/滿足|/%，?)| <[0101 ]選擇滿足如下條件的合適控制參數(shù)： (9) (10)
(11)
[0103] 可以得到nr)<-義「(rKC其中，λ=λ3/λ2>〇。
[0104] 根據(jù)李雅普諾夫直接法可知當(dāng)控制參數(shù)滿足上面的條件，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。接下來分析閉 環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)有界性。首先對不等式
兩邊積分可得 即說明v(t)有界，其中，4表示無窮范數(shù)。
[0105] 接著，由于
，所以可得：
[0109] 顯然，可以進(jìn)一步得到： (12) (13) (14) (1^)
[0112] 從上述公式（14)和（15)可以得到x(s，t)與代⑴按指數(shù)收斂于零，因此，存在時(shí)間 To，當(dāng)t > T。時(shí)，邊界輸出X (L，t)也會指數(shù)收斂于零。
[0113] 當(dāng)李雅普諾夫候選函數(shù)V(t)>0時(shí)，其對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)滿足半負(fù)定，因此所設(shè)計(jì)的 控制器能夠使得閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。
[0114] 通過以上的分析，對于本發(fā)明研究的單連桿柔性機(jī)械臂系統(tǒng)，如果初始條件有界， 則有如下的結(jié)論：
[0115] 1)閉環(huán)系統(tǒng)最終一致有界；
[0116] 2)所有閉環(huán)系統(tǒng)的信號有界；
[0117] 3)如果初始條件滿足14￡,〇)1<乃，|辦0)|<私:,則邊界輸出奴1^)、辦)也滿足|以1^， t) |<D,|^(〇|<^? Vi 6 [0,00)"
[0118] 因此，可知當(dāng)李雅普諾夫候選函數(shù)V(t)>0時(shí)，其對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)滿足半負(fù)定，因 此所設(shè)計(jì)的控制器能夠使得閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，且系統(tǒng)狀態(tài)最終收斂于0。
[0119] 如圖4所示，在前述針對帶有輸出約束的柔性機(jī)械臂的振動控制方法的具體實(shí)施 方式中，進(jìn)一步地，所述通過李雅普諾夫直接法對所述邊界控制器進(jìn)行穩(wěn)定性分析之后，所 述方法還包括：
[0120] S104,通過仿真驗(yàn)證所述邊界控制器的可行性及有效性。
[0121] 本發(fā)明實(shí)施例中，對于確定的邊界控制器除了需要理論上證明其穩(wěn)定性，還應(yīng)該 利用數(shù)值仿真驗(yàn)證其可行性及有效性。本發(fā)明實(shí)施例，可以利用MATLAB軟件進(jìn)行仿真。由于 無法得到系統(tǒng)的解析解，這里需要利用有限差分方法獲得柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的近似數(shù)值解。 在仿真中，需要調(diào)整各個(gè)控制參數(shù)，直到達(dá)到滿意的控制效果。首先得到不加邊界控制時(shí)系 統(tǒng)的仿真圖像，再得到加入邊界控制后的仿真圖像，通過比較來驗(yàn)證所述邊界控制器的可 行性及有效性，仿真結(jié)果如圖5-圖14所示。
[0122] 在仿真中，所述單連桿柔性機(jī)械臂的參數(shù)及控制參數(shù)如下表1所示：
[0123] 表1仿真參數(shù)
[0124]
[0125] 本發(fā)明實(shí)施例中，對于一個(gè)帶有輸出約束的單連桿柔性機(jī)械臂系統(tǒng)，首先需要哈 密頓原理建立所述單連桿柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的動力學(xué)模型，基于此動力學(xué)模型，根據(jù)正切函 數(shù)圖像的性質(zhì)，借助正切函數(shù)確定一種邊界控制器來抑制柔性機(jī)械臂振動同時(shí)進(jìn)行精確軌 跡跟蹤，以控制所述柔性機(jī)械臂轉(zhuǎn)動到期望角位置的目的。最后，對所述邊界控制器分別通 過理論分析證明閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及數(shù)值仿真來證明邊界控制器的有效性及可行性。
[0126] 以上所述是本發(fā)明的優(yōu)選實(shí)施方式，應(yīng)當(dāng)指出，對于本技術(shù)領(lǐng)域的普通技術(shù)人員 來說，在不脫離本發(fā)明所述原理的前提下，還可以作出若干改進(jìn)和潤飾，這些改進(jìn)和潤飾也 應(yīng)視為本發(fā)明的保護(hù)范圍。
【主權(quán)項(xiàng)】
1. 一種針對帶有輸出約束的柔性機(jī)械臂的振動控制方法，其特征在于，包括： 利用哈密頓原理，建立柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的動力學(xué)模型； 依據(jù)所述動力學(xué)模型，確定帶有輸出約束的邊界控制器，對帶有輸出約束的柔性機(jī)械 臂的振動進(jìn)行抑制的同時(shí)，控制所述柔性機(jī)械臂轉(zhuǎn)動到期望角位置。2. 根據(jù)權(quán)利要求1所述的針對帶有輸出約束的柔性機(jī)械臂的振動控制方法，其特征在 于，所述柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的動力學(xué)模型包括:柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的控制方程及柔性機(jī)械臂末 端角位移的運(yùn)動方程。3. 根據(jù)權(quán)利要求2所述的針對帶有輸出約束的柔性機(jī)械臂的振動控制方法，其特征在 于，所述柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的控制方程表示為：所述柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的邊界條件表示為：所述柔性機(jī)械臂末端角位移的運(yùn)動方程為：其中，￥表示數(shù)學(xué)符號任意，L表示柔性機(jī)械臂的長度，P表示柔性機(jī)械臂的密度，I代表 關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動慣量，EI表示柔性機(jī)械臂的彎曲剛度，T表示柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的張力，口(0表示關(guān) 節(jié)的偏轉(zhuǎn)角度，瓣様示刮0對t的二階導(dǎo)數(shù)，x(s，t)表示在位置S、時(shí)間t時(shí)柔性機(jī)械臂系統(tǒng) 的偏移量，X'（S，t)、x" (S，t)、X" '（S，t)、X"" (S，t)分別表示X(S，t)對S的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo) 數(shù)、Ξ階導(dǎo)數(shù)、四階導(dǎo)數(shù)，y(s，t)表示在位置S、時(shí)間t時(shí)柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的位置，且 施'，巧僅詩+邸的^'（3,〇、/'（3,〇分別表示7(3,〇對8的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)，.咖，〇 表示y(S，t)對t的二階導(dǎo)數(shù)，f(S，t)表示時(shí)變分布式擾動，dl(t)與Cb(t)分別為加在關(guān)節(jié)與 末端負(fù)載上的時(shí)變邊界擾動，Ul(t)與U2(t)分別為柔性機(jī)械臂關(guān)節(jié)處與末端負(fù)載上的控制 輸入，山(t)與U2(t)的值由所述邊界控制器輸出。4. 根據(jù)權(quán)利要求3所述的針對帶有輸出約束的柔性機(jī)械臂的振動控制方法，其特征在 于，邊界輸出xa，t)滿足|x化，t)i<D，偏轉(zhuǎn)角度抑叫滿足I巧的I含A，所述期望角位置為狗;; 其中，D〉0，D為預(yù)設(shè)的第一闊值，換為預(yù)設(shè)的第二闊值。5. 根據(jù)權(quán)利要求4所述的針對帶有輸出約束的柔性機(jī)械臂的振動控制方法，其特征在 于，所述依據(jù)所述動力學(xué)模型，確定帶有輸出約束的邊界控制器包括： 依據(jù)所述動力學(xué)模型，根據(jù)正切函數(shù)圖像的性質(zhì)，確定帶有輸出約束的邊界控制器。6. 根據(jù)權(quán)利要求5所述的針對帶有輸出約束的柔性機(jī)械臂的振動控制方法，其特征在 于，所述邊界控制器表示為：其中，I扔(ο s 口(ο - & 1< %，礙=錢-扣，枉(ο表示A的對t的一階導(dǎo)數(shù)；抑?)表示 巧(0對t的一階導(dǎo)數(shù)；k 1，k 2，k 3，k 4，k Ρ，k S，k V表示控制參數(shù)，均為正數(shù)，且 左 1二誓;c(0 = .i'(心0 +足,y(心0-心v'"'(L，r)：曰表示一個(gè)正權(quán)重常數(shù)，m表示柔性機(jī)械臂的 CjI 質(zhì)量，馬、馬分別為預(yù)設(shè)的第Ξ闊值及第四闊值，馬滿足心叫<馬，是滿足K的Ι<?, 、'(￡./讀示x(s，t)對S的一階導(dǎo)數(shù)及對t的一階導(dǎo)數(shù)，且s = Lj"'(I，i慷示y(s，t)對8的立階 導(dǎo)數(shù)及t的一階導(dǎo)數(shù)，且s = L。7. 根據(jù)權(quán)利要求6所述的針對帶有輸出約束的柔性機(jī)械臂的振動控制方法，其特征在 于，所述依據(jù)所述動力學(xué)模型，確定帶有輸出約束的邊界控制器，對帶有輸出約束的柔性機(jī) 械臂的振動進(jìn)行抑制的同時(shí)，控制所述柔性機(jī)械臂轉(zhuǎn)動到期望角位置之后，所述方法還包 括： 通過李雅普諾夫直接法對所述邊界控制器進(jìn)行穩(wěn)定性分析。8. 根據(jù)權(quán)利要求7所述的針對帶有輸出約束的柔性機(jī)械臂的振動控制方法，其特征在 于，所述通過李雅普諾夫直接法對所述邊界控制器進(jìn)行穩(wěn)定性分析包括： 構(gòu)造針對所述柔性機(jī)械臂的閉環(huán)系統(tǒng)的李雅普諾夫候選函數(shù)； 若所述李雅普諾夫候選函數(shù)是正定的，且所述李雅普諾夫候選函數(shù)對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)半負(fù) 定，則判定所述邊界控制器能使所述柔性機(jī)械臂的閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。9. 根據(jù)權(quán)利要求8所述的針對帶有輸出約束的柔性機(jī)械臂的振動控制方法，其特征在 于，構(gòu)造的所述李雅普諾夫候選函數(shù)表示為：其中，表示y(s，t)對t的一階導(dǎo)數(shù)，α、β均為正數(shù)。10. 根據(jù)權(quán)利要求8所述的針對帶有輸出約束的柔性機(jī)械臂的振動控制方法，其特征在 于，所述通過李雅普諾夫直接法對所述邊界控制器進(jìn)行穩(wěn)定性分析之后，所述方法還包括： 通過仿真驗(yàn)證所述邊界控制器的可行性及有效性。
【文檔編號】B25J9/16GK106078742SQ201610496241
【公開日】2016年11月9日
【申請日】2016年6月29日
【發(fā)明人】賀威, 付開婷, 何修宇, 孫長銀
【申請人】北京科技大學(xué)