專利名稱：密鋪平面系統(tǒng)的制作方法
技術(shù)領(lǐng)域：
本發(fā)明涉及一種密鋪平面系統(tǒng)，尤其涉及一種通過(guò)等腰三角形各邊依拿破侖定律延伸一三角形平面而形成三個(gè)四邊形圖案組，三個(gè)四邊形圖案組連接形成六邊形，六邊形的各邊連接六邊形而建構(gòu)成的密鋪平面系統(tǒng)。
背景技術(shù)：
一般平面圖形的密鋪除了被廣泛應(yīng)用于瓷磚密鋪，在數(shù)學(xué)教學(xué)上也又應(yīng)用，比如可以通過(guò)探索多邊形密鋪條件的過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生推理能力及審美力，體會(huì)平面圖形在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用。
密鋪平面系統(tǒng)可分為周期性及非周期性，周期性密鋪平面定義為在平面上，平移一小區(qū)塊的圖案而無(wú)反射和旋轉(zhuǎn)，周期性密鋪平面系統(tǒng)所拼鋪出的平面圖案為單一無(wú)變化性，例如正六邊形瓷磚，或如視覺(jué)美感較豐富的拿破侖密鋪平面瓷磚系統(tǒng)，或詳見(jiàn)http//www.drking.plus.com/hexagons/tess/tess.html。請(qǐng)參考圖25至圖26，由拿破侖定律(Napoleon’s Theorem)推演出來(lái)的密鋪平面圖案所建構(gòu)成的瓷磚系統(tǒng)，杰姆羅伊(Jim Loy)于2003年為拿破侖定律下了定義在任意三角形5的每個(gè)邊遠(yuǎn)離任意三角形一側(cè)劃一個(gè)等腰三角形51、52、53，然后連接這三個(gè)等腰三角形的中心，而形成另外一個(gè)等腰三角形，這個(gè)等腰三角形就是外拿破侖三角形6(outer Napoleon triangle)；另在與任意三角形5相同的任意三角形7的每個(gè)邊與任意三角形7可重合的一側(cè)劃一個(gè)等腰三角形71、72、73，然后連接這三個(gè)等腰三角形的中心，形成另外一個(gè)等腰三角形，這個(gè)等腰三角形就是內(nèi)拿破侖三角形8(innerNapoleon triangle)，值得一提的是，外拿破侖三角形6的面積減去內(nèi)拿破侖三角形8的面積等于原來(lái)任意三角形5的面積。
此外，“相等對(duì)角與對(duì)邊等長(zhǎng)六邊形”也是可以密鋪的，假如a+60°、b+60°、c+60°均為銳角，也就是ABCABC為凸?fàn)盍呅?。根?jù)雷因哈特(K.Reinhardt)1918年在法蘭克福大學(xué)獲得博士的論文發(fā)現(xiàn)，凸?fàn)盍呅蝺H有三種可以是密鋪平面。三個(gè)凸?fàn)盍呅纹渲械囊粋€(gè)條件相鄰三個(gè)角的和是a+60°+b+60°+c+60°＝360°和邊長(zhǎng)A的對(duì)邊D，邊長(zhǎng)也是A，因此我們可以證明一個(gè)“相等對(duì)角與對(duì)邊等長(zhǎng)凸?fàn)盍呅巍笔强梢悦茕伷矫娴摹?Gardner1988)再者，假如a+60°、b+60°、c+60°其中之一角為鈍角，也就是ABCABC是為凹狀六邊形，則不能使用雷因哈特定理證明。但是我們可以使用“對(duì)角線中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)”的原理來(lái)證明，因?yàn)椤跋嗟葘?duì)角與對(duì)邊等長(zhǎng)六邊形”的任何對(duì)角線所分割的兩個(gè)四邊形，即是沿著“對(duì)角線中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)”的影子，所以它是密鋪平面的?？傊?，不論是凹狀或是凸?fàn)睿魏巍跋嗟葘?duì)角與對(duì)邊等長(zhǎng)六邊形”是可以密鋪的。
圖27所示即為拿破侖密鋪平面瓷磚系統(tǒng)，其具有周期性的每一圖案組由三個(gè)不同大小的等邊三角形及三個(gè)相同的三角形所構(gòu)成；對(duì)制造者而言，每一個(gè)六邊形組中各三角形的數(shù)量比例不同，在生產(chǎn)庫(kù)存的管理上相當(dāng)?shù)牟槐憷?，且密鋪時(shí)亦更是復(fù)雜而費(fèi)時(shí)。

發(fā)明內(nèi)容
本發(fā)明的主要目的，在于解決上述的問(wèn)題而提供一種密鋪平面系統(tǒng)，其系以一等腰三角形，該等腰三角形各邊與等邊三角形連接而形成三個(gè)四邊形圖案組，該三個(gè)四邊形圖案組連接形成對(duì)角相等與對(duì)邊等長(zhǎng)的一六邊形，該六邊形各邊分別延伸連接六邊形而建構(gòu)成一密鋪平面，其中一組六邊形組具有三個(gè)三個(gè)四邊形連接構(gòu)成，且每一個(gè)六邊形組中四邊形的數(shù)量各為一個(gè)。對(duì)制造者而言，大幅增進(jìn)生產(chǎn)庫(kù)存的管理的便利性，且密鋪平面系統(tǒng)拼接時(shí)亦更是簡(jiǎn)單而省時(shí)。
為達(dá)前述目的，本發(fā)明其系其系以一等腰三角形為基本元素，依拿破侖定律以其各邊長(zhǎng)延伸一等邊三角形建構(gòu)成三個(gè)四邊形圖案，而可依此三個(gè)四邊形圖案建構(gòu)一個(gè)相等對(duì)角與對(duì)邊等長(zhǎng)的六邊形，該六邊形各邊分別延伸拼接另一六邊形而建構(gòu)成一密鋪平面。
本發(fā)明的上述及其它目的與優(yōu)點(diǎn)，不難從下述所選用實(shí)施例的詳細(xì)說(shuō)明與附圖中，獲得深入了解。


圖1是黃金分割與拿破侖密鋪平面磁磚系統(tǒng)的LLS等腰三角形。
圖2是黃金分割與拿破侖密鋪平面磁磚系統(tǒng)的SSL等腰三角形。
圖3是本發(fā)明的筆尖、左影及右影三個(gè)四邊形圖案組第一實(shí)施例。
圖4是依圖3的三個(gè)四邊形圖案組建構(gòu)成的密鋪平面系統(tǒng)之一，且以周期間隔空白圖案的方式設(shè)置。
圖5是依圖3的三個(gè)四邊形圖案組建構(gòu)成的密鋪平面系統(tǒng)之二的斜鼓形六邊形，且以周期間隔空白圖案的方式設(shè)置。
圖6是依圖3的三個(gè)四邊形經(jīng)四次的平移所建構(gòu)成的平移環(huán)關(guān)系圖。
圖7是依圖3的三個(gè)四邊形圖案組建構(gòu)成的密鋪平面系統(tǒng)之三，且以周期間隔空白圖案的方式設(shè)置。
圖8是依圖3的三個(gè)四邊形圖案組建構(gòu)成的密鋪平面系統(tǒng)之四，且以周期間隔空白圖案的方式設(shè)置。
圖9是依圖3的三個(gè)四邊形圖案組建構(gòu)成的非周期性密鋪平面系統(tǒng)。
圖10是本發(fā)明的筆尖、左影及右影三個(gè)四邊形圖案組第二實(shí)施例。
圖11是依圖10的三個(gè)四邊形圖案組建構(gòu)成的密鋪平面系統(tǒng)之一，且以周期間隔空白圖案的方式設(shè)置。
圖12是依圖10的三個(gè)四邊形圖案組建構(gòu)成的密鋪平面系統(tǒng)之二，且以周期間隔空白圖案的方式設(shè)置。
圖13是依圖10的三個(gè)四邊形圖案組建構(gòu)成的密鋪平面系統(tǒng)之三，且以周期間隔空白圖案的方式設(shè)置。
圖14是依圖10的三個(gè)四邊形圖案組建構(gòu)成的密鋪平面系統(tǒng)之四，且以周期間隔空白圖案的方式設(shè)置。
圖15是本發(fā)明的筆尖、左影及右影三個(gè)四邊形圖案組第三實(shí)施例。
圖16是依圖15的三個(gè)四邊形圖案組建構(gòu)成的密鋪平面系統(tǒng)之一，且以周期間隔空白圖案的方式設(shè)置。
圖17是依圖15的三個(gè)四邊形圖案組建構(gòu)成的密鋪平面系統(tǒng)之二，且以周期間隔空白圖案的方式設(shè)置。
圖18是依圖15的三個(gè)四邊形圖案組建構(gòu)成的密鋪平面系統(tǒng)之三，且以周期間隔空白圖案的方式設(shè)置。
圖19是依圖15的三個(gè)四邊形圖案組建構(gòu)成的密鋪平面系統(tǒng)之四，且以周期間隔空白圖案的方式設(shè)置。
圖20是本發(fā)明的筆尖、左影及右影三個(gè)四邊形圖案組第四實(shí)施例。
圖21是依圖20的三個(gè)四邊形圖案組建構(gòu)成的密鋪平面系統(tǒng)之一，且以周期間隔空白圖案的方式設(shè)置。
圖22是依圖20的三個(gè)四邊形圖案組建構(gòu)成的密鋪平面系統(tǒng)之二，且以周期間隔空白圖案的方式設(shè)置。
圖23是依圖20的三個(gè)四邊形圖案組建構(gòu)成的密鋪平面系統(tǒng)之三，且以周期間隔空白圖案的方式設(shè)置。
圖24是依圖20的三個(gè)四邊形圖案組建構(gòu)成的密鋪平面系統(tǒng)之四，且以周期間隔空白圖案的方式設(shè)置。
圖25是習(xí)知外拿破侖三角形。
圖26是習(xí)知內(nèi)拿破侖三角形。
圖27是習(xí)用拿破侖密鋪平面磁磚系統(tǒng)示意圖。
圖28是夾角α等腰三角形建置成的三組四邊形、六邊與八邊對(duì)稱拿破侖密鋪瓷磚圖形。
具體實(shí)施例方式
本發(fā)明主要結(jié)合黃金分割律與拿破侖定律推演出的密鋪平面組成單元，其中，黃金分割經(jīng)常被應(yīng)用在密鋪平面圖案設(shè)計(jì)，在羅馬的奧古斯都時(shí)代，名建筑師維特魯維亞(Marcus Vitruvius Pollio)制定了“黃金分割律”，指出一個(gè)平面若能分為和諧并且具有美感的幾塊面積，其中最小塊與最大塊的比例應(yīng)當(dāng)?shù)扔谧畲髩K與整個(gè)的比例。
圖1至圖2所示，其是以黃金分割為比例所構(gòu)成的兩個(gè)等腰三角形，其長(zhǎng)段和短段分別稱為L(zhǎng)和S，即形成了LLS和SSL兩個(gè)等腰三角形了。
此兩個(gè)等腰三角形的夾角分別是36°的1倍與3倍，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算得到等腰三角形LLS的三個(gè)邊邊長(zhǎng)比例和內(nèi)角分別是(1∶1∶0.618)、(72°、72°、36°)；而另一個(gè)等腰三角形SSL的三個(gè)邊邊長(zhǎng)比例和內(nèi)角分別是(1∶1∶1.618)、(36°、36°、108°)；并且，再加入夾角分別是36°的2倍(即72°)與4倍(即144°)的兩個(gè)等腰三角形，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算得到三個(gè)邊邊長(zhǎng)比例和內(nèi)角分別是(1∶1∶0.851)、(54°、54°、72°)和(1∶1∶0.526)、(18°、18°、144°)。
請(qǐng)參閱圖3至圖9，依據(jù)前述四個(gè)等腰三角形的其中之任一，以拿破侖定律自其各邊長(zhǎng)延伸一等邊三角形建構(gòu)成三個(gè)四邊形圖案，而可依此三個(gè)四邊形圖案建構(gòu)一個(gè)“相等對(duì)角與對(duì)邊等長(zhǎng)的六邊形”，茲詳述如下。
如圖3所示，三個(gè)四邊形圖案組11、12、13均是以一黃金分割的等腰三角形1為基本元素，其中，該等腰三角形的三個(gè)邊分別為A、B及C，令B＝C，該三個(gè)邊A、B及C分別具有一對(duì)應(yīng)角a、b及c，該三個(gè)四邊形圖案組11、12、13分別形成一筆尖(pen head)四邊形AABB(60°、b+60°、a、b+60°)、一左影(left shadow)四邊形BBBA(60°、a+60°、b、b+60°)、一右影(right shadow)四邊形BBAB(60°、b+60°、b、a+60°)。
圖3至圖9所示，是夾角36°等腰三角形建構(gòu)成的筆尖、左影、右影三個(gè)四邊形圖案組，在實(shí)施例中a＝36°，b＝c＝72°，為本發(fā)明的密鋪平面系統(tǒng)第一實(shí)施例，該四邊形圖案組的邊長(zhǎng)比計(jì)算公式為邊長(zhǎng)＝2×sin(18°)＝0.618；該筆尖四邊形11其邊長(zhǎng)比例(0.618∶0.618∶1∶1)和內(nèi)角(60°、132°、36°、132°)、該左影四邊形12邊長(zhǎng)比例(1∶1∶1∶0.618)和內(nèi)角(60°、96°、72°、132°)、該右影四邊形13邊長(zhǎng)比例(1∶1∶0.618∶1)和內(nèi)角(60°、132°、72°、96°)。
如圖3所示，當(dāng)將以上三個(gè)四邊形圖案組的左影與右影分別與筆尖的同一邊的兩個(gè)邊結(jié)合，可以形成兩個(gè)相等對(duì)角與對(duì)邊等長(zhǎng)的六邊形10，稱它為鼓形(drum)，該鼓形六邊形10邊長(zhǎng)比例(0.618∶1∶1∶0.618∶1∶1)和內(nèi)角(96°、132°、132°、96°、132°、132°)。
圖4至圖5所示是鼓形與斜鼓形六邊形密鋪平面瓷磚，因?yàn)楣男问且粋€(gè)“相等對(duì)角與對(duì)邊等長(zhǎng)的六邊形”，根據(jù)上述黃金分割律與拿破侖定律推論，鼓形六邊形是可以密鋪的。黃金分割比例與黃金分割角分別在鼓形六邊形的邊長(zhǎng)與內(nèi)角表現(xiàn)出來(lái)，首先是鼓形六邊形的邊長(zhǎng)比例0.618∶1，它也可以改寫成1∶0.618，這是邊長(zhǎng)為黃金分割比例的鼓形六邊形，至于鼓形六邊形的兩種內(nèi)角96°與132°分別是60°和36°與72°的和。
圖6所示，假若以鼓形六邊形筆尖為中心，左影與右影“平移”與筆尖的對(duì)邊結(jié)合，可以形成兩個(gè)對(duì)稱的八邊形，分別稱它們?yōu)槿~形(threeleaves)與雁形(goose)，然后分別再次地將右影與左影“平移”與筆尖的對(duì)邊結(jié)合，均回歸到斜鼓形(skew drum)六邊形，此四次“平移”所建構(gòu)的關(guān)系圖稱為“平移環(huán)(translation circle)”。
圖7至圖8所示是三葉形與雁形八邊形密鋪平面瓷磚，因?yàn)楣男瘟呅问敲茕伷矫妫?jīng)過(guò)“平移”的動(dòng)作，三葉形與雁形也是密鋪平面。三葉形八邊形密鋪平面瓷磚邊長(zhǎng)比例(1∶1∶1∶1∶1∶1∶1∶1)和內(nèi)角(36°、264°、60°、96°、204°、96°、60°、264°)。雁形八邊形密鋪平面瓷磚邊長(zhǎng)比例(0.168∶1∶0.168∶1∶0.168∶1∶0.168∶1)和內(nèi)角(60°、228°、72°、132°、156°、132°、72°、228°)。
值得一提的是，三葉形八邊形與雁形八邊形的邊長(zhǎng)與內(nèi)角與黃金分割比例與黃金分割角有密切的關(guān)系。其中，等邊對(duì)稱的凹狀八邊形的三葉形的八個(gè)邊的邊長(zhǎng)均等，其內(nèi)角由黃金分割角帶頭，然后除了60°，就是三種內(nèi)角264°、96°、204°，分別是120°和144°、60°和36°、60°和144°的和。如鼓形六邊形一樣，雁形八邊形的邊長(zhǎng)是黃金分割比例0.618∶1，即1∶1.618，亦稱為“黃金比例的雁形八邊形”，其內(nèi)角由60°帶頭，然后除了黃金分割角72°，就是三種內(nèi)角228°、132°、156°，分別是120°和36°+72°、60°和72°、120°和36°的和。
上述三個(gè)四邊形圖案建構(gòu)的密鋪平面系統(tǒng)，其中，該鼓形六邊形、三葉形與雁形八邊形中任一個(gè)的六邊形或八邊形所含的筆尖四邊形11、左影四邊形12、右影四邊形13數(shù)量各為一個(gè)；對(duì)制造者而言，大幅增進(jìn)廠商庫(kù)存管理的便利性，且密鋪時(shí)可更簡(jiǎn)單而省時(shí)。
圖9所示，是以前述三個(gè)四邊形圖案建構(gòu)的另一種密鋪平面系統(tǒng)，其包括利用相同的三個(gè)四邊形圖案11、12、13拼鋪成二種鼓形六邊形，其中一種鼓形六邊形的筆尖四邊形11與左影四邊形12、右影四邊形13相較于另一種六邊形系成鏡射平移，此證明本發(fā)明的三個(gè)四邊形圖案可做為周期性及非周期性密鋪平面系統(tǒng)。
當(dāng)然，本發(fā)明仍存在許多例子，其間僅細(xì)節(jié)上的變化。請(qǐng)參閱圖10至圖14，為本發(fā)明的密鋪平面系統(tǒng)第二實(shí)施例，是夾角72°等腰三角形建構(gòu)成的筆尖、左影、右影三個(gè)四邊形圖案組，在本實(shí)施例中a＝72°，b＝c＝54°，其中該四邊形圖案組的邊長(zhǎng)比計(jì)算公式為邊長(zhǎng)＝2×sin(36°)＝1.176；該筆尖四邊形21邊長(zhǎng)比例(1.176∶1.176∶1∶1)和內(nèi)角(60°、114°、72°、114°)、該左影四邊形22邊長(zhǎng)比例(1∶1∶1∶1.176)和內(nèi)角(60°、132°、54°、114°)、該右影四邊形23邊長(zhǎng)比例(1∶1∶1.176∶1)和內(nèi)角(60°、114°、54°、132°)。夾角是兩倍黃金分割角的三個(gè)四邊形的邊長(zhǎng)比例1.176∶1和內(nèi)角，在圖形分辨上會(huì)是一種尷尬的局面。首先是邊長(zhǎng)比例1.176和1的數(shù)值實(shí)在太接近了，從筆尖四邊形的外形看起來(lái)簡(jiǎn)直像個(gè)菱形；內(nèi)角所含的黃金分割角54°和60°僅僅相差6°，實(shí)在是太接近了，根本無(wú)法分辨。
圖11至圖12所示是鼓形與斜鼓形六邊形密鋪平面瓷磚，當(dāng)將以上三個(gè)四邊形圖案組的左影與右影分別與筆尖的同一邊的兩個(gè)邊結(jié)合，可以形成兩個(gè)相等對(duì)角與對(duì)邊等長(zhǎng)的六邊形，稱它為鼓形(drum)，該鼓形六邊形邊長(zhǎng)比例(1.176∶1∶1∶1.176∶1∶1)和內(nèi)角(132°、114°、114°、132°、114°、114°)。
圖13至圖14所示是三葉形與雁形八邊形密鋪平面瓷磚，假若以筆尖為中心，左影與右影對(duì)稱地將長(zhǎng)邊與筆尖的長(zhǎng)邊結(jié)合，三個(gè)四邊形結(jié)合在一起，可以形成兩個(gè)“相等邊長(zhǎng)對(duì)稱的八邊形”，分別稱它們?yōu)槿~形(three leaves)與雁形(goose)。三葉形八邊形密鋪平面瓷磚邊長(zhǎng)比例(1∶1∶1∶1∶1∶1∶1∶1)和內(nèi)角(72°、228°、60°、132°、168°、132°、60°、228°)。雁形八邊形密鋪平面瓷磚邊長(zhǎng)比例(1.176∶1∶1.176∶1∶1.176∶1∶1.176∶1)和內(nèi)角(60°、246°、54°、114°、192°、114°、54°、246°)。
圖15至圖19所示為本發(fā)明的密鋪平面系統(tǒng)第三實(shí)施例，是夾角108°等腰三角形建構(gòu)成的筆尖、左影、右影三個(gè)四邊形圖案組，在本實(shí)施例中a＝108°，b＝c＝36°，其中該四邊形圖案組的邊長(zhǎng)比計(jì)算公式為邊長(zhǎng)＝2×sin(54°)＝1.618；該筆尖四邊形31邊長(zhǎng)比例(1.618∶1.618∶1∶1)和內(nèi)角(60°、96°、108°、96°)、該左影四邊形32邊長(zhǎng)比例(1∶1∶1∶1.618)和內(nèi)角(60°、168°、36°、96°)、該右影四邊形33邊長(zhǎng)比例(1∶1∶1.618∶1)和內(nèi)角(60°、96°、36°、168°)。
圖16至圖17所示是鼓形與斜鼓形六邊形密鋪平面瓷磚，當(dāng)將以上三個(gè)四邊形圖案組的左影與右影分別與筆尖的同一邊的兩個(gè)邊結(jié)合，可以形成兩個(gè)相等對(duì)角與對(duì)邊等長(zhǎng)的六邊形，稱它為鼓形(drum)，該鼓形六邊形的邊長(zhǎng)比例是(1.618∶1∶1∶1.618∶1∶1)和內(nèi)角(168°、96°、96°、168°、96°、96°)。黃金分割比例與黃金分割角分別在鼓形六邊形的邊長(zhǎng)與內(nèi)角表現(xiàn)出來(lái)，首先是鼓形六邊形的邊長(zhǎng)比例1∶1.618，它也可以改寫成1.618∶1，這是邊長(zhǎng)為“黃金分割比例的鼓形六邊形”，至于鼓形六邊形的兩種內(nèi)角96°與168°分別是60°和36°與108°的和。
圖18至圖19所示是三葉形與雁形八邊形密鋪平面瓷磚，假若以筆尖為中心，左影與右影對(duì)稱地將長(zhǎng)邊與筆尖的長(zhǎng)邊結(jié)合，三個(gè)四邊形結(jié)合在一起，可以形成兩個(gè)“相等邊長(zhǎng)對(duì)稱的八邊形”，分別稱它們?yōu)槿~形(three leaves)與雁形(goose)。三葉形八邊形密鋪平面瓷磚邊長(zhǎng)比例(1∶1∶1∶1∶1∶1∶1∶1)和內(nèi)角(108°、192°、60°、168°、132°、168°、60°、192°)。雁形八邊形密鋪平面瓷磚邊長(zhǎng)比例(1.618∶1∶1.618∶1∶1.618∶1∶1.618∶1)和內(nèi)角(60°、264°、36°、96°、228°、96°、36°、264°)。黃金分割比例與黃金分割角分別在雁形八邊形的邊長(zhǎng)與內(nèi)角表現(xiàn)出來(lái)，首先是雁形八邊形的邊長(zhǎng)比例1∶1.618，它也可以改寫成1.618∶1，這是邊長(zhǎng)為黃金分割比例的雁形八邊形，和鼓形六邊形一樣，亦稱呼它為“黃金比例的雁形八邊形”。至于雁形八邊形的內(nèi)角264°、96°與228°分別是120°和144°、60°與36°、120°和108°的和。
圖20至圖24為本發(fā)明的密鋪平面系統(tǒng)第四實(shí)施例，是夾角144°等腰三角形建構(gòu)成的筆尖、左影、右影三個(gè)四邊形圖案組，在本實(shí)施例中a＝144°，b＝c＝18°，其中該四邊形圖案組的邊長(zhǎng)比計(jì)算公式為邊長(zhǎng)＝2×sin(72°)＝1.902；該筆尖四邊形41邊長(zhǎng)比例(1.902∶1.902∶1∶1)和內(nèi)角(60°、78°、144°、78°)、該左影四邊形42邊長(zhǎng)比例(1∶1∶1∶1.902)和內(nèi)角(60°、204°、18°、78°)、該右影四邊形43邊長(zhǎng)比例(1∶1∶1.902∶1)和內(nèi)角(60°、78°、18°、204°)。
圖21至圖22所示是鼓形與斜鼓形六邊形密鋪平面瓷磚，當(dāng)將以上三個(gè)四邊形圖案組的左影與右影分別與筆尖的同一邊的兩個(gè)邊結(jié)合，可以形成兩個(gè)“相等對(duì)角與對(duì)邊等長(zhǎng)的六邊形”，稱它為鼓形(drum)，該鼓形六邊形的邊長(zhǎng)比例是(1.902∶1∶1∶1.902∶1∶1)和內(nèi)角(204°、78°、78°、204°、78°、78°)。由于有內(nèi)角204°超過(guò)180°，因此稱呼它為凹狀鼓形六邊形。
圖23至圖24所示是三葉形與雁形八邊形密鋪平面瓷磚，假若以筆尖為中心，左影與右影對(duì)稱地將長(zhǎng)邊與筆尖的長(zhǎng)邊結(jié)合，三個(gè)四邊形結(jié)合在一起，可以形成兩個(gè)“相等邊長(zhǎng)對(duì)稱的八邊形”，分別稱它們?yōu)槿~形(three leaves)與雁形(goose)。三葉形八邊形密鋪平面瓷磚邊長(zhǎng)比例(1∶1∶1∶1∶1∶1∶1∶1)和內(nèi)角(144°、156°、60°、204°、96°、204°、60°、156°)。雁形八邊形密鋪平面瓷磚邊長(zhǎng)比例(1.902∶1∶1.902∶1∶1.902∶1∶1.902∶1)和內(nèi)角(60°、282°、18°、78°、264°、78°、18°、282°)。
經(jīng)過(guò)以上的論述，我們可以知道依據(jù)拿破侖定理所做成的三組四邊形、六邊鼓形與八邊三葉形和雁形對(duì)稱圖形，是可以組成密鋪瓷磚圖案。我們假設(shè)任何等腰三角形夾角α，兩個(gè)等腰角β，底邊與腰身的邊長(zhǎng)比例為λ?？梢杂?jì)算出它們邊長(zhǎng)與夾角，請(qǐng)參照表一。當(dāng)然，假若夾角是與黃金分割有關(guān)的36°、72°、108°、144°等四個(gè)角的等腰三角形的邊長(zhǎng)與夾角，也可以參閱圖28。值得一提的是，當(dāng)?shù)妊切螉A角α等于60°的時(shí)候，三組四邊形全都成為相同的筆尖圖形，六邊鼓形成為正六邊形，八邊三葉形與雁形成為一個(gè)相同的凹狀等邊八邊形。當(dāng)?shù)妊切螉A角α大于60°的時(shí)候，四邊形左影與右影的名稱則需要相互對(duì)調(diào)才能名符其實(shí)。同時(shí)八邊三葉形與雁形的名稱也需要相互對(duì)調(diào)。左影與右影、三葉形與雁形相互對(duì)調(diào)的現(xiàn)象，我們稱之為“互調(diào)現(xiàn)象(mutual transposition)”。四邊形的左影與右影和八邊形的三葉形與雁形分別互稱為“對(duì)偶圖案(dual pattern)”。
權(quán)利要求
1.一種密鋪平面系統(tǒng)，其特征在于其以一等腰三角形為基本元素，依拿破侖定律以其各邊長(zhǎng)延伸一等邊三角形建構(gòu)成三種四邊形圖案，而可依此三種四邊形圖案的多數(shù)建構(gòu)一個(gè)密鋪平面系統(tǒng)。
2.根據(jù)權(quán)利要求1所述的密鋪平面系統(tǒng)，其中該等腰三角形的三個(gè)邊分別為第一邊(A)、第二邊(B)及第三邊(C)，令第二邊與第三邊相等，該三個(gè)邊(A、B、C)分別具有一對(duì)應(yīng)角第一角(a)、第二角(b)及第三角(c)，該三個(gè)四邊形圖案組分別形成一筆尖四邊形(AABB)，角度為60°、比第二角(b)增加60°、第一角(a)、比第二角(b)增加60°、一左影四邊形(BBBA)，角度為60°、比第一角(a)增加60°、第二角(b)、比第二角(b)增加60°、一右影四邊形(BBAB)，角度為60°、比第二角(b)增加60°、第二角(b)、比第一角(a)增加60°。
3.根據(jù)權(quán)利要求2所述的密鋪平面系統(tǒng)，其中第一角(a)為36°，第二角(b)與第三角(c)相等，均為72°；該筆尖四邊形邊長(zhǎng)比例為0.618∶0.618∶1∶1；內(nèi)角分別為60°、132°、36°、132°、該左影四邊形邊長(zhǎng)比例為1∶1∶1∶0.618；內(nèi)角分別為60°、96°、72°、132°、該右影四邊形邊長(zhǎng)比例為1∶1∶0.618∶1；內(nèi)角分別為60°、132°、72°、96°，以形成該六邊形邊長(zhǎng)比例為0.618∶1∶1∶0.618∶1∶1；內(nèi)角分別為96°、132°、132°、96°、132°、132°。
4.根據(jù)權(quán)利要求3所述的密鋪平面系統(tǒng)，其中該三個(gè)四邊形圖案組的左影與右影分別與筆尖的同一邊的兩個(gè)邊結(jié)合，以形成兩個(gè)相等對(duì)角與對(duì)邊等長(zhǎng)的鼓形六邊形。
5.根據(jù)權(quán)利要求4所述的密鋪平面系統(tǒng)，其中該密鋪平面系統(tǒng)系以一鼓形六邊形筆尖為中心，左影與右影平移與筆尖的對(duì)邊結(jié)合，以形成兩個(gè)對(duì)稱的八邊形，分別稱為三葉形與雁形八邊形。
6.根據(jù)權(quán)利要求5所述的密鋪平面系統(tǒng)，其中該三葉形八邊形密鋪平面邊長(zhǎng)比例為1∶1∶1∶1∶1∶1∶1∶1；內(nèi)角為36°、264°、60°、96°、204°、96°、60°、264°；該雁形八邊形密鋪平面瓷磚邊長(zhǎng)比例為0.168∶1∶0.168∶1∶0.168∶1∶0.168∶1；內(nèi)角為60°、228°、72°、132°、156°、132°、72°、228°。
7.根據(jù)權(quán)利要求2所述的密鋪平面系統(tǒng)，其中第一邊(a)為72°，第二邊(b)與第三邊(c)相等，均為54°；該筆尖四邊形邊長(zhǎng)比例為1.176∶1.176∶1∶1；內(nèi)角為60°、114°、72°、114°、該左影四邊形邊長(zhǎng)比例為1∶1∶1∶1.176；內(nèi)角為60°、132°、54°、114°、該右影四邊形邊長(zhǎng)比例為1∶1∶1.176∶1；內(nèi)角為60°、114°、54°、132°，以形成該六邊形邊長(zhǎng)比例為1.176∶1∶1∶1.176∶1∶1；內(nèi)角為132°、114°、114°、132°、114°、114°。
8.根據(jù)權(quán)利要求3所述的密鋪平面系統(tǒng)，其中該三個(gè)四邊形圖案組的左影與右影分別與筆尖的同一邊的兩個(gè)邊結(jié)合，以形成兩個(gè)相等對(duì)角與對(duì)邊等長(zhǎng)的鼓形六邊形。
9.根據(jù)權(quán)利要求4所述的密鋪平面系統(tǒng)，其中該密鋪平面系統(tǒng)系以一鼓形六邊形筆尖為中心，左影與右影平移與筆尖的對(duì)邊結(jié)合，以形成兩個(gè)對(duì)稱的八邊形，分別稱為三葉形與雁形八邊形。
10.根據(jù)權(quán)利要求9所述的密鋪平面系統(tǒng)，其中三葉形八邊形密鋪平面瓷磚邊長(zhǎng)比例為1∶1∶1∶1∶1∶1∶1∶1；內(nèi)角為72°、228°、60°、132°、168°、132°、60°、228°；雁形八邊形密鋪平面瓷磚邊長(zhǎng)比例為1.176∶1∶1.176∶1∶1.176∶1∶1.176∶1；內(nèi)角為60°、246°、54°、114°、192°、114°、54°、246°。
11.根據(jù)權(quán)利要求2所述的密鋪平面系統(tǒng)，其中第一角(a)為108°，第二邊(b)與第三邊(c)相等，均為36°；該筆尖四邊形邊長(zhǎng)比例為1.618∶1.618∶1∶1；內(nèi)角為60°、96°、108°、96°、該左影四邊形邊長(zhǎng)比例為1∶1∶1∶1.618；內(nèi)角為60°、168°、36°、96°、該右影四邊形邊長(zhǎng)比例為1∶1∶1.618∶1；內(nèi)角為60°、96°、36°、168°，以形成該六邊形邊長(zhǎng)比例為1.618∶1∶1∶1.618∶1∶1；內(nèi)角為168°、96°、96°、168°、96°、96°。
12.根據(jù)權(quán)利要求11所述的密鋪平面系統(tǒng)，其中該三個(gè)四邊形圖案組的左影與右影分別與筆尖的同一邊的兩個(gè)邊結(jié)合，以形成兩個(gè)相等對(duì)角與對(duì)邊等長(zhǎng)的鼓形六邊形。
13.根據(jù)權(quán)利要求12所述的密鋪平面系統(tǒng)，其中該密鋪平面系統(tǒng)系以一鼓形六邊形筆尖為中心，左影與右影平移與筆尖的對(duì)邊結(jié)合，以形成兩個(gè)對(duì)稱的八邊形，分別稱為三葉形與雁形八邊形。
14.根據(jù)權(quán)利要求13所述的密鋪平面系統(tǒng)，其中三葉形八邊形密鋪平面瓷磚邊長(zhǎng)比例為1∶1∶1∶1∶1∶1∶1∶1；內(nèi)角為108°、192°、60°、168°、132°、168°、60°、192°；雁形八邊形密鋪平面瓷磚邊長(zhǎng)比例為1.618∶1∶1.618∶1∶1.618∶1∶1.618∶1；內(nèi)角為60°、264°、36°、96°、228°、96°、36°、264°。
15.根據(jù)權(quán)利要求2所述的密鋪平面系統(tǒng)，其中第一邊(a)為144°，第二邊(b)與第三邊(c)相等，均為18°；該筆尖四邊形邊長(zhǎng)比例為1.902∶1.902∶1∶1，內(nèi)角為60°、78°、144°、78°、該左影四邊形邊長(zhǎng)比例為1∶1∶1∶1.902；內(nèi)角為60°、204°、18°、78°、該右影四邊形邊長(zhǎng)比例為1∶1∶1.902∶1；內(nèi)角為60°、78°、18°、204°，以形成該六邊形邊長(zhǎng)比例為1.902∶1∶1∶1.902∶1∶1；內(nèi)角為204°、78°、78°、204°、78°、78°。
16.根據(jù)權(quán)利要求15所述的密鋪平面系統(tǒng)，其中該三個(gè)四邊形圖案組的左影與右影分別與筆尖的同一邊的兩個(gè)邊結(jié)合，以形成兩個(gè)相等對(duì)角與對(duì)邊等長(zhǎng)的鼓形六邊形。
17.根據(jù)權(quán)利要求16所述的密鋪平面系統(tǒng)，其中該密鋪平面系統(tǒng)系以一鼓形六邊形筆尖為中心，左影與右影平移與筆尖的對(duì)邊結(jié)合，以形成兩個(gè)對(duì)稱的八邊形，分別稱為三葉形與雁形八邊形。
18.根據(jù)權(quán)利要求17所述的密鋪平面系統(tǒng)，其中三葉形八邊形密鋪平面瓷磚邊長(zhǎng)比例為1∶1∶1∶1∶1∶1∶1∶1；內(nèi)角為144°、156°、60°、204°、96°、204°、60°、156°；雁形八邊形密鋪平面瓷磚邊長(zhǎng)比例為1.902∶1∶1.902∶1∶1.902∶1∶1.902∶1；內(nèi)角為60°、282°、18°、78°、264°、78°、18°、282°。
全文摘要
一種密鋪平面系統(tǒng)，其是以一等腰三角形為基本元素，依拿破侖定律以其各邊長(zhǎng)延伸一等邊三角形建構(gòu)成三個(gè)四邊形圖案，而可依此三個(gè)四邊形圖案建構(gòu)一個(gè)相等對(duì)角與對(duì)邊等長(zhǎng)的六邊形，該六邊形各邊分別延伸拼接另一六邊形而建構(gòu)成一密鋪平面，以供各六邊形中的四邊形圖案組具有相同的數(shù)量所構(gòu)成者。假若平移該六邊形當(dāng)中兩個(gè)非對(duì)稱四邊形圖案之一，就可以形成一個(gè)對(duì)稱等邊八邊形、一個(gè)和先前完全對(duì)稱的六邊形和一個(gè)兩不等交互邊長(zhǎng)對(duì)稱八邊形，最后回到原來(lái)的六邊形。此四次“平移”可以建構(gòu)成一個(gè)“平移環(huán)”。這些圖案組可以藉地磚的形式呈現(xiàn)，應(yīng)用在平鋪地面或墻壁，諸如游戲拼圖，包括電視和計(jì)算機(jī)游戲，圖案用來(lái)建造迷宮或其它用途。
文檔編號(hào)B44C1/10GK101045426SQ20061006586
公開(kāi)日2007年10月3日 申請(qǐng)日期2006年3月28日 優(yōu)先權(quán)日2006年3月28日
發(fā)明者呂克明 申請(qǐng)人:呂克明