專利名稱：：一種消除歐拉角奇異性的轉(zhuǎn)角增量方法
技術(shù)領(lǐng)域：
：本發(fā)明涉及一種消除歐拉角奇異性的轉(zhuǎn)角增量方法。
背景技術(shù)：
：描述物體空間姿態(tài)時(shí)通常用歐拉角進(jìn)行定義，比如描述一個(gè)裝配體中各組成部件之間的相對(duì)方位時(shí)，經(jīng)常用歐拉角進(jìn)行描述，通?？梢杂擅枋龈鞑考植孔鴺?biāo)系方位的旋轉(zhuǎn)變換矩陣反求得到。但是由于歐拉角本身固有的缺陷，總是存在一對(duì)奇異點(diǎn)，在此情況下，無法根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換矩陣反求得到其歐拉角的數(shù)值。以按3-1-2順序旋轉(zhuǎn)(3-1-2順序是指依次繞Z軸旋轉(zhuǎn)α角-繞X軸旋轉(zhuǎn)β角-繞Y軸旋轉(zhuǎn)Y角)的歐拉角為例，當(dāng)β為士90°時(shí)，α角和Υ角無法唯一確定，參見J.Wittenburg著，謝傳鋒譯《多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)》。目前，克服歐拉角奇異點(diǎn)問題通常采取四元數(shù)法或雙歐法。這些方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，都在一定程度上能克服歐拉角的奇異性問題，但是算法復(fù)雜，并且不能直接給出歐拉角的表述，在實(shí)際應(yīng)用中還需要進(jìn)行二次轉(zhuǎn)換，增加程序開發(fā)和數(shù)學(xué)描述的難度。
發(fā)明內(nèi)容本發(fā)明是為避免上述現(xiàn)有技術(shù)所存在的不足，提供一種對(duì)算法要求較低、便于程序?qū)崿F(xiàn)的消除歐拉角奇異性的轉(zhuǎn)角增量方法。以期根據(jù)轉(zhuǎn)換矩陣直接得到描述物體空間姿態(tài)的歐拉角的準(zhǔn)確數(shù)值，以便在實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)合中根除歐拉角奇異性大帶來的不便。本發(fā)明解決技術(shù)問題采用如下技術(shù)方案。假定描述對(duì)象的初始方位為OXYZ坐標(biāo)系，當(dāng)前方位為OX1Y1Z1坐標(biāo)系，OX1Y1Z1坐標(biāo)系相對(duì)OXYZ坐標(biāo)系的方位用旋轉(zhuǎn)變換矩陣M給出，旋轉(zhuǎn)變換矩陣M與3-1-2順序的歐拉角之間有如下的關(guān)系<formula>formulaseeoriginaldocumentpage3</formula>式中角度α、β和γ分別表示OXYZ坐標(biāo)系依次繞Z軸旋轉(zhuǎn)α角、繞X軸旋轉(zhuǎn)β角和繞Y軸旋轉(zhuǎn)Y角即變換為OX1Y1Z1坐標(biāo)系；歐拉角的奇異點(diǎn)是當(dāng)β為士90°時(shí)，α角和Υ角無法唯一確定；針對(duì)歐拉角的奇異點(diǎn)，本發(fā)明方法的特點(diǎn)是按如下步驟操作1、先將OXYZ坐標(biāo)系繞OX軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)給定的轉(zhuǎn)角增量θ(0°<θ<90°或-90°<θ<0°)，轉(zhuǎn)換為OX2Y2Z2坐標(biāo)系;2、根據(jù)OX1Y1Z1坐標(biāo)系相對(duì)OX2Y2Z2坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換矩陣虬可以反求出OX2Y2Z2坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為OX1Y1Z1坐標(biāo)系的歐拉角αi、βi、γi；3、則OX1Y1Z1坐標(biāo)系相對(duì)OXYZ坐標(biāo)系的方位可以用先后兩組歐拉角轉(zhuǎn)換得到；所述兩組歐拉角分別是第1組為(0°，θ，ο°丨，第？組為…工，^^，、)。與已有技術(shù)相比，本發(fā)明有益效果體現(xiàn)在1、本發(fā)明方法對(duì)算法要求較低、便于程序?qū)崿F(xiàn)。2、本發(fā)明根據(jù)轉(zhuǎn)換矩陣直接得到描述物體空間姿態(tài)的歐拉角的準(zhǔn)確數(shù)值，可在實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)合中根除歐拉角奇異性帶來的不便。3、本發(fā)明解決了描述物體空間姿態(tài)時(shí)部分特殊姿態(tài)不能準(zhǔn)確利用歐拉角進(jìn)行描述的問題，從而在程序開發(fā)中可以做到描述方法和程序開發(fā)上的普適性和統(tǒng)一性。圖1為本發(fā)明方法示意圖。圖2為空調(diào)配管系統(tǒng)模型圖。圖3為歐拉角出現(xiàn)奇異時(shí)的重建模型，圖中未包括回氣管和排氣管。圖4為以本發(fā)明方法消除了歐拉角奇異性的重建模型，圖中未包括回氣管和排氣管。以下通過具體實(shí)施方式，結(jié)合附圖對(duì)本發(fā)明作進(jìn)一步說明具體實(shí)施例方式假定描述對(duì)象的初始方位為OXYZ坐標(biāo)系，當(dāng)前方位為OX1Y1Z1坐標(biāo)系，OX1Y1Z1坐標(biāo)系相對(duì)OXYZ坐標(biāo)系的方位用旋轉(zhuǎn)變換矩陣M給出，旋轉(zhuǎn)變換矩陣M與3-1-2順序的歐拉角之間有如下的關(guān)系<formula>formulaseeoriginaldocumentpage4</formula>式中角度α、β和γ分別表示OXYZ坐標(biāo)系依次繞Z軸旋轉(zhuǎn)α角、繞X軸旋轉(zhuǎn)β角和繞Y軸旋轉(zhuǎn)Y角即變換為OX1Y1Z1坐標(biāo)系；歐拉角的奇異點(diǎn)是當(dāng)β為士90°時(shí)，α角和Y角無法唯一確定；本實(shí)施例中消除歐拉角奇異性的轉(zhuǎn)角增量方法的特點(diǎn)是按如下步驟操作a、先將OXYZ坐標(biāo)系繞OX軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)給定的轉(zhuǎn)角增量θ，0°<θ<90°或-90°<θ<0°，轉(zhuǎn)換為OX2Y2Z2坐標(biāo)系；b、根據(jù)OX1Y1Z1坐標(biāo)系相對(duì)OX2Y2Z2坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換矩陣M1反求出OX2Y2Z2坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為OX1Y1Z1坐標(biāo)系的歐拉角αi、βi、γi；c、則OX1Y1Z1坐標(biāo)系相對(duì)OXYZ坐標(biāo)系的方位可以用先后兩組歐拉角轉(zhuǎn)換得到；所述兩組歐拉角分別是第1組為(0°，θ，ο°丨，第？組為…工，^^，、)。數(shù)學(xué)依據(jù)的推導(dǎo)過程如下1、由OXYZ坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到OX1Y1Z1坐標(biāo)系的過程中有如下矩陣<formula>formulaseeoriginaldocumentpage4</formula><formula>formulaseeoriginaldocumentpage5</formula>其中，矩陣Z，X和Y分別表示OXYZ坐標(biāo)系繞OZ軸旋轉(zhuǎn)α角時(shí)的變換矩陣，OXYZ坐標(biāo)系繞OX軸旋轉(zhuǎn)β角時(shí)的變換矩陣，以及OXYZ坐標(biāo)系繞OY軸旋轉(zhuǎn)、角時(shí)的變換矩陣。則由OXYZ坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到OX1Y1Z1坐標(biāo)系的總的旋轉(zhuǎn)變換矩陣B可以表示為<formula>formulaseeoriginaldocumentpage5</formula>又B=M，并且旋轉(zhuǎn)變化矩陣M中的元素是已知的，即M=M3MAM5已知。2、OXYZ坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到OX2Y2Z2坐標(biāo)系的過程中有如下矩陣<formula>formulaseeoriginaldocumentpage5</formula>其中，矩陣Z2，X2和Y2分別表示OXYZ坐標(biāo)系繞OZ軸旋轉(zhuǎn)0°時(shí)的變換矩陣，OXYZ坐標(biāo)系繞OX軸旋轉(zhuǎn)θ角時(shí)的變換矩陣，以及OXYZ坐標(biāo)系繞OY軸旋轉(zhuǎn)0°時(shí)的變換矩陣。則由OXYZ坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到OX1Y1Z1坐標(biāo)系的總的旋轉(zhuǎn)變換矩陣B2可以表示為<formula>formulaseeoriginaldocumentpage5</formula>3、OX2Y2Z2坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到OX1Y1Z1坐標(biāo)系的過程中有如下矩陣<formula>formulaseeoriginaldocumentpage5</formula><formula>formulaseeoriginaldocumentpage6</formula>。其中，矩陣ZpX1和Y1分別表示OX2Y2Z2坐標(biāo)系繞OZ2軸旋轉(zhuǎn)α角時(shí)的變換矩陣，OX2Y2Z2坐標(biāo)系繞OX2軸旋轉(zhuǎn)β！角時(shí)的變換矩陣，以及OX2Y2Z2坐標(biāo)系繞OY2軸旋轉(zhuǎn)Yi時(shí)的變換矩陣。則由OX2Y2Z2坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到OX1Y1Z1坐標(biāo)系的總的旋轉(zhuǎn)變換矩陣B1可以表示為<formula>formulaseeoriginaldocumentpage6</formula>由圖1可知<formula>formulaseeoriginaldocumentpage6</formula>-------------④④式兩邊同時(shí)左乘B2的逆B24，得<formula>formulaseeoriginaldocumentpage6</formula>------------⑤因?yàn)樾D(zhuǎn)矩陣是正交的，所以求它的逆就是求它的轉(zhuǎn)置(參見FletcherDunn.IanParberry著，史銀雪、陳洪、王榮靜譯《3D數(shù)學(xué)基礎(chǔ)圖形與游戲開發(fā)》P161)。即有<formula>formulaseeoriginaldocumentpage6</formula>-----------⑥由⑤⑥式得Bl=B2T*M------------⑦由②③式得<formula>formulaseeoriginaldocumentpage6</formula><formula>formulaseeoriginaldocumentpage6</formula>-------------⑧---------⑧由⑧式可求得<formula>formulaseeoriginaldocumentpage6</formula>由此，在歐拉角α，β，Y出現(xiàn)奇異點(diǎn)不能直接求得的情況下，利用過渡坐標(biāo)系OX2Y2Z2，一組給定的歐拉角(0，θ，0)與求得的歐拉角(αι，βι;Y1),就可消除歐拉角的奇異性問題，如圖1所示。圖2為一個(gè)空調(diào)配管系統(tǒng)的模型，模型中包含有壓縮機(jī)1、排氣管2、回氣管3、四通閥4等若干獨(dú)立的部件，各部件之間按照一定的相對(duì)方位裝配在一起。在對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行功能性二次開發(fā)的時(shí)候，首先需要準(zhǔn)確重現(xiàn)各部件之間的相對(duì)方位。在大多數(shù)三維CAD軟件(如UG)中這些部件的相對(duì)方位是用各部件局部坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣記錄的。因此，需要根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣來反求各部件之間的相對(duì)方位，并用歐拉角進(jìn)行描述。假定要確定四通閥相對(duì)壓縮機(jī)的方位，需要根據(jù)四通閥坐標(biāo)系7即局部坐標(biāo)系O1X1Y1Z1與壓縮機(jī)坐標(biāo)系5即局部坐標(biāo)系OXYZ之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣Μ@@反求歐拉角(α，β，Y)，當(dāng)根據(jù)1_反求得到的β角為90度時(shí)，α角和γ角無法唯一確定，即出現(xiàn)了歐拉角的奇異性問題。這時(shí)將無法準(zhǔn)確重現(xiàn)四通閥與壓縮機(jī)之間的相對(duì)方位。如圖3所示，盡管圖3重建模型中四通閥坐標(biāo)系與壓縮機(jī)坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣與圖2中兩部件的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣一致，但是重建模型與原模型中兩者相對(duì)方位有很大差異，導(dǎo)致模型重建失敗。根據(jù)本發(fā)明方法，在圖2模型中增加一個(gè)過渡坐標(biāo)系6即坐標(biāo)系O2X2Y2Z2，該坐標(biāo)系與四通閥坐標(biāo)系O1X1Y1Z1以及壓縮機(jī)坐標(biāo)系OXYZ分別與圖1中的三個(gè)坐標(biāo)系一一對(duì)應(yīng)。先將OXYZ坐標(biāo)系繞OX軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)給定的轉(zhuǎn)角增量θ，0°<θ<90°或-90°<θ<0°，轉(zhuǎn)換為O2X2Y2Z2坐標(biāo)系，再根據(jù)O1X1Y1Z1坐標(biāo)系相對(duì)O2X2Y2Z2坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換矩陣M1反求出O2X2Y2Z2坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為O1X1Y1Z1坐標(biāo)系的歐拉角αρβi、Υ工，最后由兩組歐拉角(0°，θ，0°)，和(αρβi，Yi)來表示O1X1Y1Z1坐標(biāo)系相對(duì)OXYZ坐標(biāo)系的方位，這樣就消除了歐拉角的奇異性，保證重建模型準(zhǔn)確，如圖4所示。權(quán)利要求一種消除歐拉角奇異性的轉(zhuǎn)角增量方法，假定描述對(duì)象的初始方位為OXYZ坐標(biāo)系，當(dāng)前方位為OX1Y1Z1坐標(biāo)系，OX1Y1Z1坐標(biāo)系相對(duì)OXYZ坐標(biāo)系的方位用旋轉(zhuǎn)變換矩陣M給出，旋轉(zhuǎn)變換矩陣M與3-1-2順序的歐拉角之間有如下的關(guān)系<mrow><mi>M</mi><mo>=</mo><mfencedopen='['close=']'><mtable><mtr><mtd><mi>cos</mi><mi></mi><mi>&alpha;</mi><mi>cos</mi><mi>&gamma;</mi><mo>+</mo><mi>sin</mi><mi></mi><mi>&alpha;</mi><mi>sin</mi><mi></mi><mi>&beta;</mi><mi>sin</mi><mi>&gamma;</mi></mtd><mtd><mo>-</mo><mi>sin</mi><mi></mi><mi>&alpha;</mi><mi>cos</mi><mi>&beta;</mi></mtd><mtd><mo>-</mo><mi>cos</mi><mi></mi><mi>&alpha;</mi><mi>sin</mi><mi>&gamma;</mi><mo>+</mo><mi>sin</mi><mi></mi><mi>&alpha;</mi><mi>sin</mi><mi></mi><mi>&beta;</mi><mi>cos</mi><mi>&gamma;</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>sin</mi><mi></mi><mi>&alpha;</mi><mi>cos</mi><mi>&gamma;</mi><mo>-</mo><mi>cos</mi><mi></mi><mi>&alpha;</mi><mi>sin</mi><mi></mi><mi>&beta;</mi><mi>sin</mi><mi>&gamma;</mi></mtd><mtd><mi>cos</mi><mi></mi><mi>&alpha;</mi><mi>cos</mi><mi>&beta;</mi></mtd><mtd><mo>-</mo><mi>sin</mi><mi></mi><mi>&alpha;</mi><mi>sin</mi><mi>&gamma;</mi><mo>-</mo><mi>cos</mi><mi></mi><mi>&alpha;</mi><mi>sin</mi><mi></mi><mi>&beta;</mi><mi>cos</mi><mi>&gamma;</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>cos</mi><mi></mi><mi>&beta;</mi><mi>sin</mi><mi>&gamma;</mi></mtd><mtd><mi>sin</mi><mi>&beta;</mi></mtd><mtd><mi>cos</mi><mi></mi><mi>&beta;</mi><mi>cos</mi><mi>&gamma;</mi></mtd></mtr></mtable></mfenced></mrow>式中角度α、β和γ分別表示OXYZ坐標(biāo)系依次繞Z軸旋轉(zhuǎn)α角、繞X軸旋轉(zhuǎn)β角和繞Y軸旋轉(zhuǎn)γ角即變換為OX1Y1Z1坐標(biāo)系；歐拉角的奇異點(diǎn)是當(dāng)β為±90°時(shí)，α角和γ角無法唯一確定；所述消除歐拉角奇異性的轉(zhuǎn)角增量方法的特點(diǎn)是按如下步驟操作a、先將OXYZ坐標(biāo)系繞OX軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)給定的轉(zhuǎn)角增量θ，0°＜θ＜90°或-90°＜θ＜0°，轉(zhuǎn)換為OX2Y2Z2坐標(biāo)系；b、根據(jù)OX1Y1Z1坐標(biāo)系相對(duì)OX2Y2Z2坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換矩陣M1反求出OX2Y2Z2坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為OX1Y1Z1坐標(biāo)系的歐拉角α1、β1、γ1；c、則OX1Y1Z1坐標(biāo)系相對(duì)OXYZ坐標(biāo)系的方位用先后兩組歐拉角轉(zhuǎn)換得到，兩組歐拉角分別是第1組為(0°，θ，0°)，第2組為(α1，β1，γ1)。全文摘要本發(fā)明公開了一種消除歐拉角奇異性的轉(zhuǎn)角增量方法，其特征是在反求歐拉角過程中發(fā)生奇異時(shí)，利用某個(gè)人為設(shè)定的轉(zhuǎn)角增量消除其奇異性，求得新的歐拉角之后再推算出原坐標(biāo)方位的歐拉角。本發(fā)明能解決利用旋轉(zhuǎn)變換矩陣反求歐拉角過程中出現(xiàn)奇異性的缺陷，可廣泛應(yīng)用于CAD軟件開發(fā)，3D動(dòng)畫、游戲等圖形程序開發(fā)，以及物體的空間姿態(tài)描述等。文檔編號(hào)G06T17/00GK101814194SQ20101014370公開日2010年8月25日申請(qǐng)日期2010年4月8日優(yōu)先權(quán)日2010年4月8日發(fā)明者劉俊,盧劍偉,姜平,張代勝,張斌,龔子彬申請(qǐng)人:合肥工業(yè)大學(xué)