專利名稱：一種基于波動方程的各向異性的四邊形網(wǎng)格生成方法
技術(shù)領(lǐng)域：
本發(fā)明涉及四邊形網(wǎng)格生成方法，尤其涉及一種基于波動方程的各向異性的四邊 形網(wǎng)格生成方法。
背景技術(shù)：
四邊形網(wǎng)格在許多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，比如紋理貼圖，有限元模擬，B樣條表面 重建等。四邊形網(wǎng)格生成的主要難點在于網(wǎng)格質(zhì)量嚴重依賴于生成時對模型特征和用戶多 樣需求的全局考慮。一般來說，我們從以下方面評價四邊形網(wǎng)格的質(zhì)量(1)面片質(zhì)量每個四邊形面片需要盡量的是正方形或者長方形。(2)方向四邊形網(wǎng)格的邊需要對應(yīng)于網(wǎng)格的主曲率方向或者是用戶指定的方 向。(3)特征對齊模型上的特征線需要被連續(xù)的四邊形網(wǎng)格的邊表示，以盡量的減 少原模型和四邊形化后的模型之間的Hausdorff距離。(4)全局結(jié)構(gòu)四邊形網(wǎng)格中奇異點的位置和數(shù)量需要對應(yīng)模型全局的幾何結(jié)構(gòu) 和用戶需求。目前四邊形網(wǎng)格生成算法主要分以下幾種1.在模型上沿著給定的方向場跟蹤，生成曲線，這些線相交就得到了四邊形網(wǎng)格。 (可參考 ALLIEZ，P.，COHEN-STEINER，D. ,DEVILLERS, 0.，L' EVY,B.，AND DESBRUN，M. 2003. Anisotropic polygonal remeshing. ACM Trans. Graph. 22,3,485-493)2.全局參數(shù)化的方法，通過在網(wǎng)格表面構(gòu)造一個參數(shù)化域，使得參數(shù)化域的 坐標軸與用戶指定的方向?qū)R。(可參考RAY，N.，Li，W. C.，L' EVY，B.，SHEFFER，A.， AND ALLIEZ, P. 2006.Periodic global parameterization. ACM Trans. Graph. 25,4, 1460-1485.)3.網(wǎng)格分片的方法，基于用戶的要求(方向，特征，大小等)，將模型分成一些 大的片，然后把這些片轉(zhuǎn)化成為四邊形。(可參考D0NG，S.，BREMER, P.-Τ.，GARLAND, Μ.，PASCUCCI, V.，AND HART, J. C. 2006. Spectral surfacequadrangulation. ACM Trans. Graph. 25，3，1057-1066)

發(fā)明內(nèi)容
本發(fā)明的目的在于針對現(xiàn)有技術(shù)的不足，提出了一種基于波動方程的各向異性的 四邊形網(wǎng)格生成方法。為實現(xiàn)上述目的，本發(fā)明采用的技術(shù)方案如下基于波動方程的各向異性的四邊形網(wǎng)格生成方法包括如下步驟1)根據(jù)用戶需求和模型特點，生成相應(yīng)的特征約束、方向場和各向異性的密度 場；2)根據(jù)特征約束、方向場和各向異性的密度場，在網(wǎng)格表面上構(gòu)造二維駐波；
3)從二維駐波中形成模型的四邊形剖分；4)在四邊形剖分的基礎(chǔ)上構(gòu)造各向異性的全局參數(shù)化，然后得到最終的四邊形化 網(wǎng)格。所述的根據(jù)用戶需求和模型特點，生成相應(yīng)的特征約束、方向場和各向異性的密 度場的步驟為
1)網(wǎng)格上二面角大于45度的邊會被認為是特征邊，相連的特征邊會被組合成特 征線約束，同時用戶直接在模型上指定特征約束；2)使用網(wǎng)格上的主曲率方向作為初始值，用戶在模型上指定的方向和特征約束的 方向為邊界條件，光順去噪后得到方向場；3)根據(jù)方向場的旋度約束能量和用戶提出的邊界約束能量、各向異性約束能量和 光順約束能量，優(yōu)化得到各向異性的密度場。所述的根據(jù)特征約束、方向場和各向異性的密度場，在網(wǎng)格表面上構(gòu)造二維駐波 的步驟為對于網(wǎng)格上任意邊、=<Pi, Pj>，頂點Pi，pj之間的二維駐波相位角關(guān)系定義如 下 =θ} _ Oi ωχΧ[ε0 ]-(pJ-pi )β = ^ - φ, ~ ω/[β0 ]·(ρ7- Pi)其中(θρ φ,)和(θ」，φ」)是頂點Pi，pj上的二維駐波相位角，coy是在方 向]，？[ ])上的波速；頂點Pi，pj之間的二維駐波振幅關(guān)系定義如下f (pj) = cos ( θ j) cos ( φ j) ^ cos ( θ ^ α u) cos ( φ ^ β u) = Cij · f (pi)其中f(Pi)為頂點Pi上的二維駐波振幅，Cij為頂點Pi，Pj之間的二維駐波振幅張 量，根據(jù)振幅關(guān)系在網(wǎng)格表面上構(gòu)造二維駐波，二維駐波的極值點連續(xù)分布在特征線上，相 鄰極值點之間的連線方向?qū)?yīng)于方向場的方向，周期正比于密度場。所述的從二維駐波中形成模型的四邊形剖分的步驟為1)找出二維駐波場的極大點、極小點和鞍點；2)從每個二維駐波場的鞍點出發(fā)，沿著二維駐波場梯度上升/下降最快的方向在 模型表面上前進，直到遇到二維駐波場的極大/極小點，得到剖分圖，采用剖分圖的對偶圖 形成模型的四邊形剖分。所述的在四邊形剖分的基礎(chǔ)上構(gòu)造各向異性的全局參數(shù)化，然后得到最終的四邊 形化網(wǎng)格的步驟為1)為剖分得到的每個四邊形區(qū)域確定參數(shù)化映射空間；2)根據(jù)參數(shù)化映射空間，為任意相鄰的四邊形區(qū)域確定參數(shù)化坐標之間的轉(zhuǎn)換函 數(shù)；3)利用相鄰四邊形區(qū)域參數(shù)化坐標之間的轉(zhuǎn)換函數(shù)，構(gòu)造各向異性的全局參數(shù) 化；4)根據(jù)全局參數(shù)化的結(jié)果生成最終的四邊形化網(wǎng)格。本發(fā)明與背景技術(shù)相比較，其優(yōu)點在于1)可以生成各向異性的四邊形網(wǎng)格，同時網(wǎng)格中的奇異點分布和數(shù)量將被自動優(yōu) 化。2)可以對四邊形網(wǎng)格的形狀，密度，方向，特征對齊的需求進行靈活的控制。用戶 需求將被納入一個波動方程的求解框架中統(tǒng)一優(yōu)化。
3)可以很好的處理復(fù)雜的模型(高虧格或者多樣的特征約束)和極端情況(很小 的環(huán)或者柄)。


下面結(jié)合附圖和實施例對本發(fā)明作進一步說明
圖1是本發(fā)明方法的流程圖；圖2是生成的特征約束、方向場和各向異性的密度場；圖3是在上面的特征約束、方向和密度下求解得到的二維駐波；圖4是形成的模型四邊形剖分；圖5是全局參數(shù)化后的四邊形網(wǎng)格。
具體實施例方式基于波動方程的各向異性的四邊形網(wǎng)格生成方法包括如下步驟1)根據(jù)用戶需求和模型特點，生成相應(yīng)的特征約束、方向場和各向異性的密度 場；2)根據(jù)特征約束、方向場和各向異性的密度場，在網(wǎng)格表面上構(gòu)造二維駐波；3)從二維駐波中形成模型的四邊形剖分；4)在四邊形剖分的基礎(chǔ)上構(gòu)造各向異性的全局參數(shù)化，然后得到最終的四邊形化 網(wǎng)格。所述的根據(jù)用戶需求和模型特點，生成相應(yīng)的特征約束、方向場和各向異性的密 度場的步驟為1)網(wǎng)格上二面角大于45度的邊會被認為是特征邊，相連的特征邊會被組合成特 征線約束，同時用戶直接在模型上指定特征約束；2)使用網(wǎng)格上的主曲率方向作為初始值，用戶在模型上指定的方向和特征約束的 方向為邊界條件，光順去噪后得到方向場；3)根據(jù)方向場的旋度約束能量和用戶提出的邊界約束能量、各向異性約束能量和 光順約束能量，優(yōu)化得到各向異性的密度場。各向異性的密度場是定義在網(wǎng)格邊上的一組變量(μ，η)。網(wǎng)格上任一面片T上 方向場的旋度算子定義如下Σ 其中是|Τ|面片T的面積，ej; ek是面片T是3條邊，是邊e上的χ方向，？ 是邊的方向。密度場μ需要滿足的旋度條件是!丄-= (叉)其中χι是Jf逆時針旋轉(zhuǎn)90度后的方向，; = IogCu)，V/i是; 在面片T內(nèi)的梯度，定 義如下Σ ^BT,e其中總是邊e上的A，BT,e = (BTji(e),BTjJ(e),BTjk(e))是邊e的中點在面片T頂點(i，j，k)上對應(yīng)的重心坐標，▽凡,e是重心坐標在面片T內(nèi)的梯度。密度場η的旋度條件可以用上面同樣的步驟得到。所以各向異性的密度場(μ，η)的旋度能量定義如下<formula>formula see original document page 6</formula><formula>formula see original document page 6</formula>我們同時可以對密度場(μ，η)進行多樣的約束。這里我們提供3種邊界約束， 各向異性約束，光順約束。邊界約束指的是用戶可以指定特定邊力上的密度^為 4邊的密度、為、。 我們把這樣的約束定義為如下能量<formula>formula see original document page 6</formula>各向異性約束指的是用戶可以指定特定邊e上密度μ，η的比例為μ η e = Yeo我們把這樣的約束定義為如下能量<formula>formula see original document page 6</formula>光順約束指的是用戶可以控制密度場的光滑程度，我們使用如下能量來衡量<formula>formula see original document page 6</formula>其中L是Laplacian矩陣，P是頂點相對邊中點的插值矩陣。把上面的能量結(jié)合起來，我們通過優(yōu)化如下總能量，得到所需的各向異性的密度 場(μ，n)<formula>formula see original document page 6</formula>其中ω。，ω a，COs是加權(quán)系數(shù)。所述的根據(jù)特征約束、方向場和各向異性的密度場，在網(wǎng)格表面上構(gòu)造二維駐波 的步驟為對于網(wǎng)格上任意邊、=<Pi, p>，頂點Pi，Pj之間的二維駐波相位角關(guān)系定義如 下-aV = 9J ~θ' ^] * [Pj ~ P, H = Φ 'Φ* Κ] {Pj _ Pi )其中(θρ φ,)和(θ」，φ」)是頂點Pi，Pji的二維駐波相位角，coy是在方 向(f[ ],f[ .])上的波速；頂點Pi，Pj之間的二維駐波振幅關(guān)系定義如下<formula>formula see original document page 6</formula>
其中f(Pi)為頂點Pi上的二維駐波振幅，Cij為頂點Pi，Pj之間的二維駐波振幅 張量，根據(jù)振幅關(guān)系在網(wǎng)格表面上構(gòu)造二維駐波，二維駐波的極值點連續(xù)分布在特征線上， 相鄰極值點之間的連線方向?qū)?yīng)于方向場的方向，周期正比于密度場。得到方向場(叉，乃， 各向異性的密度場(μ，η)和特征約束之后，我們構(gòu)造網(wǎng)格上的二維駐波。對于任一條 邊、=<Pi，Pj>，相鄰頂點Pi，Pj上的駐波相位角為(θ ” Φ)禾Π ( θ j, Φ」)，邊eiJ沿方向
的波速為ωχ= π/μ和coy= ji / η。因此Pi，Pj的相位角之間存在如下關(guān)系
<formula>formula see original document page 7</formula>
假設(shè)頂點Pi上的駐波振幅為f (Pi)，相鄰頂點Pi，Pj上的振幅存在如下關(guān)系<formula>formula see original document page 7</formula>
為了保證求得的是二維駐波，我們?nèi)孕枰?個額外約束<formula>formula see original document page 7</formula>
其中// = gxg\-g2g\，是一個4X4矩陣，gi是一個4維的只有i行是1其他行全O向量?？紤]網(wǎng)格上的所有邊，我們通過優(yōu)化如下能量求得駐波<formula>formula see original document page 7</formula>特征控制需要使得二維駐波抽出的Morse-Small Complex恰好經(jīng)過特征線，特征 線上的點的相位角(θ，Φ)需要滿足以下條件θ = kJi φ = kJi所以我們用sin( θ ) Sin(Cj5) = O來進行特征控制。所述的從二維駐波中形成模型的四邊形剖分的步驟為1)找出二維駐波場的極大點、極小點和鞍點；2)從每個二維駐波場的鞍點出發(fā)，沿著二維駐波場梯度上升/下降最快的方向在 模型表面上前進，直到遇到二維駐波場的極大/極小點，得到剖分圖，采用剖分圖的對偶圖 形成模型的四邊形剖分。所述的在四邊形剖分的基礎(chǔ)上構(gòu)造各向異性的全局參數(shù)化，然后得到最終的四邊 形化網(wǎng)格的步驟為1)為剖分得到的每個四邊形區(qū)域確定參數(shù)化映射空間；2)根據(jù)參數(shù)化映射空間，為任意相鄰的四邊形區(qū)域確定參數(shù)化坐標之間的轉(zhuǎn)換函 數(shù)；3)利用相鄰四邊形區(qū)域參數(shù)化坐標之間的轉(zhuǎn)換函數(shù)，構(gòu)造各向異性的全局參數(shù) 化；4)根據(jù)全局參數(shù)化的結(jié)果生成最終的四邊形化網(wǎng)格。我們使用了各向異性的密度 場來指導(dǎo)駐波的生成，所以這里需要構(gòu)造一個各向異性的全局參數(shù)化。對于剖分得到的每個四邊形區(qū)域Ui,我們首先使用該區(qū)域所有頂點上的密度場的平均值(Wi，hi)作為Ui的參 數(shù)化映射空間，對于任意相鄰的兩個四邊形區(qū)域Ua和…，我們定義轉(zhuǎn)換函數(shù)Φ ea，用來把 的…中的參數(shù)化坐標轉(zhuǎn)換到扎中。該函數(shù)由扎和…的參數(shù)化映射空間決定。獲得所有 相鄰區(qū)域之間的轉(zhuǎn)換函數(shù)之后，使用這些轉(zhuǎn)換函數(shù)替換DONG，S.，BREMER, P. -Τ.，GARLAND, Μ.，PASCUCCI, V.，AND HART, J. C. 2006. Spectral surface quadrangulation. ACM Trans. Graph. 25,3,1057-1066.里全局參數(shù)化方法中的轉(zhuǎn)換函數(shù)，構(gòu)造我們各向異性的全局參數(shù) 化。為了保持特征約束，我們需要在參數(shù)化中額外為特征線添加硬約束對于特征線上的每 個頂點，我們要求它的參數(shù)化坐標始終保持在其所屬區(qū)域的參數(shù)化邊界上。得到全局參數(shù) 化后，我們根據(jù)用戶的要求在每個四邊形區(qū)域的參數(shù)化空間里均勻細分，得到最終的四邊 形化結(jié)果。實施例本發(fā)明提出一種基于波動方程的各向異性的四邊形網(wǎng)格生成方法，流程圖如圖1 所示，下面介紹處理一個實際模型的例子1)根據(jù)網(wǎng)格的二面角信息和用戶需求得到相應(yīng)的特征約束，用特征約束和用戶需 求為邊界條件，光順主曲率方向得到方向場，通過優(yōu)化密度場能量方程，從方向場中生成各 向異性的密度場，見圖2;2)根據(jù)特征約束、方向場和各向異性的密度場，通過優(yōu)化駐波能量方程，得到網(wǎng)格 表面上的二維駐波，見圖3;3)找到二維駐波中的極大點，極小點和鞍點，由鞍點出發(fā)，沿著梯度最大/最小的 方向前進，得到對模型的剖分圖，采用剖分圖的對偶圖形成模型的四邊形剖分，見圖4 ；4)在得到四邊形剖分后，為每個四邊形區(qū)域確定參數(shù)化映射空間，然后為任意相 鄰的四邊形區(qū)域確定，構(gòu)造各向異性的全局參數(shù)化，根據(jù)用戶的要求在每個四邊形區(qū)域的 參數(shù)化空間里均勻細分，得到最終的四邊形化網(wǎng)格，見圖5。
權(quán)利要求
一種基于波動方程的各向異性的四邊形網(wǎng)格生成方法，其特征在于包括如下步驟1)根據(jù)用戶需求和模型特點，生成相應(yīng)的特征約束、方向場和各向異性的密度場；2)根據(jù)特征約束、方向場和各向異性的密度場，在網(wǎng)格表面上構(gòu)造二維駐波；3)從二維駐波中形成模型的四邊形剖分；4)在四邊形剖分的基礎(chǔ)上構(gòu)造各向異性的全局參數(shù)化，然后得到最終的四邊形化網(wǎng)格。
2.根據(jù)權(quán)利要求1所述的一種基于波動方程的各向異性的四邊形網(wǎng)格生成方法，其特 征在于所述的根據(jù)用戶需求和模型特點，生成相應(yīng)的特征約束、方向場和各向異性的密度 場的步驟為1)網(wǎng)格上二面角大于45度的邊會被認為是特征邊，相連的特征邊會被組合成特征線 約束，同時用戶直接在模型上指定特征約束；2)使用網(wǎng)格上的主曲率方向作為初始值，用戶在模型上指定的方向和特征約束的方向 為邊界條件，光順去噪后得到方向場；3)根據(jù)方向場的旋度約束能量和用戶提出的邊界約束能量、各向異性約束能量和光順 約束能量，優(yōu)化得到各向異性的密度場。
3.根據(jù)權(quán)利要求1所述的一種基于波動方程的各向異性的四邊形網(wǎng)格生成方法，其特 征在于所述的根據(jù)特征約束、方向場和各向異性的密度場，在網(wǎng)格表面上構(gòu)造二維駐波的 步驟為對于網(wǎng)格上任意邊、=<Pi，Pj>，頂點Pi，Pj之間的二維駐波相位角關(guān)系定義如下 S一…一6*'w %叉[ ].(巧-凡二么-玖。出/[ ] (巧-凡)其中(0” D禾口(0j，小J) 是頂點Pi，Pj上的二維駐波相位角， 和 是在方向(對 ]/[ ])上的波速；頂點Pi，Pj2間的二維駐波振幅關(guān)系定義如下<formula>formula see original document page 2</formula>其中f (Pi)為頂點Pi上的二維駐波振幅，C。.為頂點PyP^之間的二維駐波振幅張量，根 據(jù)振幅關(guān)系在網(wǎng)格表面上構(gòu)造二維駐波，二維駐波的極值點連續(xù)分布在特征線上，相鄰極 值點之間的連線方向?qū)?yīng)于方向場的方向，周期正比于密度場。
4.根據(jù)權(quán)利要求1所述的一種基于波動方程的各向異性的四邊形網(wǎng)格生成方法，其特 征在于所述的從二維駐波中形成模型的四邊形剖分的步驟為1)找出二維駐波場的極大點、極小點和鞍點；2)從每個二維駐波場的鞍點出發(fā)，沿著二維駐波場梯度上升/下降最快的方向在模型 表面上前進，直到遇到二維駐波場的極大/極小點，得到剖分圖，采用剖分圖的對偶圖形成 模型的四邊形剖分。
5.根據(jù)權(quán)利要求1所述的一種基于波動方程的各向異性的四邊形網(wǎng)格生成方法，其特 征在于所述的在四邊形剖分的基礎(chǔ)上構(gòu)造各向異性的全局參數(shù)化，然后得到最終的四邊形 化網(wǎng)格的步驟為1)為剖分得到的每個四邊形區(qū)域確定參數(shù)化映射空間；2)根據(jù)參數(shù)化映射空間，為任意相鄰的四邊形區(qū)域確定參數(shù)化坐標之間的轉(zhuǎn)換函數(shù)；3)利用相鄰四邊形區(qū)域參數(shù)化坐標之間的轉(zhuǎn)換函數(shù)，構(gòu)造各向異性的全局參數(shù)化；4)根據(jù)全局參數(shù)化的結(jié)果生成最終的四邊形化網(wǎng)格。
全文摘要
本發(fā)明公開了一種基于波動方程的各向異性的四邊形網(wǎng)格生成方法。包括如下步驟1)根據(jù)用戶需求和模型特點，生成相應(yīng)的特征約束、方向場和各向異性的密度場；2)根據(jù)特征約束、方向場和各向異性的密度場，在網(wǎng)格表面上構(gòu)造二維駐波；3)從二維駐波中形成模型的四邊形剖分；4)在四邊形剖分的基礎(chǔ)上構(gòu)造各向異性的全局參數(shù)化，然后得到最終的四邊形化網(wǎng)格。本發(fā)明可以生成各向異性的四邊形網(wǎng)格，同時能夠?qū)λ倪呅尉W(wǎng)格的形狀，密度，方向，特征對齊，奇異點分布等需求進行靈活的控制和優(yōu)化。
文檔編號G06T17/20GK101833790SQ20101016162
公開日2010年9月15日 申請日期2010年4月30日 優(yōu)先權(quán)日2010年4月30日
發(fā)明者張沐陽, 鮑虎軍, 黃勁 申請人:浙江大學(xué)