本發(fā)明屬于控制理論與應用技術領域，特別涉及一種對線性離散周期系統(tǒng)的極點配置以及將實驗結果作用到實際線性離散周期系統(tǒng)上，通過比例環(huán)節(jié)的反饋把線性離散周期系統(tǒng)的極點移置到預定位置的一種線性離散周期系統(tǒng)極點配置的方法。

背景技術：

用極點配置來矯正系統(tǒng)的動態(tài)性能在線性時不變系統(tǒng)中是一種常用的控制手段。在線性離散周期系統(tǒng)中，系統(tǒng)的極點被定義為系統(tǒng)單值性矩陣的極點。線性離散周期系統(tǒng)穩(wěn)定與否取決于這些極點是否位于單位圓內。因此，通過一些控制手段來配置閉環(huán)系統(tǒng)的極點具有基本的重要性。

在線性離散周期系統(tǒng)的極點配置問題的研究中，經常會涉及到周期Sylvester矩陣方程的求解問題?？紤]如下周期極點配置問題：給定完全能達的線性離散周期系統(tǒng)，求解周期反饋增益矩陣使得閉環(huán)系統(tǒng)單值性矩陣Φ_A+BF＝(A_k-1+B_k-1F_k-1)…(A₀+B₀F₀)(其中A_k∈R^n×n，B_k∈R^n×m是周期為K≥1的系數(shù)矩陣)，在復平面的特征值落在預定的位置Γ＝{λ₁,…,λ_n}，假設Γ＝{λ₁,…,λ_n}關于實軸對稱。將線性離散周期系統(tǒng)的狀態(tài)反饋極點配置問題歸結為周期Sylvester矩陣方程的求解問題，進而得出線性離散周期系統(tǒng)狀態(tài)反饋增益矩陣。

在線性離散周期系統(tǒng)的極點配置領域，已經取得了不少成果，但也有待于進一步完善。比如算法收斂速度慢。

技術實現(xiàn)要素：

有鑒于此，本發(fā)明提供一種線性離散周期系統(tǒng)極點配置的方法，從而解決現(xiàn)有的極點配置方法收斂速度慢的技術問題。

本發(fā)明的目的是以下述方式實現(xiàn)的：

一種線性離散周期系統(tǒng)極點配置的方法，包括如下步驟：

步驟一：構造一組矩陣和矩陣G_k，具體包括如下步驟：

步驟101)構造矩陣且滿足單值性矩陣的特征值集合為Γ；

步驟102)構造矩陣G_k，G_k為以K為周期的相應維數(shù)的給定矩陣，使得周期矩陣對是完全可觀測的；

步驟二：求解周期Sylvester矩陣方程的數(shù)值解X_k(j),k＝0,1,…,K-1，具體包括如下步驟：

步驟201)令指標函數(shù)其中，|| ||表示矩陣的F-范數(shù)，

令函數(shù)

令函數(shù)

令函數(shù)

步驟202)選擇任意初值X_k(0)∈R^n×n，k＝0，…，K-1，計算：

P_k(0)＝-R_k(0)；

j：＝0，：＝是賦值符號；

步驟203)如果||R_k(j)||≤ε,k＝0,1,…,K-1，ε為一正數(shù)，退出并返回X_k(j),k＝0,1,…,K-1；否則轉到步驟204；

步驟204)對于k＝0,1,…,K-1，計算：

X_k(j+1)＝X_k(j)+α(j)P_k(j)；

j：＝j+1；

返回第203步；

步驟三：根據(jù)式計算狀態(tài)反饋增益矩陣F_k,k＝0,1,…,K-1。

優(yōu)選地，所述ε取10^-6。

本發(fā)明的線性離散周期系統(tǒng)極點配置的方法，基于梯度下降法，設置合理的變步長，使得算法本身收斂速度快，能夠有效、快速地對周期Sylvester矩陣方程進行求解，從而得到一組狀態(tài)反饋增益矩陣，即解決線性離散周期系統(tǒng)的極點配置問題。

具體實施方式

本發(fā)明的線性離散周期系統(tǒng)極點配置方法包括如下步驟：

考慮形如：

x_k+1＝A_kx_k+B_ku_k (1)

的線性離散周期系統(tǒng)，其中A_k∈R^n×n，B_k∈R^n×m是給定的周期為K≥1的系數(shù)矩陣?？紤]如下周期極點配置問題：給定完全能達的周期系統(tǒng)(1)，求解周期反饋增益矩陣F_k∈R^m×n使得閉環(huán)單值性矩陣Φ_A+BF＝(A_k-1+B_k-1F_k-1)…(A₀+B₀F₀)在復平面的特征值落在預定的位置Γ＝{λ₁,…,λ_n}，為了使F_k存在，假設Γ＝{λ₁,…,λ_n}關于實軸對稱。

步驟一：構造一組矩陣和矩陣G_k，具體包括如下步驟：

步驟101)構造矩陣且滿足單值性矩陣的特征值集合為Γ；

步驟102)構造G_k為以K為周期的相應維數(shù)的給定矩陣，使得周期矩陣對是完全可觀測的；

步驟103)構造如下周期Sylvester矩陣方程

步驟二：求解周期Sylvester矩陣方程

考慮形如的周期Sylvester矩陣方程。根據(jù)最小二乘理論，要求解周期Sylvester矩陣方程，就要尋找矩陣序列X_k,k＝0,1,…,K-1來使如下指標函數(shù)J最?。?/p>

其中，|| ||表示矩陣的F-范數(shù)。

對指標函數(shù)J求偏導數(shù)：

也就是說，最小二乘解滿足

步驟201)令指標函數(shù)其中，|| ||表示矩陣的F-范數(shù)，

令函數(shù)

令函數(shù)

令函數(shù)

步驟202)考慮形如的Sylvester矩陣方程，選擇任意初值X_k(0)∈R^n×n，k＝0，…，K-1，令：

P_k(0):＝-R_k(0)；

j:＝0；

步驟203)如果||R_k(j)||≤ε,k＝0,1,…,K-1，ε為足夠小的正數(shù)，例如ε取10^-6，退出并返回X_k(j),k＝0,1,…,K-1；否則進入下一步；

步驟204)對于k＝0,1,…,K-1，計算：

X_k(j+1)＝X_k(j)+α(j)P_k(j)；

j：＝j+1；

計算完成后返回第203步。

在該算法中，當指標函數(shù)J關于X_k在第j次迭代中的偏導數(shù)R_k(j)的F-范數(shù)均小于足夠小的正數(shù)ε，則算法停止，并給出在該次迭代中得出的解X_k(j),k＝0,1,…,K-1.至此，矩陣序列X_k(j),k＝0,1,…,K-1滿足式(3)，即得出周期Sylvester矩陣方程的數(shù)值解X_k。

步驟三：得出狀態(tài)反饋增益矩陣F_k：

根據(jù)式

計算可得狀態(tài)反饋增益矩陣F_k,k＝0,1,…,K-1。

下面用一個實例說明：

考慮對如下離散線性周期系統(tǒng)進行極點配置：

x_k+1＝A_kx_k+B_ku_k， (4)

其中：

經驗證，線性離散周期系統(tǒng)(4)為完全能達的。欲將極點配置到Γ＝{-0.1±0.1i}。為了使得的特征值集合為Γ，可令為閉環(huán)系統(tǒng)的實約當標準型，為相應維數(shù)的單位矩陣，即：

構造如下周期Sylvester矩陣方程：

其中，給定

根據(jù)步驟二中算法得出該方程的數(shù)值解X_k,k＝0,1,2,…,K-1，則周期反饋增益矩陣

在本例中，可得：

易得，閉環(huán)系統(tǒng)單值性矩陣Φ_A+BF＝(A₂+B₂F₂)(A₁+B₁F₁)(A₀+B₀F₀)的特征值集合為Γ＝{-0.1±0.1i}，即閉環(huán)系統(tǒng)極點配置成功。

以上所述的僅是本發(fā)明的優(yōu)選實施方式，應當指出，對于本領域的技術人員來說，在不脫離本發(fā)明整體構思前提下，還可以作出若干改變和改進，這些也應該視為本發(fā)明的保護范圍。