一種基于時域信號低秩的頻譜恢復方法
【專利摘要】一種基于時域信號低秩的頻譜恢復方法，涉及磁共振成像。包括以下步驟：1)對頻譜的初步處理；2)建立基于時域信號低秩的頻譜恢復模型；3)提出基于時域信號低秩的頻譜恢復模型的求解算法；4)由步驟3)得到恢復的頻譜，畫出頻譜圖。利用指數信號漢克爾矩陣的低秩特性來約束信號的恢復過程，實現從有數據點丟失的頻譜中恢復出完整頻譜，達到了高質量恢復缺失數據的目的。
【專利說明】
一種基于時域信號低秩的頻譜恢復方法
技術領域
[0001] 本發(fā)明涉及磁共振成像，尤其是涉及一種基于時域信號低秩的頻譜恢復方法。
【背景技術】
[0002] 儀器儀表在采集或傳輸信號時，由于儀器儀表性能、傳輸系統(tǒng)性能或采樣條件的 限制，頻譜中的部分數據點可能丟失，使得采集到的頻譜信號不完整。為了進行后續(xù)的信號 處理和分析，需要從不完整的頻譜信號中恢復出完整的頻譜信號。
[0003] 磁共振具有無輻射和多參數獲得波譜和成像的優(yōu)點。磁共振獲得的波譜能分析化 學分子和蛋白質等分子結構。但是，在以單掃描為代表的磁共振波譜采集方法中，非均勻采 樣會造成頻率丟失（Y.Shrot and L. Fry dman，Compressed sensing and the reconstruction of ultrafast 2D NMR data: Principles and biomolecular applications. Journal of Magnetic Resonance，209(2) :352_358,2011 ·)，恢復頻譜中丟 失對后繼數據處理有著重要意義。磁共振成像能夠顯示人體組織的結構信息和生理生化信 息，已經成為臨床檢查的重要手段之一。但磁共振的成像速度較慢，容易引起磁共振圖像模 糊和對比度失真等問題，因此加速磁共振成像是一個重要和基礎的問題。加速磁共振成像 的一個方法是減少采集的圖像的頻譜信號，通過減少采集時間來提高成像速度(M.Lustig， D.L.Donoho,J.Μ. Santos,and J.Μ. Pauly , Compressed Sensing MRI. IEEE Signal Processing Magazine，25(2):72-82，2008·)(X·Qu，D.Guo，B.Ning，Y.Hou，Y.Lin，S·Cai， and Z. Chen,Undersampled MRI reconstruction with patch-based directional wavelets.Magnetic Resonance Imaging,30(7):964-977,2012.)(X.Qu,Y.Hou,F.Lam, D. Guo ,J.Zhong, and Z. Chen ,Magnetic resonance image reconstruction from undersampled measurements using a patch-based nonlocal operator.Medical Image Analysis，18(6) :843-856,2014.)。但此類方法獲得圖像的傅里葉頻譜數據是缺失的，需要 用信號處理的方法恢復缺失的傅里葉頻譜數據進而得到完整的磁共振圖像。由此可見，恢 復頻譜中的缺失數據具有重要意義。

【發(fā)明內容】

[0004] 本發(fā)明的目的在于提供利用指數信號漢克爾矩陣的低秩特性來約束信號的恢復 過程，從而達到高質量恢復缺失數據目的的一種基于時域信號低秩的頻譜恢復方法。
[0005] 本發(fā)明包括以下步驟：
[0006] 1)對頻譜的初步處理，具體方法如下：
[0007]給定有部分數據點丟失的一維頻譜> eC'符號C代表復數集合，待恢復的完整 頻譜為xeC#;N和Μ分別是完整頻譜和具有丟失的頻譜的數據點數，其中M<N。將頻譜中丟 失的N-M個數據點的值設置為零，作為完整頻譜X在這些丟失位置的初始值；
[0008] 2)建立基于時域信號低秩的頻譜恢復模型，所述基于時域信號低秩的頻譜恢復模 型如下：
[0009]
(1 )
[0010] 其中，Γ1表示一維傅里葉逆變換，R表示將一個一維向量轉成漢克爾矩陣的算子， ? 11*表示矩陣的核范數，u表示帶有數據丟失的信號采集算子，|·|表示向量的二范數的 平方，正則化參數λ(λ>0)用于權衡I |RF4X| I*和||y-ux|兩項的重要性；
[0011] 在步驟2)中，所述算子R構建向量的漢克爾矩陣的具體方法可為：
[0012] 設有向量a e ，那么Ra表示向量a對應的漢克爾矩陣，可以通過以下方式構造向 量a對應的漢克爾矩陣：
[0013]
(2)
[0014]其中，&"表示向量a中的第η個元素，漢克爾矩陣Ra的行數為K(1彡K彡N)，列數為N-K+l〇
[0015] 3)提出基于時域信號低秩的頻譜恢復模型的求解算法，具體方法如下：
p V '，[0019] Dn+1^Dn+T(RF_1x n+1-Zn+1), (5)[0020] 當達到最大迭代次數或X在相鄰兩次迭代中的誤差||x"+1-xf小于設置的閾值n(n >0)時，迭代結束。其中，xn+1，Zn+4PDn+1分別表示變量X，Z和D在第n+1次迭代時的值，公式 (3)中的Η表示矩陣的復共輒轉置；公式（4)中的 5表示奇異值收縮算子(J.-F.Cai.，βΕ.J.Candes.,and Z.Shen.,A singular value thresholding algorithm for matrix1completion.SIAM Journal on 0ptimization，20(4) :1956_1982,2010.)，閾值是5。:參數β
[0016] 借鑒求解漢克爾矩陣低秩的交替方向乘子法（X.Qu.，M.Mayzel.，J._F.Cai.， Z. Chen . , and V.Orekhov. ,Accelerated NMR spectroscopy with low-rank reconstruction.Angewandte Chemie International Edition，54(3):852-854，2015·)求 解公式（1)中的最優(yōu)化問題，為此引入變量Z和拉格朗日乘子D，根據以下公式迭代更新變 量：
[0017]
[0018] β，τ和λ都是正數。
[0021] 4)由步驟3)得到恢復的頻譜，畫出頻譜圖。
[0022] 本發(fā)明利用指數信號漢克爾矩陣的低秩特性來約束信號的恢復過程，實現從有數 據點丟失的頻譜中恢復出完整頻譜，達到了高質量恢復缺失數據的目的。
【附圖說明】
[0023 ]圖1是實施例中長度為512個數據點的完整頻譜圖。
[0024] 圖2是實施例中有部分數據點丟失且已在數據丟失位置填零的頻譜圖。
[0025] 圖3是實施例中利用本發(fā)明恢復的長度為512個數據點的頻譜圖。
【具體實施方式】
[0026] 本發(fā)明實施例是一個利用本發(fā)明提出的方法對有數據點丟失的頻譜進行恢復的 具體過程，是對本發(fā)明所提出方法的詳細描述。通過參照附圖和以下的說明可以更好地理 解本發(fā)明的各種特征和它的實施方案。
[0027] 具體實施過程如下：
[0028]第一步:對頻譜的初步處理
[0029]本實施例中，一維完整頻譜信號長度為512個數據點（如圖1所示）。將頻譜中75% 的數據點丟棄來模擬頻譜中的數據丟失過程，并將數據丟失點位置進行填零，畫出頻譜圖 如圖2所示。
[0030]第二步:建立基于時域信號低秩的頻譜恢復模型 [0031 ]建立的基于時域信號低秩的頻譜恢復模型如下：
[0032]
(1)
[0033] 其中，Γ1表示一維傅里葉逆變換，R表示將一個一維向量轉成漢克爾矩陣的算子， ? I I*表示矩陣的核范數，U表示帶有數據丟失的信號采集算子，K表示向量的二范數的 平方，正則化參數λ(λ>0)用于權衡I iRF^xl I*和||y-llx|g兩項的重要性。下面對算子R如何 構建向量的漢克爾矩陣的過程進行說明：
[0034] 設有向量a eC-'那么Ra表示向量a對應的漢克爾矩陣?？梢酝ㄟ^以下方式構造向 量a對應的漢克爾矩陣：
[0035]
(2)
[0036] 其中，&"表示向量a中的第η個元素。漢克爾矩陣Ra的行數為K(1彡K彡N)，列數為N-K+l〇
[0037] 第三步:提出基于信號時域低秩的頻譜恢復方法
[0038] 借鑒求解漢克爾矩陣低秩的交替方向乘子法求解公式（1)中的最優(yōu)化問題。引入 變量Z和拉格朗日乘子D，根據以下公式迭代更新變量：
[0039]
(3)
[0040]
(4)
[0041 ] Dn+i^Dn+T(RF_ixn+i-Z n+i), (5)
[0042]當達到最大迭代次數或x在相鄰兩次迭代中的誤差||xrf+1-于設置的閾值n(n > 0)時，迭代結束，本實施例中η取10-6。其中，Χη+1，zn+1和D n+1分別表示變量X，Z和D在第n+l次 迭代時的值，公式(3)中的Η表示矩陣的復共輒轉置;公式(4)中的Η表示奇異值收縮算 β 子，閾值是7。參數β，τ和λ都是正數。
[0043]第四步:恢復的頻譜表示
[0044]由第三步得到恢復的一維頻譜X，畫出頻譜圖如圖3所示。
【主權項】
1. 一種基于時域信號低秩的頻譜恢復方法，其特征在于包括W下步驟： 1) 對頻譜的初步處理，具體方法如下： 給定有部分數據點丟失的一維頻譜yeC'"，符號C代表復數集合，待恢復的完整頻譜為 xeC-&;N和Μ分別是完整頻譜和具有丟失的頻譜的數據點數，其中M<N;將頻譜中丟失的N- M個數據點的值設置為零，作為完整頻譜X在運些丟失位置的初始值； 2) 建立基于時域信號低秩的頻譜恢復模型，所述基于時域信號低秩的頻譜恢復模型如 下：(1) 其中，Fi表示一維傅里葉逆變換，R表示將一個一維向量轉成漢克爾矩陣的算子，II · I*表示矩陣的核范數，U表示帶有數據丟失的信號采集算子，||表示向量的二范數的平方， 正則化參數λ(λ>〇)用于權衡I lRF-?χΙ I*和||y-Ux|;兩項的重要性； 3) 提出基于時域信號低秩的頻譜恢復模型的求解算法，具體方法如下： 借鑒求解漢克爾矩陣低秩的交替方向乘子法求解公式（1)中的最優(yōu)化問題，為此引入 變量Z和拉格朗日乘子D，根據W下公式迭代更新變量：當達到最大迭代次數或X在相鄰兩次迭代中的誤差|心'"-心|小于設置的闊值η(η>〇) 時，迭代結束;其中，，ζη"和〇η"分別表示變量X，Ζ和D在第n+l次迭代時的值，公式(3)中 的Η表示矩陣的復共輛轉置;公式(4)中的表示奇異值收縮算子，闊值是^，參數β，τ和 入都是正數； 4) 由步驟3)得到恢復的頻譜，畫出頻譜圖。2. 如權利要求1所述一種基于時域信號低秩的頻譜恢復方法，其特征在于在步驟2)中， 所述算子財勾建向量的漢克爾矩陣的具體方法為： 設有向量a ￡ ，那么Ra表示向量a對應的漢克爾矩陣，通過W下方式構造向量a對應的 漢克爾矩陣：(2) 其中，an表示向量a中的第η個元素，漢克爾矩陣Ra的行數為K(1《K《N)，列數為N-K+1。
【文檔編號】G06T5/00GK105976329SQ201610267934
【公開日】2016年9月28日
【申請日】2016年4月27日
【發(fā)明人】屈小波
【申請人】廈門大學