專利名稱：一種和rs碼等效的編碼以及其快速編譯碼的算法的制作方法
技術(shù)領(lǐng)域：
一種和RS碼等效的編碼以及其快速編譯碼的算法屬于RS碼技術(shù)領(lǐng)域。
常用(n，k，d)表示RS碼；其中n為碼字長度，k為信息符號數(shù)，d為設(shè)計距離，若可糾正的最大差錯個數(shù)用t表示，則2t為校驗符號數(shù)。RS碼的參數(shù)具有如下的關(guān)系 設(shè)輸入的信息序列為m(x)＝mk-1xk-1+mk-2xk-2+......+m2x2+m1x1+m0x0，生成的碼字為c(x)＝cn-1xn-1+cn-2xn-2+......+c2x2+c1x1+c0x0。若采用系統(tǒng)碼的形式，則編碼算法為c(x)＝xn-km(x)+R(x)，其中R(x)＝xn-k·m(x)modg(x)，g(x)是RS碼的生成多項式，mod表示相除取余數(shù)多項式。RS編碼電路與一般循環(huán)碼的編碼電路類似，用除法電路來實現(xiàn)。
這里的碼元(如mi、ci)均在GF(2m)域上。GF(2m)域上的每個元素由m比特組成，因此，連續(xù)m比特的錯誤僅相當(dāng)于該碼字1個碼元的錯誤，這樣RS碼就可以大幅度地提高抗突發(fā)錯誤的能力。RS碼也可以看作(mn，mk，d)二進(jìn)制碼。
m階本原多項式Poly(x)的根是有限域GF(2m)的本原域元素，GF(2m)域上的所有非零元素都是本原域元素(a)的整數(shù)次冪，則由a的0到2m-2次方構(gòu)成了GF(2m)域中所有2m-1個非0元素。RS編碼的生成多項式定義為g(x)=Πj=12t(x-aj),]]>RS譯碼算法可以分為以下三步(1)根據(jù)接收碼字矢量y(x)＝y(tǒng)n-1xn-1+yn-2xn-2+......+y2x2+y1x1+y0，計算伴隨式S(x)。
S(x)＝S1+S2x+......+S2tx2t-1其中Sj=y(aj)=Σj=0n-1yiaij=(......((yn-1aj+yn-2)aj+yn-3)aj+......y1)aj+y0,j=1,2,......2t]]>(2)計算錯誤位置多項式σ(x)和出錯值多項式ω(x).
假設(shè)有v個未知的錯誤，定義錯誤值為Yl，出錯位置為Xl＝al，l＝1，2，……，v，則錯誤位置多項式σ(x)為v階多項式，定義為σ(x)=Πl=1v(1-xXl)=1+σ1x+......σvxv.]]>其中σl(l＝1，2，......，v)是錯誤位置多項式的系數(shù)。
出錯值多項式定義為ω(x)=Σl=1vYlΠj=1j≠lv(x-Xj)]]>其中Yl是錯誤值，Xj是出錯位置，Xj＝aj。
錯誤位置多項式和出錯值多項式滿足σ(x)S(x)≡ω(x)modx2t，由S(x)根據(jù)上式可以求出錯誤位置多項式σ(x)和出錯值多項式ω(x)。
(3)求錯誤位置和錯誤值。
若第i個錯誤位置Xi＝ai，則σ(Xi-1)=0.]]>。因此求錯誤位置就是利用Chien搜索算法，把x=Xi-1=a-i]]>，n-1≥i≥0依次代入，求使σ(x)＝0的Xj就是出錯位置。
當(dāng)出錯位置確定后，對應(yīng)的出錯值為Yj=ω(Xj)σ′(Xj)]]>其中σ′(X)是σ(X)的導(dǎo)數(shù)。
若σ(x)＝1+σ1x+......σvxv，則σ′(x)＝σ1+2σ2x1+3σ3x2+......vσvxv-1，系數(shù)是GF(2m)域上的符號，每個符號由m比特組成，符號相加對應(yīng)于m個比特的模二和，兩個相同的數(shù)模二和為0，所以2σ2＝4σ4＝......＝0。所以上式可簡化為σ′(x)=σ1+3σ3x2+5σ5x4+......=σ1+σ3x2+σ5x4+......=Σi=1i∈oddvσixi-1]]>根據(jù)求出的Xj和Yj就可以對接收碼字矢量糾錯，從而實現(xiàn)RS碼的譯碼。
從上述編譯碼算法中可以看出，GF(2m)域上的多項式的計算是最主要的運(yùn)算，其中用到大量的GF(2m)域上的加法和乘法。因此，域GF(2m)上的加法器和乘法器是設(shè)計的關(guān)鍵。
GF(2m)域上的數(shù)可以表示成域的一組基如(am-1，am-2，.......a2，a1，1)的線性組合，X＝xm-1am-1+xm-2am-2+….x1a1+x0?，F(xiàn)有的技術(shù)中，域GF(2m)上的元素通常用線性組合的系數(shù)表示，即X=^(xm-1,xm-2,...x1,x0)]]>，這樣GF(2m)域上的加法器實現(xiàn)比較簡單，將兩個數(shù)逐位異或(xor)即可，Z＝X+Y，zi＝xiyi，0≤i≤m-1；乘法運(yùn)算有查表法和非查表法兩類方法。
若采用查表法，由X和Y通過查表求X*Y，記做Z=^(zm-1,zm-2,...z1,z0)]]>，則地址為(xm-1，xm-2，…x1，x0，ym-1，ym-2，…y1，y0)寬2m比特，數(shù)據(jù)Z寬m比特，查找表的存儲量為22m·m比特，這種方法速度快，但占用的資源多得難以接受，例如當(dāng)m＝8時，存儲量為512k比特。
非查表法求出的積還要對本原多項式求模(除以本原多項式求余式)。該方法實現(xiàn)的電路簡單、面積小，但速度慢，需要m個時鐘周期。
在高速通信系統(tǒng)中，為了提高編譯碼速度，并使硬件復(fù)雜度較為合理，需要降低GF(2m)域上的運(yùn)算復(fù)雜度，為此本發(fā)明改進(jìn)了現(xiàn)有的RS碼算法。
RS碼的復(fù)雜度很大程度上取決于基本運(yùn)算單元——加法器和乘法器的復(fù)雜度，現(xiàn)有技術(shù)中碼元采用一組基的線性組合表示，加法運(yùn)算簡單，而乘法不是速度慢就是太復(fù)雜。為此我們通過采用本原元素的冪次表示碼元，使乘法運(yùn)算的復(fù)雜度和運(yùn)算速度與原算法中的加法相近，而加法運(yùn)算速度和原算法中乘法查表法的速度相當(dāng)、但存儲量減小很多，比非查表法計算速度高。
本發(fā)明的特征在于(1)它是一種避免了編譯碼過程中復(fù)雜的乘法運(yùn)算且和RS碼等效的編碼，它是利用本原域元素a的冪次表示RS碼的碼元的，即RS碼的碼字均在GF(2m)域上，GF(2m)域上的所有非零元素都是本原域元素a的整數(shù)次冪，對于任一非零元素X，若X＝ax，則X用x表示；(2)在編譯碼過程中，GF(2m)域上的兩個元素X和Y相乘等于對應(yīng)的兩個指數(shù)的相加，即X＝ax，Y＝ay，Z＝X·Y＝az，則z＝x+y(如果x+y＜(2m-1))或z＝x+y-(2m-1)(如果x+y≥(2m-1))；(3)在編譯碼過程中，GF(2m)域上的兩個元素X和Y相除等于對應(yīng)的兩個指數(shù)的相減，即X＝ax，Y＝ay，Z＝X/Y＝az，則z＝x-y(如果x-y≥0)或z＝x-y+(2m-1)(如果x-y＜0)。
(4)在編譯碼過程中，GF(2m)域上的兩個元素X和Y相加和相減采用查表法，GF(2m)域的任意兩個元素的差與和相等(X-Y)＝(X+Y)X＝ax，Y＝ay，Z＝X+Y＝X-Y＝az＝ax+ay＝ax(1+ay-x)，具體步驟為預(yù)先建立函數(shù)f(s)查找表，其中s、f(s)滿足af(s)＝1+as，用y-x查表得出f(y-x)，即af(y-x)＝1+ay-x，則z＝x+f(y-x)(如果x+f(y-x)＜(2m-1))或x+f(y-x)-(2m-1)(如果x+f(y-x)≥(2m-1))。
試驗證明采用這種方法糾錯性能和原算法相同，而且避免了復(fù)雜的乘法運(yùn)算，實現(xiàn)了RS碼高速高效的編譯碼。


圖1表示本發(fā)明所述的用冪次表示碼元的RS碼的編碼器流程圖。
圖2表示本發(fā)明所述的用冪次表示碼元的RS碼的譯碼器流程圖。
(2)GF(2m)域乘法GF(2m)域上的兩個元素X和Y相乘等于對應(yīng)的兩個指數(shù)的相加，即X＝ax，Y＝ay，Z＝X·Y＝az，則z＝x+y(如果x+y＜(2m-1))或z＝x+y-(2m-1)(如果x+y≥(2m-1))；(3)GF(2m)域除法GF(2m)域上的兩個元素X和Y相除等于對應(yīng)的兩個指數(shù)的相減，即X＝ax，Y＝ay，Z＝X/Y＝az，則z＝x-y(如果x-y≥0)或z＝x-y+(2m-1)(如果x-y＜0)。
(4)GF(2m)域加減法建立f(s)查找表的準(zhǔn)備工作兩個用冪次表示的元素的加法運(yùn)算不能直接計算，需要先變換到一組基的線性組合的形式，再作加法運(yùn)算，最后再變換到用冪次表示的形式，因此需要求出這兩種表示方法之間的映射關(guān)系。ai(i＝0，1，2，…，2m-2)用基(am-1，am-2，......a2，a1，1)的線性組合表示式等于ai除以本原多項式Poly(x＝a)的余式，設(shè)余式為xm-1am-1+xm-2am-2+…x1a1+x0，用其系數(shù)(xm-1xm-2…x1x0)表示，系數(shù)xj(j＝0，1，2，…m-1)的取值為0或1，x′＝(xm-1xm-2…x1x0)2是二進(jìn)制數(shù)，其取值為1到2m-1的整數(shù)。把求出的每組i和x′存儲到兩個長2m的查找表power[]和index[]中，查找冪次的power[x′]＝i，查找系數(shù)的index[i]＝x′，再令power
＝2m-1，index[2m-1]＝0。這樣GF(2m)域上的任一元素，如果是a的i次冪，則根據(jù)查找表index[]可以查出它用基的線性組合表示的系數(shù)，反之如果其線性組合的系數(shù)是x′，根據(jù)查找表power[]可以查出它是a的幾次冪。
建立函數(shù)f(s)的查找表s取值于0到2m-1之間的所有整數(shù)，求滿足af(s)＝1+as的f(s)，首先查表得x′＝(xm-1xm-2…x1x0)2＝index[s]，即as＝xm-1am-1+xm-2am-2+…x1a1+x0，則1+as＝xm-1am-1+xm-2am-2+…x1a1+(x01)，再用(xm-1xm-2…x1(x01))查出1+as對應(yīng)的a的冪次即為f(s)，即f(s)＝power[(xm-1xm-2…x1(x01))2]，把求出的s和f(s)存儲到長為2m的函數(shù)f(s)查找表中，從而建立函數(shù)f(s)的查找表，此后不再需要查找表power[]和index[]，因此只要按照上述方法預(yù)先求出f(s)查找表，在譯碼器中就只需要存儲f(s)查找表。
GF(2m)域上的任意兩個元素X和Y的差與和相等(X-Y)＝(X+Y)。加減法采用查表法，X＝ax，Y＝ay，Z＝X+Y＝X-Y＝az＝ax+ay＝ax(1+ay-x)，用y-x查表得出f(y-x)，即af(y-x)＝1+ay-x，又因為az＝ax(1+ay-x)＝ax·af(y-x)＝ax+f(y-x)則z＝x+f(y-x)(如果x+f(y-x)＜(2m-1))或x+f(y-x)-(2m-1)(如果x+f(y-x)≥(2m-1))。
(5)多項式加減法GF(2m)域上的兩個多項式之差等于它們的和，所以二者算法相同。u(x)=Σi=0Nuixi]]>和v(x)=Σi=0Nvixi,w(x)=Σi=0Nwixi=u(x)+v(x)=u(x)-v(x),]]>，則wi＝ui+vi，0≤i≤N，系數(shù)是GF(2m)域上的元素，加法采用(4)中所述的算法。
(6)多項式乘法GF(2m)域上的兩個多項式u(x)=Σi=0Nuixi]]>和v(x)=Σi=0Mvixi,w(x)=Σi=0N+Mwixi=u(x)·v(x)]]>則Wi=Σt=0t=iut·vi-t,0≤i≤N+M,]]>系數(shù)是GF(2m)域上的元素，乘法采用(2)中所述的算法，加法采用(4)中所述的算法。
(7)多項式除法取余GF(2m)域上的兩個多項式相除，除法的過程和普通的多項式除法相同，不同之處在于多項式系數(shù)的運(yùn)算。設(shè)u(x)=Σi=0Nuixi,v(x)=Σi=0Mvixi]]>，u(x)/v(x)的部分商式為w(x)=uNvMxN-M,]]>余式為r(x)＝u(x)-w(x)·v(x)，如果余式的階數(shù)不低于除式的階數(shù)，則令被除式等于余式，再次除以除式，反復(fù)此過程，直到余式的階數(shù)低于除式的階數(shù)為止，最后一次所得的余式為u(x)/v(x)的余式，每次所得的部分商之和為u(x)/v(x)的商式。這里的多項式相乘采用(6)中所述的算法，多項式相減采用(5)中所述的算法。
(8)求生成多項式生成多項式可表示為g(x)=Πj=12t(x-aj)=x2t+g2t-1x2t-1+g2t-2x2t-2+......+g1x1+g0]]>根據(jù)上式，采用(6)中所述的算法進(jìn)行2t個多項式連乘，即可求出g(x)。
(9)編碼把信息序列多項式乘以xn-k，再除以生成多項式求余數(shù)多項式。其中多項式的系數(shù)都用元素對應(yīng)的a的冪次表示，運(yùn)算過程中涉及的多項式運(yùn)算采用(2)-(7)中所述的算法。這樣生成的碼多項式的系數(shù)也是用元素對應(yīng)的a的冪次表示的。設(shè)輸入的信息序列為m(x)＝mk-1xk-1+mk-2xk-2+......+m2x2+m1x1+m0x0，生成的碼字為c(x)＝cn-1xn-1+cn-2xn-2+......+c2x2+c1x1+c0x0。則編碼算法為c(x)＝xn-km(x)+R(x)，其中R(x)＝xn-k·m(x)modg(x)，g(x)是RS碼的生成多項式。
(10)譯碼除了多項式系數(shù)用元素對應(yīng)的a的冪次表示，其他和現(xiàn)有的譯碼算法相同。具體分為以下三步1.計算伴隨式S(x)＝S1+S2x+......+S2tx2t-1接收碼字矢量y(x)＝y(tǒng)n-1xn-1+yn-2xn-2+......+y2x2+y1x1+y0Sj=y(aj)=Σi=0n-1yiaij=(......((yn-1aj+yn-2)aj+yn-3)aj+......y1)aj+y0,j=1,2,......2t]]>(2)計算錯誤位置多項式σ(x)和出錯值多項式ω(x).
由S(x)計算錯誤位置多項式σ(x)和出錯值多項式ω(x)是譯碼過程中的核心問題，在現(xiàn)有的各種算法中，擴(kuò)展歐幾里得算法是其中最適合Systolic陣列處理結(jié)構(gòu)硬件實現(xiàn)的算法。具體如下I.)初始化σ(-1)(x)＝0，σ(0)(x)＝1，ω(-1)(x)＝x2t，ω(0)(x)＝S(x)II.)計算ω(i+1)(x)＝ω(i-1)(x)-Q(i)(x)ω(i)(x)σ(i+1)(x)＝σ(i-1)(x)-Q(i)(x)σ(i)(x)其中ω(i+1)的階小于ω(i)。也就是ω(i+1)(x)是ω(i-1)(x)除以ω(i)(x)的余數(shù)多項式，而Q(i)(x)等于商多項式。
迭代運(yùn)算直到i+1＝j(luò)為止，j是使ω(j)的階小于t的最小整數(shù)。
σ(x)＝σ(j)(x)ω(x)＝ω(j)(x)(3)求錯誤位置和錯誤值。
σ(x)＝σeven(x2)+xσodd(x2)其中σeven(x2)＝σ0+σ2x2+σ4x4+......
σodd(x2)＝σ1+σ3x2+σ5x4+....
σ(x)＝0的充要條件是x-1σeven(x2)＝σodd(x2)。
把x＝a-i，n-1≥i≥0依次代入，求x-1σeven(x2)和σodd(x2)，其中使x-1σeven(x2)＝σodd(x2)的Xj就是出錯位置。
當(dāng)出錯位置確定后，對應(yīng)的出錯值為Yj=ω(Xj)σ′(Xj)=ω(Xj)σodd(Xj2)]]>根據(jù)求出的Xj和Yj就可以對接收碼字矢量糾錯，從而實現(xiàn)RS碼的譯碼。
舉例說明RS碼的設(shè)計及編譯碼過程若RS碼碼字符號數(shù)n＝7，信息符號數(shù)為k＝3，可糾正的最大差錯個數(shù)為t＝2，并給定一個3階本原多項式Poly(x)＝x3+x+1，本原元素a為本原多項式的根。
(1)建立函數(shù)f(s)查找表準(zhǔn)備工作計算x2a2+x1a1+x0＝aimod(Poly(x＝a))＝aimod(a3+a+1)，i從0到6

i和x′＝(x2x1x0)2存儲到兩個長8的查找表power[]和index[]中


建立函數(shù)f(s)的查找表例如s＝4，x′＝(xm-1xm-2…x1x0)2＝index[s]＝6＝(110)2，1+as＝xm-1am-1+xm-2am-2+…x1a1+(x01)＝(111)2＝7，f(s＝4)＝power[(xm-1xm-2…x1(x01))2]＝5，即f(4)＝5。
再例如s＝7，x′＝(xm-1xm-2…x1x0)2＝index[s]＝0＝(000)2，1+as＝xm-1am-1+xm-2am-2+…x1a1+(x01)＝(001)2＝1，f(s＝7)＝power[(xm-1xm-2…x1(x01))2]＝0，即f(7)＝0。

然后刪除查找表power[]和index[]，只保存f(s)的查找表。
(2)求生成多項式g(x)=Πj=12t(x-aj)]]>=(x-a)(x-a2)(x-a3)(x-a4)]]>=(x2-(a+a2)x+a3)(x-a3)(x-a4)]]>=(x2+a4x+a3)(x-a3)(x-a4)]]>=x4+a3x3+x2+ax+a3]]>(3)編碼設(shè)信息序列為(6，3，1)即m(x)＝a6x2+a3x+a，R(x)＝xn-k·m(x)modg(x)＝x4·(a6x2+a3x+a)mod(x4+a3x3+x2+ax+a3)＝ax3+a2x2+a3x+a2c(x)＝xn-km(x)+R(x)＝a6x6+a3x5+ax4+ax3+a2x2+a3x+a2碼字序列為(6，3，1，1，2，3，2)。
(4)譯碼假設(shè)錯誤矢量為(0020001)，也就是錯誤多項式為e(x)＝a2x4+1，則接收序列多項式為y(x)＝c(x)+e(x)＝a6x6+a3x5+a4x4+ax3+a2x2+a3x+a6計算伴隨式S(x)Sj=y(aj)=Σi=0n-1yiaij=(......((yn-1aj+yn-2)aj+yn-3)aj+......y1)aj+y0,j=1,2,......2t]]>S2＝y(tǒng)(a2)＝(......((a6a2+a3)a2+a4)a2+a)a2+a2)a2+a3)a2+a6＝aS1＝y(tǒng)(a)＝a2，S3＝y(tǒng)(a3)＝0，S4＝y(tǒng)(a4)＝a5所以S(x)＝S1+S2x+......+S2tx2t-1＝a5x3+ax+a2計算錯誤位置多項式σ(x)和出錯值多項式ω(x)(I)初始化σ(-1)(x)＝0，σ(0)(x)＝1，ω(-1)(x)＝x2t＝x4，ω(0)(x)＝S(x)＝a5x3+ax+a2(II)計算ω(1)(x)＝ω(-1)(x)-Q(0)(x)ω(0)(x)＝x4mod(a5x3+ax+a2)＝a3x2+a4x，其中Q(0)(x)＝a2xσ(1)(x)＝σ(-1)(x)-Q(0)(x)σ(0)(x)＝0-a2x·1＝a2x
(III)計算ω(2)(x)＝ω(0)(x)-Q(1)(x)ω(1)(x)＝(a5x3+ax+a2)mod(a3x2+a4x)＝a3x+a2，其中Q(1)(x)＝a2x+a3σ(2)(x)＝σ(0)(x)-Q(1)(x)σ(1)(x)＝1-(a2x+a3)·a2x＝a4x2+a5x+1因為ω(2)(x)的階小于t＝2，所以結(jié)束迭代運(yùn)算。
ω(x)＝ω(j)(x)＝a3x+a2σ(x)＝σ(j)(x)＝a4x2+a5x+1求錯誤位置和錯誤值σeven(x2)＝σ0+σ2x2＝a4x2+1σodd(x2)＝σ1＝a5把x＝a-i，6≥i≥0依次代入，求使x-1σeven(x2)＝σodd(x2)的Xj就是出錯位置。i＝4，x＝a-4，x-1σeven(x2)＝a5，σodd(x2)＝a5，所以X4＝a4是一個出錯位置。Y4=ω(Xj)σ′(Xj)=ω(Xj)σodd(Xj2)=1a5=a2]]>把x＝a-1，6≥i≥0依次代入，可以求出共有兩個出錯位置，另一個是X0＝a0＝1，Y0＝1。從而求得錯誤多項式為ê(x)＝a2x4+1，糾正接收多項式的錯誤得到譯碼結(jié)果c^(x)=y(x)+e^(x)]]>=(a6x6+a3x5+a4x4+ax3+a2x2+a3x+a6)+(a2x4+1)]]>=a6x6+a3x5+ax4+ax3+a2x2+a3x+a2]]>與發(fā)送的碼字多項式相同，所以譯碼算法正確地糾正了傳輸引起的錯誤。
傳統(tǒng)的RS碼編譯碼器中的乘法器非常復(fù)雜，需要兩個多項式相乘，再除以本原多項式取模，如果采用查表法需要地址線2m比特寬，數(shù)據(jù)m比特，存儲量為22m·m。采用本方法后，大大簡化了多項式的乘除法，而加法采用查表法，只需要m比特寬的地址線和數(shù)據(jù)線的查找表，存儲量為2m·m，大大降低了所需的存儲量。
圖1為本發(fā)明所述的用冪次表示碼元的RS碼的編碼器流程圖，圖2為本發(fā)明所述的用冪次表示碼元的RS碼的譯碼器流程圖。
此算法可以用計算機(jī)程序完成，也可在各種可編程邏輯器件或?qū)Ｓ眉呻娐分袑嵤?。一個具體的實施例子是用c程序完成的這種RS碼的編譯碼。
現(xiàn)有技術(shù)和本發(fā)明中RS碼的碼元分別采用一組基的線性組合的系數(shù)和本原域元素的冪次表示，因為編譯碼算法的原理相同，所以二者的糾錯性能相同，仿真實驗的結(jié)果充分的驗證了這一點。不同的是現(xiàn)有技術(shù)中碼元相加為模二和、相乘有兩種方法，一種需要復(fù)雜的乘法和對本原多項式取模，另一種需要很大的查找表，而本發(fā)明中的碼元乘法可以用簡單的加法實現(xiàn)、而碼元加法用比較小的查找表實現(xiàn)，與現(xiàn)有技術(shù)中非查表乘法相比，電路中的延時減少，從而提高了編譯碼速度；與現(xiàn)有技術(shù)中查表乘法相比則降低了存儲量和復(fù)雜度，例如當(dāng)m＝8時，此方法所需存儲量僅為2k比特。
權(quán)利要求
1.一種和RS碼等效的編碼，其特征在于它是一種避免了編譯碼過程中復(fù)雜的乘法運(yùn)算且和RS碼等效的編碼，它是利用本原域元素a的冪次表示RS碼的碼元的，即RS碼的碼字均在GF(2m)域上，GF(2m)域上的所有非零元素都是本原域元素a的整數(shù)次冪，對于任一非零元素X，若X＝ax，則X用x表示。
2.一種和RS碼等效的編碼的快速編譯碼的算法，其特征在于它是一種能在計算機(jī)中運(yùn)行的速度高且復(fù)雜度較低的和RS碼等效的編譯碼算法，在編譯碼過程中，它采用下列各種算法(1)在編譯碼過程中，GF(2m)域上的兩個元素X和Y相乘等于對應(yīng)的兩個指數(shù)的相加，即X＝ax，Y＝ay，Z＝X·Y＝az，則z＝x+y(如果x+y＜(2m-1))或z＝x+y-(2m-1)(如果x+y≥(2m-1))；(2)在編譯碼過程中，GF(2m)域上的兩個元素X和Y相除等于對應(yīng)的兩個指數(shù)的相減，即X＝ax，Y＝ay，Z＝X/Y＝az，則z＝x-y(如果x-y≥0)或z＝x-y+(2m-1)(如果x-y＜0)。(3)在編譯碼過程中，GF(2m)域上的兩個元素X和Y相加和相減采用查表法，GF(2m)域的任意兩個元素的差與和相等(X-Y)＝(X+Y)X＝ax，Y＝ay，Z＝X+Y＝X-Y＝az＝ax+ay＝ax(1+ay-x)，具體步驟為預(yù)先建立函數(shù)f(s)查找表，其中s、f(s)滿足af(s)＝1+as，用y-x查表得出f(y-x)，即af(y-x)＝1+ay-x，則z＝x+f(y-x)(如果x+f(y-x)＜(2m-1))或x+f(y-x)-(2m-1)(如果x+f(y-x)≥(2m-1))。
全文摘要
一種和RS碼等效的編碼以及其快速編譯碼的算法屬于RS碼技術(shù)領(lǐng)域，其特征在于它是一種利用本原域元素a的冪次表示RS碼的碼元的編譯碼算法，RS碼的碼字均在GF(文檔編號H03M13/00GK1447528SQ03121939
公開日2003年10月8日 申請日期2003年4月18日 優(yōu)先權(quán)日2003年4月18日
發(fā)明者趙明, 張秀軍, 姚熠飛, 周世東, 王京, 姚彥 申請人:清華大學(xué)