本發(fā)明屬于航空航天技術(shù)領(lǐng)域，涉及一種近地航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌道的保持方法，特別涉及地球攝動(dòng)引力場(chǎng)中近地航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌道的保持方法。

背景技術(shù)：

近地軌道航天器的相對(duì)運(yùn)動(dòng)問題在過去的幾十年中受到了大量相關(guān)研究人員的關(guān)注。許多二體問題的動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)模型被相繼提出，最為著名的相對(duì)運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型是C-W方程。C-W方程提供了一種求解近圓軌道航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)周期軌道的方法。然而，C-W方程中采用的一些假設(shè)條件(假設(shè)圓軌道、忽略地球扁率等)會(huì)導(dǎo)致模型的誤差在某些情況下嚴(yán)重偏離實(shí)際。由于周期性相對(duì)軌道在相對(duì)軌道保持，以及航天器編隊(duì)飛行方面具有重要意義，迫切需要更加精確的相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型以及求解相對(duì)運(yùn)動(dòng)周期軌道的方法。迄今，已經(jīng)有過許多對(duì)C-W方程進(jìn)行一般化的嘗試。通過研究得到了相對(duì)運(yùn)動(dòng)線性方程組的齊次解，得到了T-H方程的周期軌道初始條件。該結(jié)果能用于對(duì)參考軌道為橢圓軌道的大型航天器集群飛行進(jìn)行初始化。然而，當(dāng)同時(shí)考慮重力場(chǎng)的非線性、地球J₂攝動(dòng)、和大偏心率參考軌道時(shí)，初始條件就無法再滿足要求了。當(dāng)考慮非線性項(xiàng)的存在時(shí)，非線性動(dòng)力學(xué)模型都沒有解析解，因?yàn)槟Ｐ头匠滩痪邆渚€性系統(tǒng)的可加性和齊次性?？偟膩碚f，當(dāng)前還未能針對(duì)近地軌道航天器的相對(duì)運(yùn)動(dòng)提出一種精確、可靠、適應(yīng)性強(qiáng)的周期軌道初始化方法，也未針對(duì)航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌道的保持提供一種普遍有效、節(jié)省燃耗的控制策略。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明的目的在于提供一種任意形狀翻滾衛(wèi)星的非接觸式慣量系數(shù)辨識(shí)方法，以克服上述現(xiàn)有技術(shù)存在的缺陷，本發(fā)明提出了基于時(shí)間離散法的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌道初值快速解算方法和軌道保持控制方法，計(jì)算效率高，并且節(jié)省控制燃料，因此具有明顯的優(yōu)勢(shì)。

為達(dá)到上述目的，本發(fā)明采用如下技術(shù)方案：

地球攝動(dòng)引力場(chǎng)中近地航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌道的保持方法，包括如下步驟：

1)建立地球引力攝動(dòng)下主從星的精確相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型；

2)使用時(shí)間離散法對(duì)主從星相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行求解；

3)獲取閉合投影軌道；

4)設(shè)計(jì)閉環(huán)控制策略。

進(jìn)一步地，步驟1)中建立地球引力攝動(dòng)下主從星的精確相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型具體為：

同時(shí)采用地心慣性坐標(biāo)系和星體坐標(biāo)系建立從航天器相對(duì)于主航天器的橢圓軌道相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型：

其中，x_r，y_r，z_r為從星在主星星體坐標(biāo)系下的位置坐標(biāo)，ω_x,ω_z，α_x，α_z分別為主星星體坐標(biāo)系繞自身x軸、z軸的旋轉(zhuǎn)角速度及相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角加速度，η由如下關(guān)系式給出：

r，i，和θ均為描述主星軌道的周期性時(shí)變參數(shù)并由如下主星軌道方程給出：

其中，s表示三角函數(shù)sin，c表示三角函數(shù)cos，r為主星相對(duì)于地心的距離，v_r為r相對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，h為主星的角動(dòng)量，θ為主星與升交點(diǎn)之間的夾角，i為軌道平面傾角，Ω為升交點(diǎn)赤經(jīng)，k_J2為J₂相關(guān)項(xiàng)；

F_x，F(xiàn)_y，和F_z是從星的控制力在主星星體坐標(biāo)系下的分量，η_r和是相對(duì)位置坐標(biāo)x_r，y_r，z_r的函數(shù)并由如下關(guān)系給出：

其中，

r_rZ＝(r+x_r)s_is_θ+y_rs_ic_θ+z_rc_i，

在上式中，r_r為從星相對(duì)于地心的距離，r_rZ為r_r在地心慣性系Z軸上的投影，J₂為地心引力場(chǎng)的攝動(dòng)項(xiàng)，μ為引力常數(shù)，R_e為地球半徑；

然后，通過降階增維的方式，將主從星相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程中的二階導(dǎo)數(shù)消去，從而將其轉(zhuǎn)化為如下的一階狀態(tài)空間形式：

其中，X＝(x_r y_r z_r v_x v_y v_z)^T為狀態(tài)空間向量，G為映射函數(shù)。

進(jìn)一步地，步驟2)中使用時(shí)間離散法對(duì)主從星相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行求解具體為：

將狀態(tài)空間向量X假設(shè)為傅里葉級(jí)數(shù)的周期解形式，以函數(shù)f(t)為例，將其表示為：

其中a₀，a_n，b_n為諧波系數(shù)，ω為周期運(yùn)動(dòng)的頻率，n為諧波的階數(shù)，t表示時(shí)間；

根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)本身的特性，這種形式的周期解存在如下所示的變換關(guān)系：

其中f(t_j)和分別為時(shí)間t_j處函數(shù)f(t)及其一階時(shí)間導(dǎo)數(shù)的值，矩陣EAE^-1為相應(yīng)的變換矩陣，ω_f為假設(shè)的周期運(yùn)動(dòng)頻率，假設(shè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的周期為時(shí)間T，在該周期內(nèi)選取K個(gè)時(shí)間點(diǎn)，即得到如下關(guān)于離散點(diǎn)的方程組：

其中，t₁至t_K為在時(shí)間周期內(nèi)選取的配點(diǎn)，根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)形式的周期解所固有的變換關(guān)系，將上式的左端項(xiàng)轉(zhuǎn)化為：

其中，ω_xr，ω_yr，和ω_zr分別為x，y，z軸的運(yùn)動(dòng)分量的頻率，E_xAE_x^-1，E_yAE_y^-1和E_zAE_z^-1分別為x，y，z軸的運(yùn)動(dòng)分量的變換矩陣，X_r，Y_r，Z_r和V_x，V_y，V_z分別為對(duì)應(yīng)位置和速度分量在時(shí)間配點(diǎn)處的值；

由此，得到該模型對(duì)應(yīng)的時(shí)間離散法代數(shù)方程組，簡寫如下

其中，Q＝(X_r,Y_r,Z_r,V_x,V_y,V_z)^T，是對(duì)(G(X(t₁)),G(X(t₂)),...G(X(t_K)))^T重新排列后得到的矢量，為對(duì)E重新排列后得到的矩陣，通過對(duì)上述方程組進(jìn)行求解即得到周期解的離散點(diǎn)信息，利用該離散點(diǎn)信息即能夠得到周期解的估計(jì)值。

進(jìn)一步地，步驟3)中獲取閉合投影軌道具體為：

假設(shè)閉合投影軌道能夠展開為傅里葉級(jí)數(shù)的形式，通過在慢漂移軌道的某一段上選擇均勻分布的M個(gè)離散點(diǎn)，得到余量函數(shù)其中，矢量為閉合投影軌道的諧波估計(jì)系數(shù)，為相應(yīng)的諧波矩陣，Q_c為慢漂移軌道在配點(diǎn)處的位置和速度信息，通過最小二乘法，尋找使R^TR取最小值的閉合投影軌道的頻率ω_c^*和離散信息即求解下式：

其中，R為余量函數(shù)，ω_c^*為最優(yōu)的閉合投影軌道的頻率，為該最優(yōu)閉合投影軌道在配點(diǎn)處的位置及速度信息，將余量函數(shù)代入上式，得到：

該非線性代數(shù)方程的解ω_c^*和即用于構(gòu)造閉合投影軌道，

上式中，矩陣和T如下所示：

其中，A的具體形式為：

t為配點(diǎn)處的時(shí)間t₁至t_K構(gòu)成的對(duì)角陣。

進(jìn)一步地，步驟4)中設(shè)計(jì)閉環(huán)控制策略具體為：

對(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行線性化處理之后得到下式

其中X^d＝X-X_p是真實(shí)軌跡X相對(duì)投影軌道的漂移量，X_p是投影軌道的狀態(tài)矢量，矩陣為控制矩陣，如下所示；

令控制矢量u為固定時(shí)間間隔的脈沖推力，即：

其中t_k為脈沖推力開始作用的瞬時(shí)時(shí)間，為脈沖間隔T_s的整數(shù)倍：t_k＝kT_s，d為脈沖推力作用的持續(xù)時(shí)間，u_k為離散控制器給出的控制信號(hào)，由此將相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型離散化為：

其中，dτ為對(duì)時(shí)間τ的微分；

使用DLQR控制策略，使如下的二次型性能指標(biāo)最小化

其中，X_dk為在時(shí)間域內(nèi)離散化的狀態(tài)矢量；

通過Ricatti方程得到最優(yōu)控制律

u_k＝-K(X(t_k)-X_p(t_k))

其中，X(t_k)為真實(shí)狀態(tài)矢量在t_k處的值，X_p(t_k)為閉合投影軌道的狀態(tài)矢量在t_k處的值，K為增益矩陣。

與現(xiàn)有技術(shù)相比，本發(fā)明具有以下有益的技術(shù)效果：

本發(fā)明方法基于時(shí)間離散法，通過在時(shí)間域內(nèi)離散獲得航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)的代數(shù)方程，避免了一般的非線性系統(tǒng)分析方法中大量的符號(hào)運(yùn)算，同時(shí)簡化了系統(tǒng)方程，使得求解效率得到較大提高。本發(fā)明所提出的時(shí)間離散法求解方案擴(kuò)展性較強(qiáng)，能夠應(yīng)用到考慮其他攝動(dòng)因素(如太陽光壓和大氣阻力)的更加精確的相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型的求解中。另外，提出了一種基于閉合投影軌道的閉環(huán)控制策略，由于閉合投影軌道與真實(shí)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)周期軌道近似程度較高，這使得該控制策略能夠有效地降低軌道保持的燃料消耗，同時(shí)閉合投影軌道的求解過程簡單，不會(huì)過多占用星載計(jì)算機(jī)的計(jì)算資源。

附圖說明

圖1為本發(fā)明方法的流程圖；

圖2為航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型示意圖；

圖3為時(shí)間離散法求解方案得到的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌道；

圖4為為無控條件下航天器的慢漂移軌跡和閉合投影軌道；

圖5為DLQR控制策略下的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡。

具體實(shí)施方式

下面對(duì)本發(fā)明作進(jìn)一步詳細(xì)描述：

采用時(shí)間離散法對(duì)主從星相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行求解，將相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)矢量的三個(gè)分量假設(shè)為傅里葉級(jí)數(shù)的周期解形式。然后通過周期內(nèi)的時(shí)間離散，得到離散后的系統(tǒng)的代數(shù)方程組，通過選取合適的不動(dòng)點(diǎn)迭代計(jì)算方法及迭代初值，獲得周期解的估計(jì)解，即為相對(duì)周期運(yùn)動(dòng)的精確初值。使用時(shí)間離散法對(duì)系統(tǒng)模型進(jìn)行求解后，能夠得到精度較高的估計(jì)解，但是由于求解過程中存在計(jì)算誤差，由該初始條件得到的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡并不完全閉合，而是一條漂移速率較慢的近似周期軌道。我們采用最小二乘原理將慢漂移軌道投影到一個(gè)周期軌道上，得到閉合投影軌道?；诖碎]合投影軌道，通過與DLQR控制方法結(jié)合進(jìn)而設(shè)計(jì)了一種高效率、低燃耗的控制策略。

具體步驟包括：

1)基于拉格朗日方程，建立地球引力場(chǎng)在J₂攝動(dòng)下航天器的精確相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型：

同時(shí)采用地心慣性坐標(biāo)系(ECI)和星體坐標(biāo)系(LVLH)建立從航天器相對(duì)于主航天器的橢圓軌道相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型

其中，x_r，y_r，z_r為從星在主星星體坐標(biāo)系下的位置坐標(biāo)，ω_x、ω_z，α_x，α_z分別為主星星體坐標(biāo)系繞自身x軸、z軸的旋轉(zhuǎn)角速度及相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角加速度，為η由如下關(guān)系式給出

r，i，和θ均為描述主星軌道的周期性時(shí)變參數(shù)并由如下主星軌道方程給出：

其中，s表示三角函數(shù)sin，c表示三角函數(shù)cos，r為主星相對(duì)于地心的距離，v_r為r相對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，h為主星的角動(dòng)量，θ為主星與升交點(diǎn)之間的夾角，i為軌道平面傾角，Ω為升交點(diǎn)赤經(jīng)，k_J2為J₂相關(guān)項(xiàng)；

F_x，F(xiàn)_y，和F_z是從星的控制力在主星星體坐標(biāo)系下的分量，η_r和是相對(duì)位置坐標(biāo)x_r，y_r，z_r的函數(shù)并由如下關(guān)系給出：

其中，

r_rZ＝(r+x_r)s_is_θ+y_rs_ic_θ+z_rc_i，

在上式中，r_r為從星相對(duì)于地心的距離，r_rZ為r_r在地心慣性系Z軸上的投影，J₂為地心引力場(chǎng)的攝動(dòng)項(xiàng)，μ為引力常數(shù)，R_e為地球半徑；

然后，通過降階增維的方式，將主從星相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程中的二階導(dǎo)數(shù)消去，從而將其轉(zhuǎn)化為如下的一階狀態(tài)空間形式：

其中，X＝(x_r y_r z_r v_x v_y v_z)^T為狀態(tài)空間向量，G為映射函數(shù)。

2)建立時(shí)間離散法求解方案對(duì)航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行求解：

將狀態(tài)空間向量X假設(shè)為傅里葉級(jí)數(shù)的周期解形式，以函數(shù)f(t)為例，將其表示為：

其中a₀，a_n，b_n為諧波系數(shù)，ω為周期運(yùn)動(dòng)的頻率，n為諧波的階數(shù)，t表示時(shí)間；

根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)本身的特性，這種形式的周期解存在如下所示的變換關(guān)系

其中f(t_j)和分別為時(shí)間t_j處函數(shù)f(t)及其一階時(shí)間導(dǎo)數(shù)的值，矩陣EAE^-1為相應(yīng)的變換矩陣，ω_f為假設(shè)的周期運(yùn)動(dòng)頻率。假設(shè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的周期為時(shí)間T，在該周期內(nèi)選取K個(gè)時(shí)間點(diǎn)，可以得到如下關(guān)于離散點(diǎn)的方程組

其中，t₁至t_K為在時(shí)間周期內(nèi)選取的配點(diǎn)，根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)形式的周期解所固有的變換關(guān)系，上式的左端項(xiàng)可以轉(zhuǎn)化為

其中，ω_xr，ω_yr，和ω_zr分別為x，y，z軸的運(yùn)動(dòng)分量的頻率。E_xAE_x^-1，E_yAE_y^-1和E_zAE_z^-1分別為x，y，z軸的運(yùn)動(dòng)分量的變換矩陣，X_r，Y_r，Z_r和V_x，V_y，V_z分別為對(duì)應(yīng)位置和速度分量在時(shí)間配點(diǎn)處的值；

由此，能夠得到該模型對(duì)應(yīng)的時(shí)間離散法代數(shù)方程組，簡寫如下

其中，Q＝(X_r,Y_r,Z_r,V_x,V_y,V_z)^T。是對(duì)(G(X(t₁)),G(X(t₂)),...G(X(t_K)))^T重新排列后得到的矢量，為對(duì)E重新排列后得到的矩陣。上式為一組非線性代數(shù)方程，通過選取合適的不動(dòng)點(diǎn)迭代計(jì)算方法及迭代初值，就能進(jìn)行求解，所得到的解Q為周期解的離散點(diǎn)信息，利用該信息能夠獲得周期解的估計(jì)解，也能夠?qū)ο鄬?duì)周期運(yùn)動(dòng)進(jìn)行初始化。

3)獲取閉合投影軌道

使用時(shí)間離散法對(duì)系統(tǒng)模型進(jìn)行求解后，能夠得到精度較高的估計(jì)解，同時(shí)也能獲得周期軌道的初始化條件，但是由于求解過程中存在計(jì)算誤差，由該初始條件得到的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡并不完全閉合，而是一條漂移速率較慢的近似周期軌道。為了獲得相對(duì)運(yùn)動(dòng)控制所需的參考軌跡，我們將其投影到一個(gè)周期性的閉合軌道上，并以該軌道為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)閉環(huán)控制策略。

仍然假設(shè)閉合投影軌道能夠展開為傅里葉級(jí)數(shù)的形式，通過在慢漂移軌道的某一段上選擇均勻分布的M個(gè)離散點(diǎn)，得到余量函數(shù)其中，矢量為閉合投影軌道的諧波估計(jì)系數(shù)，為相應(yīng)的諧波矩陣，Q_c為慢漂移軌道在配點(diǎn)處的位置和速度信息，通過最小二乘法，尋找使R^TR取最小值的閉合投影軌道的頻率ω_c^*和離散信息也就是求解下式

其中，R為余量函數(shù)，ω_c^*為最優(yōu)的閉合投影軌道的頻率，為該最優(yōu)閉合投影軌道在配點(diǎn)處的位置及速度信息，將余量函數(shù)代入上式，可以得到

該非線性代數(shù)方程的解ω_c^*和即用于構(gòu)造閉合投影軌道。

其中，矩陣和T如下所示：

其中，A的具體形式為：

t為配點(diǎn)處的時(shí)間t₁至t_K構(gòu)成的對(duì)角陣。

4)設(shè)計(jì)閉環(huán)控制策略：

對(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行線性化處理之后得到下式

其中X_d＝X-X_p是真實(shí)軌跡X相對(duì)投影軌道的漂移量，X_p是投影軌道的狀態(tài)矢量，矩陣為控制矩陣，如下所示；

令控制矢量u為固定時(shí)間間隔的脈沖推力，即：

其中t_k為脈沖推力開始作用的瞬時(shí)時(shí)間，為脈沖間隔T_s的整數(shù)倍：t_k＝kT_s，d為脈沖推力作用的持續(xù)時(shí)間，u_k為離散控制器給出的控制信號(hào)，由此將相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型離散化為：

其中，dτ為對(duì)時(shí)間τ的微分。

使用DLQR控制策略，使如下的二次型性能指標(biāo)最小化

其中，X_dk為在時(shí)間域內(nèi)離散化的狀態(tài)矢量；

通過Ricatti方程得到最優(yōu)控制律

u_k＝-K(X(t_k)-X_p(t_k))。

其中，X(t_k)為真實(shí)狀態(tài)矢量在t_k處的值，X_p(t_k)為閉合投影軌道的狀態(tài)矢量在t_k處的值，K為增益矩陣。

為了更好地說明本發(fā)明的目的和優(yōu)點(diǎn)，下面結(jié)合附圖和實(shí)例對(duì)本發(fā)明內(nèi)容做進(jìn)一步說明：

本發(fā)明針對(duì)近地軌道近距離交會(huì)任務(wù)，提出了一種近地軌道航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌道的保持方法，該方法的操作流程如圖1所示，其具體實(shí)施方式包括如下步驟：

第一步：建立航天器的相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型。該模型中采用了兩組笛卡爾坐標(biāo)系，如圖2所示。其中地心慣性坐標(biāo)系(ECI)由一組單位向量X,Y,Z表示，體坐標(biāo)系(LVLH)固聯(lián)在參考航天器S₀上。建模過程中考慮地球引力場(chǎng)的J₂攝動(dòng)項(xiàng)，建立了一階標(biāo)準(zhǔn)化動(dòng)力學(xué)方程其中X＝(x_r y_r z_r v_x v_y v_z)^T，也就是相對(duì)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)矢量。

第二步：相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型的時(shí)間離散法求解方案。取周期軌道的近似解為傅里葉級(jí)數(shù)的諧波形式，其中傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)為未知量。將近似解帶入動(dòng)力學(xué)方程然后在的一個(gè)周期上進(jìn)行離散，得到代數(shù)方程組。使用牛頓迭代法求解代數(shù)方程組，得到近似解。這樣，得到的估計(jì)解X(t)與真實(shí)的周期解足夠接近，是一個(gè)慢漂移的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌道，如圖3。

第三步：獲取相對(duì)運(yùn)動(dòng)的精確閉合投影軌道。

上一步中，使用時(shí)間離散法對(duì)系統(tǒng)模型進(jìn)行求解后，能夠得到精度較高的估計(jì)解，同時(shí)也能獲得周期軌道的初始化條件，但是由于求解過程中存在計(jì)算誤差，由該初始條件得到的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡并不完全閉合，而是一條漂移速率較慢的近似周期軌道。為了獲得相對(duì)運(yùn)動(dòng)控制所需的參考軌跡，我們將其投影到一個(gè)周期性的閉合軌道上，并以該軌道為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)閉環(huán)控制策略。仍然假設(shè)閉合投影軌道能夠展開為傅里葉級(jí)數(shù)的形式，通過在慢漂移軌道的某一段上選擇均勻分布有限個(gè)離散點(diǎn)，帶入控制方程得到余量函數(shù)通過最小二乘法，尋找使R^TR取最小值的閉合投影軌道的高精度閉合解，如圖4。

第四步：設(shè)計(jì)閉環(huán)控制策略?；讷@取的相對(duì)運(yùn)動(dòng)的精確閉合投影軌道，并采用離散化線性二次型最優(yōu)控制器進(jìn)行周期軌道控制，在消耗燃料很低的情況下，得到了精確的相對(duì)運(yùn)動(dòng)周期軌道，如圖5所示。