本發(fā)明屬于航天器控制領(lǐng)域，具體是一種基于繩系技術(shù)的空間碎片回收控制方法。

背景技術(shù)：

隨著人類宇宙活動的日益頻繁，在地球軌道附近遺留的以航天器碎片為主的太空垃圾急劇增加，這必將對在軌航天器的運行產(chǎn)生極大威脅，回收及清理這些空間碎片勢在必行。因此，基于空間系繩的碎片回收技術(shù)已引起了科研工作者們的極大興趣。如鐘睿等基于線性自治繩系系統(tǒng)的穩(wěn)定理論推導出了一套線性反饋控制律，能夠?qū)崿F(xiàn)空間繩系系統(tǒng)的穩(wěn)定回收中國空間科學技術(shù),2009,29(6):66-73)。Yu等基于一接近真實繩系系統(tǒng)的時變自由度柔性繩模型，對空間系繩的勻速回收進行了研究，數(shù)值結(jié)果表明在回收末期繩系碎片將發(fā)生大幅擺動甚至繞航天器旋轉(zhuǎn)(Acta Astronautica,2010,67(7-8):845-853)。Steindl研究了空間繩系系統(tǒng)在回收過程中的面內(nèi)外振蕩問題，利用中心流形及協(xié)同控制方法分別對系繩擺動進行了抑制(Meccanica,2014,49(8):1879-1885)。Wen等提出了一套關(guān)于空間繩系回收的非線性張力控制策略，通過實時準線性化迭代算法數(shù)值解決了一系列非線性最優(yōu)控制問題(Advances in Space Research,2016,57(3):754-763)。

通過關(guān)注前人的研究成果可以發(fā)現(xiàn)，最優(yōu)控制(如能量最優(yōu)、時間最優(yōu))可以在滿足各類約束的情況下完成繩系碎片的回收任務，但這將消耗大量的計算資源及時間，且只能得到數(shù)值結(jié)果，無法獲得一個解析控制律。另一方面，人們也提出了一些解析的拉力控制律，但通常僅適用于運行在偏心率較小的開普勒軌道的繩系碎片系統(tǒng)，一旦軌道偏心率增大將不再適用。此外，部分回收控制律是基于線性化系統(tǒng)設(shè)計的，顯然，這與實際工程任務中的非線性繩系碎片系統(tǒng)存在較大偏差。因此，基于非線性時變繩系系統(tǒng)并考慮系繩彈性，得到一套解析的碎片回收控制律，同時保證回收控制過程是漸近穩(wěn)定的，并且具有良好安全性的回收控制方法一直是本領(lǐng)域技術(shù)人員待解決的技術(shù)難題。

技術(shù)實現(xiàn)要素：

本發(fā)明針對現(xiàn)有技術(shù)的不足，公開了一種基于繩系技術(shù)的空間碎片回收的控制方法，該方法基于空間三維非線性時變繩系系統(tǒng)動力學方程，考慮系繩彈性，提出一種繩系碎片回收解析控制律，可以對徑向回收過程中系繩的面內(nèi)及面外擺動進行抑制，通過解析控制律的定義域得到期望回收傾角的范圍，最后，利用Floquet理論進一步確定能使系統(tǒng)在回收過程中保持漸近穩(wěn)定的期望回收傾角范圍。

本發(fā)明是這樣實現(xiàn)的，一種基于繩系技術(shù)的空間碎片回收的控制方法，該方法包括如下步驟：

步驟一，采用彈性桿模型研究空間繩系碎片系統(tǒng)，根據(jù)第二類Lagrange方程，建立系統(tǒng)動力學微分方程；

步驟二，選取要回收的系繩長度，引入無量綱變換，將步驟一的系統(tǒng)動力學方程改寫為無量綱形式的系統(tǒng)動力學方程，描述回收過程中系繩的面內(nèi)外擺動；

步驟三，研究回收過程中非線性時變系統(tǒng)動力學方程的面內(nèi)外擺角振動抑制問題，推導出系繩長度變化解析控制律以及在碎片回收過程期望平衡位置中面內(nèi)俯仰角的取值范圍；

步驟四，利用Floquet理論進一步分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及保持漸近穩(wěn)定的期望面內(nèi)俯仰角的取值范圍。

進一步，所述的步驟一的具體為：

步驟1.1，考慮系繩應變，采用彈性桿模型研究該系統(tǒng)的面內(nèi)外振蕩，視質(zhì)量分別為m_S和m_D的在軌航天器S及空間碎片D為質(zhì)點、將回收長度為l的空間系繩考慮成一根無質(zhì)量彈性桿，ε表示彈性系繩的應變、EA為系繩剛度，系統(tǒng)質(zhì)心o運行于偏心率為e的開普勒橢圓軌道，考察系統(tǒng)面內(nèi)俯仰角θ及面外滾轉(zhuǎn)角φ；

步驟1.2，選取面內(nèi)俯仰角θ、面外滾轉(zhuǎn)角φ及回收繩長l為廣義坐標，根據(jù)第二類Lagrange方程，系統(tǒng)動力學微分方程可寫為：

式中“'”表示對時間t的導數(shù)，參數(shù)ν為真近點角，μ_E為地球引力常數(shù)，r為系統(tǒng)質(zhì)心o至地心O的距離，T＝εEA為系繩張力，Q_θ和Q_φ分別為θ和φ兩個自由度的廣義力；其中：

r(ν)＝a(1-e²)/κ，

式中，a為繞地軌道長半軸，參數(shù)κ＝1+ecosν。

進一步，所述的步驟二具體為：在不計環(huán)境攝動的情況下，令Q_θ＝0和Q_φ＝0，以l_r表示要回收系繩長度的參考長度，引入無量綱變換ξ＝l/[l_r(1+ε)]，將系統(tǒng)動力學方程(1)改寫為無量綱形式：

式中以真近點角ν為無量綱時間，“·”表示對ν求導數(shù)，u為無量綱系繩張力；動力學微分方程組(2)可以描述回收過程中系繩的面內(nèi)外擺動，而且方程中的sinθcosθ、sinφcosφ、cos²φ等項表明空間繩系碎片系統(tǒng)具有復雜的非線性特性，當系統(tǒng)狀態(tài)遠離平衡點時其動力學行為將與線性化系統(tǒng)產(chǎn)生較大差異。同時，當系統(tǒng)偏心率不為0時，這將是一個非自治系統(tǒng)。

進一步，所述的步驟三具體為：

步驟3.1，在回收階段，要求面內(nèi)外擺角分別趨近于θ_e和φ_e；并通過繩長變化率控制實現(xiàn)回收，由于繩長已被控制律約束，故令則可將系統(tǒng)動力學方程(2)的前兩式寫為范式：

則平衡位置為：

步驟3.2，根據(jù)式(4)第一式中反正弦函數(shù)的定義域，可得到：

基于式(4)中的第一式，推導出無量綱系繩長度變化率滿足：

步驟3.3，若期望保持恒定，即可進一步推導出系繩長度變化控制律：

其中，繩長度變化控制律是通過無量綱控制力u驅(qū)動的；

步驟3.4，若要求系繩保持回收，即則由式(7)可得出：

或

聯(lián)立式(5)和(8)可以得到在碎片回收過程期望平衡位置中面內(nèi)俯仰角的取值范圍：

進一步，所述的步驟四具體為：

步驟4.1，基于回收控制律(7)，存在一個平衡位置(θ_e,0,φ_e,0)能使系繩沿指定方向(θ_e,φ_e)回收，進一步討論該平衡位置穩(wěn)定性；另外，值得注意的是，若僅以無量綱繩長ξ為控制變量，對系統(tǒng)面內(nèi)、面外擺角兩個參數(shù)同時進行振動抑制，則其將是一個欠驅(qū)動控制系統(tǒng)。

在無量綱控制力u作用下，基于繩長變化率(7)對系繩進行回收控制，即系統(tǒng)自由度ξ已被完全約束，故可依據(jù)動力學方程(2)的前兩式研究系繩回收過程中期望傾角的穩(wěn)定性。

步驟4.2，利用Floquet理論對該時變系數(shù)的非自治系統(tǒng)穩(wěn)定性進行分析，研究系統(tǒng)方程(2)的變分方程：

其中Jacobi矩陣：

以上Jacobi矩陣滿足Df(ν+Θ)＝Df(ν)。不難看出，其周期為Θ＝2π；特別地，在初始時刻，若積分變量矩陣Φ取為單位矩陣，即Φ|_ν＝0＝I，則變分方程(10)經(jīng)歷一個周期2π的積分迭代，可以得到單值矩陣B＝Φ|_ν＝2π。

步驟4.3，再根據(jù)Floquet理論，通過特征乘數(shù)即單值矩陣特征根λ_i(i＝1,2,3,4)可以判定原方程(2)的穩(wěn)定性：當所有特征根的模均小于1時，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定；只要有一個特征根的模大于1，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。

這可以有效地研究在先前欠驅(qū)動回收控制律(7)作用下，非自治系統(tǒng)在期望傾角附近的穩(wěn)定性?；谝陨螰loquet理論研究表明，當控制律作用于運行區(qū)間時可以保證系統(tǒng)的回收過程漸近穩(wěn)定。

步驟4.4，通過Floquet理論可進一步研究碎片回收過程中期望面內(nèi)俯仰角的取值范圍為：

且值得注意的是，在偏心率e較大時，部分絕對值較小的期望俯仰角θ_e可能會引起系繩回收過程不穩(wěn)定。

進一步，所述的在施加控制約束區(qū)間Π的補集Σ上不施加額外控制力，即可實現(xiàn)空間碎片的穩(wěn)定回收；若期望進一步優(yōu)化控制效果，可在區(qū)間Σ上施加額外控制力，以控制系繩在區(qū)間Σ上可能產(chǎn)生的發(fā)散。

本發(fā)明相對于現(xiàn)有技術(shù)的有益效果在于：

(1)本發(fā)明所采用的空間繩系碎片系統(tǒng)是一類典型的非線性系統(tǒng)，且運行于開普勒橢圓軌道時系統(tǒng)動力學方程的系數(shù)將隨時間不斷變化；

(2)本發(fā)明是在空間三維非線性繩系碎片動力學模型基礎(chǔ)上提出一套解析的碎片回收控制律，能夠在徑向回收過程中對系繩的面內(nèi)外振蕩進行有效抑制。

(3)通過該解析控制律的定義域及Floquet理論得到能使系繩在回收過程中保持漸近穩(wěn)定的期望傾角范圍；該方法既可以保證碎片被穩(wěn)定地回收到在軌航天器附近又可以確保回收過程的安全尤其是末時刻的安全性。

附圖說明

圖1為本發(fā)明一種基于繩系技術(shù)的空間碎片回收的控制方法所采用的彈性桿模型；

圖2為本發(fā)明一種基于繩系技術(shù)的空間碎片回收的控制方法中系統(tǒng)可穩(wěn)定回收的區(qū)間；

圖3為本發(fā)明一種基于繩系技術(shù)的空間碎片回收的控制方法中期望俯仰角的穩(wěn)定性關(guān)系圖；

圖4為本發(fā)明一種基于繩系技術(shù)的空間碎片回收的控制方法穩(wěn)定的繩系碎片回收控制中碎片在o-χη下回收軌跡圖；

圖5為本發(fā)明一種基于繩系技術(shù)的空間碎片回收的控制方法穩(wěn)定的繩系碎片回收控制中碎片在o-ζη下回收軌跡圖；

圖6為本發(fā)明一種基于繩系技術(shù)的空間碎片回收的控制方法穩(wěn)定的繩系碎片回收控制中無量綱繩長隨真近點角變化情況圖；

圖7為本發(fā)明一種基于繩系技術(shù)的空間碎片回收的控制方法穩(wěn)定的繩系碎片回收控制中無量綱繩長變化率隨真近點角變化情況圖。

具體實施方式

本發(fā)明是基于空間三維非線性時變繩系系統(tǒng)動力學方程，提出一種繩系碎片回收解析控制律，可以對徑向回收過程中系繩的面內(nèi)及面外擺動進行抑制?；诟鞣N系統(tǒng)約束條件得到期望回收傾角的范圍，最后，利用Floquet理論進一步確定能使系統(tǒng)在回收過程中保持漸近穩(wěn)定的期望回收傾角范圍。具體的方法如下。

如圖1所示，由于空間繩系碎片系統(tǒng)在回收階段系繩始終處于繃緊狀態(tài)，故考慮系繩應變，采用彈性桿模型研究該系統(tǒng)的面內(nèi)外振蕩。視質(zhì)量分別為m_S和m_D的在軌航天器S及空間碎片D為質(zhì)點、將回收長度為l的空間系繩考慮成一根無質(zhì)量彈性桿，ε表示彈性系繩的應變、EA為系繩剛度，。系統(tǒng)質(zhì)心o運行于偏心率為e的開普勒橢圓軌道，考察系統(tǒng)面內(nèi)俯仰角θ及面外滾轉(zhuǎn)角φ。

選取面內(nèi)俯仰角θ、面外滾轉(zhuǎn)角φ及回收繩長l為廣義坐標，根據(jù)第二類Lagrange方程，系統(tǒng)動力學微分方程可寫為：

式中“'”表示對時間t的導數(shù)，參數(shù)ν為真近點角，μ_E為地球引力常數(shù)，r為系統(tǒng)質(zhì)心o至地心O的距離，T＝εEA為系繩張力，Q_θ和Q_φ分別表示θ和φ兩個自由度的廣義力。同時，r(ν)＝a(1-e²)/κ，這里，a為繞地軌道長半軸，參數(shù)κ＝1+ecosν。

在不計環(huán)境攝動的情況下，通?？闪頠_θ＝0和Q_φ＝0。以l_r表示要回收系繩長度的參考長度，引入無量綱變換ξ＝l/[l_r(1+ε)]，則系統(tǒng)動力學方程(1)可改寫為無量綱形式：

式中以真近點角ν為無量綱時間，“·”表示對ν求導數(shù)，u為無量綱系繩張力。動力學微分方程組(2)可以描述回收過程中系繩的面內(nèi)外擺動，而且方程中的sinθcosθ、sinφcosφ、cos²φ等項表明空間繩系碎片系統(tǒng)具有復雜的非線性特性，當系統(tǒng)狀態(tài)遠離平衡點時其動力學行為將與線性化系統(tǒng)產(chǎn)生較大差異。同時，當系統(tǒng)偏心率不為0時，這將是一個非自治系統(tǒng)。

研究回收過程中非線性時變系統(tǒng)(2)的面內(nèi)外擺角振動抑制問題。在回收階段，要求面內(nèi)外擺角分別趨近于θ_e和φ_e，并通過繩長變化率控制實現(xiàn)回收，由于繩長已被控制律約束，故令可將方程組(2)的前兩式寫為范式

平衡位置為：

根據(jù)式(4)第一式中反正弦函數(shù)的定義域，可得到：

基于式(4)中的第一式，還可推導出無量綱系繩長度變化率滿足：

現(xiàn)在，若期望保持恒定，即可進一步推導出系繩長度變化控制律：

而此繩長度變化控制律是通過無量綱控制力u驅(qū)動的。若要求系繩保持回收，即則由式(7)可得出：

或

聯(lián)立式(5)和(8)可以得到在碎片回收過程期望平衡位置中面內(nèi)俯仰角的取值范圍：

通過以上分析發(fā)現(xiàn)，基于回收控制律(7)，存在一個平衡位置(θ_e,0,φ_e,0)能使系繩沿指定方向(θ_e,φ_e)回收，該平衡位置穩(wěn)定性須進一步討論。另外，值得注意的是，若僅以無量綱繩長ξ為控制變量，對系統(tǒng)面內(nèi)、面外擺角兩個參數(shù)同時進行振動抑制，則其將是一個欠驅(qū)動控制系統(tǒng)。

在無量綱控制力u作用下，基于繩長變化率(7)對系繩進行回收控制，即系統(tǒng)自由度ξ已被完全約束，故可依據(jù)動力學方程(2)的前兩式研究系繩回收過程中期望傾角的穩(wěn)定性。利用Floquet理論對該時變系數(shù)的非自治系統(tǒng)穩(wěn)定性進行分析，研究系統(tǒng)(2)的變分方程：

其中Jacobi矩陣：

以上Jacobi矩陣滿足Df(ν+Θ)＝Df(ν)。不難看出，其周期為Θ＝2π。特別地，在初始時刻，若積分變量矩陣Φ取為單位矩陣，即Φ|_ν＝0＝I，則變分方程(10)經(jīng)歷一個周期2π的積分迭代，可以得到單值矩陣B＝Φ|_ν＝2π。再根據(jù)Floquet理論，通過特征乘數(shù)即單值矩陣特征根λ_i(i＝1,2,3,4)可以判定原系統(tǒng)(2)的穩(wěn)定性：當所有特征根的模均小于1時，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定；只要有一個特征根的模大于1，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。

如圖2所示，這可以有效地研究在先前欠驅(qū)動回收控制律(7)作用下，非自治系統(tǒng)在期望傾角附近的穩(wěn)定性?；谝陨螰loquet理論研究表明，當控制律作用于運行區(qū)間時可以保證系統(tǒng)的回收過程漸近穩(wěn)定。

如圖3所示，通過Floquet理論可進一步研究期望面內(nèi)俯仰角θ_e的取值范圍，能夠發(fā)現(xiàn)當θ_e＞0時會導致碎片回收過程不穩(wěn)定。

因此，碎片回收過程中期望面內(nèi)俯仰角的取值范圍為

且

特別地，在偏心率e較大時，部分絕對值較小的期望俯仰角θ_e可能會引起系繩回收過程不穩(wěn)定。

值得注意的是，在施加控制約束區(qū)間Π的補集Σ上可以不必施加額外控制力，即可實現(xiàn)空間碎片的穩(wěn)定回收。如若期望進一步優(yōu)化控制效果，還可以在區(qū)間Σ上施加額外控制力，以控制系繩在區(qū)間Σ上可能產(chǎn)生的發(fā)散。

通過數(shù)值仿真研究繩系碎片系統(tǒng)在回收控制過程在平衡點附近的穩(wěn)定性。設(shè)系統(tǒng)初始時刻真近點角ν₀＝0、無量綱系繩長度ξ₀＝1、運行于偏心率e＝0.05的開普勒軌道，在解析的繩長變化率控制律(7)作用下，通過數(shù)值模擬可研究系繩回收過程的動力學行為。基于先前設(shè)定的系統(tǒng)參數(shù)取θ_e＝-10^-4rad∈(-0.0334rad,0)，同時不妨取期望的面外滾轉(zhuǎn)角φ_e＝0，依據(jù)回收控制律(7)，研究繩系碎片保持平衡位置(θ_e,0,φ_e,0)沿徑向(θ_e,φ_e)回收的動力學行為。

利用Floquet理論可先計算出在控制律(7)作用下運行于軌道區(qū)間時，系統(tǒng)單值矩陣特征根分別為λ_1,2＝0.64172±0.76633i和λ_3,4＝0.99902±0.03189i，易得出Floquet特征乘數(shù)的模為|λ_1,2,3,4|＝0.99953，它們皆小于1，故可以證明此回收控制過程是漸近穩(wěn)定的，具體數(shù)值結(jié)果如圖4～7所示。圖中展示了在無量綱軌道坐標系o′-χηζ下(即原點o′固結(jié)于在軌航天器的質(zhì)心上，χ軸指向在軌航天器運動的反方向，η軸由地球質(zhì)心O指向在軌航天器的質(zhì)心，ζ軸可由右手定則確定)碎片的回收軌跡。如圖4所示，在坐標系o′-χη下，即使存在初始攝動，繩系碎片在回收控制過程中擺動并未發(fā)散。如圖5所示，在坐標系o′-ζη下，在解析的回收控制律作用下，繩系碎片的擺動也被很好地抑制。如圖6所示，無量綱系繩長度隨真近點角ν的變化情況，可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)歷ν＝150rad的回收控制后，系繩被回收至ξ＝0.1處，此時可對碎片進行機械抓取或繩網(wǎng)捕捉等以待進行下一步處理。如圖7所示，無量綱繩長變化率隨無量綱時間的變化情況，可以看出系繩的回收速率也逐步趨于0，這可以很好地保證當碎片回收到航天器附近時系統(tǒng)避免發(fā)生劇烈碰撞，具有良好的安全性。