一種基于二階微分的修正l曲線電學(xué)層析成像重建方法
【技術(shù)領(lǐng)域】
[0001] 本發(fā)明屬于電學(xué)層析成像技術(shù)領(lǐng)域，涉及利用Tikhonov正則化方法實現(xiàn)圖像重 建，特別是基于L-曲線實現(xiàn)Tikhonov正則化系數(shù)的優(yōu)化選取。
【背景技術(shù)】
[0002] 多相流在工業(yè)生產(chǎn)與科學(xué)研宄中有著十分重要的作用，它們經(jīng)常出現(xiàn)在動力、化 工、石油、核能、冶金工程等工業(yè)過程中，涉及安全與經(jīng)濟問題，對其精確測量也給工程和科 研人員提出了挑戰(zhàn)。管道中的多相流呈現(xiàn)出的幾何與動力特征各異的流動形態(tài)稱為流型， 它可通過組分或相的形態(tài)來定性描述，兩相流中常見的流型包括泡狀流、彈狀流、環(huán)狀流 等。
[0003] 電學(xué)層析成像技術(shù)（Electrical Tomography，ET)是自上世紀(jì)80年代后期出 現(xiàn)的一種新的基于電特性敏感機理的過程層析成像技術(shù)，它的物理基礎(chǔ)是不同的媒質(zhì)具 有不同的電特性（電導(dǎo)率/介電系數(shù)/復(fù)導(dǎo)納/磁導(dǎo)率），通過判斷敏感場內(nèi)物體的電 特性分布便可推知該場中媒質(zhì)的分布情況。電學(xué)層析成像技術(shù)主要包括電阻層析成像 (Electrical Resistance Tomography, ERT)、電容層析成像（Electrical Capacitance Tomography, ECT)、電阻抗層析成像（Electrical Impedance Tomography, EIT)和電磁層析 成像（Electrical Magnetic Tomography, EMT)。電學(xué)層析成像在工業(yè)多相流及生物醫(yī)學(xué)領(lǐng) 域有廣泛的應(yīng)用前景，可以實現(xiàn)長期、持續(xù)監(jiān)測。
[0004] 電學(xué)層析成像逆問題（即圖像重建問題）求解具有非線性。通過線性化處 理，可以將問題轉(zhuǎn)化為線性逆問題求解。針對逆問題求解的不適定性，通常選取正則化 方法處理逆問題，例如W Q Yang等人2002年發(fā)表于《測量科學(xué)與技術(shù)》（Measurement Science&Technology)第14卷，第R1-R13頁，題為《電容層析成像圖像重建算法》（Image reconstruction algorithms for electrical capacitance tomography)的綜述文章介紹 的部分利用正則化實現(xiàn)圖像重建的方法。在利用正則化方法求解過程中，存在一個不可忽 略的問題就是正則化系數(shù)的選取，一個合理的正則化系數(shù)直接關(guān)系到方法是否能夠收斂到 問題的真實解以及收斂速度。
[0005] 目前針對正則化系數(shù)選取方法的研宄已經(jīng)十分廣泛，學(xué)者們提出了各種方法用于 正則化系數(shù)的選取，例如：偏差原則、廣義交叉驗證、殘差法、L-曲線法等。其中L-曲線法 作為最早提出的正則化系數(shù)選取方法之一，獲得了廣泛的應(yīng)用。
[0006] C. L. LAWSON和R. J. HANSON在1974年出版于普倫蒂斯?霍爾出版社的《最小二乘 問題的求解》（Solving Least Squares Problems) -書中第25和26章首次介紹了 L_曲 線方法；P. C. Hansen在1992年發(fā)表于《工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》（Society for Industrial and Applied Mathematics)第34卷，第561-580頁，題為《基于L-曲線法的離散不適定問題 的分析〉〉（Analysis of discrete ill - posed problems by means of the L - curve)將 L-曲線法應(yīng)用到逆問題求解中。自此展開了基于L-曲線的正則化系數(shù)選取方法的研宄。
[0007] 在傳統(tǒng)L-曲線法中，選取曲線的全局拐點對應(yīng)的正則化系數(shù)作為最優(yōu)的正則化 系數(shù)，研究全局拐點確定方法的文獻有：P. c. Hansen等人1993年發(fā)表于《工業(yè)與應(yīng)用數(shù) 學(xué)》（Society for Industrial and Applied Mathematics)第 14 卷，第 1487-1503 頁，題 為《L-曲線在離散不適定問題正則化方法中的應(yīng)用》（The use of the L-curve in the regularization of discrete ill-posed problems)的文章；J. Lian 等人 1998 年發(fā)表 于《醫(yī)學(xué)和生物工程協(xié)會第20屆國際會議》（Engineering in Medicine and Biology Society, Proceedings of the 20th Annual International Conference of the IEEE)第 4卷，第2155-2158頁，題為《一種新的實現(xiàn)皮層電位成像的正則化的方法》（A new method for implementation of regularization in cortical potential imaging)的文章； J. L Castellanos 等人 2002 年發(fā)表于《應(yīng)用數(shù)值數(shù)學(xué)》(Applied Numerical Mathematics) 第43卷，第359-373頁，題為《尋找L-曲線拐點的三角形法》（The triangle method for finding the corner of the L-curve)的文章；P.C. Hansen 等人 2007 年發(fā)表于《計算和 應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》（Journal of Computational and Applied Mathematics)第 198 卷，第 483-492頁，題為《離散L_曲線準(zhǔn)則自適應(yīng)修剪算法》（An adaptive pruning algorithm for the discrete L-curve criterion)的文章，等等。
[0008] 但是傳統(tǒng)的L-曲線法存在一定的局限性，例如M. Hanke在1996年發(fā)表于《BIT計 算數(shù)學(xué)》(BIT Numerical Mathematics)第36卷，第287-301頁，題為《不適定問題L-曲線 法的局限性》（Limitations of the L-curve Method in Ill-Posed Problems)的文章給 出了 L-曲線法局限性的證明D S. Morigi等人2001年發(fā)表于《應(yīng)用數(shù)學(xué)與計算》（Applied Mathematics and Computation)第121卷，第55-73頁，題為《欠定線性系統(tǒng)的L曲線 正則化分塊計算法》（A regularizing L-curve Lanczos method for underdetermined linear system) ;L.Reichel等人2008年發(fā)表于《計算和應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》（Journal of Computational and Applied Mathematics)第 219 卷，第 493-508 頁，題為《解決不適定問 題的新 L-曲線法》（A new L-curve for ill-posed problems) ;M.Rezghi 等人 2009 年發(fā) 表于《計算和應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》（Journal of Computational and Applied Mathematics)第 231卷，第914-924頁，題為《基于Tikhonov正則化的L-曲線法的新的變形方法》（A new variant of L-curve for Tikhonov regularization)等文章針對 L_ 曲線計算量和 L_ 曲 線的變形問題給出了相應(yīng)的改進策略。
[0009] 現(xiàn)有研宄中，以L-曲線為基礎(chǔ)進行正則化系數(shù)選取的方法及其改進方法都是 將曲線的全局拐點對應(yīng)的系數(shù)值作為優(yōu)化選取的正則化系數(shù)，但是這種選取方法應(yīng)用到 Tikhonov正則化參數(shù)選取中，再進行電學(xué)層析成像逆問題重建時，并不能