本發(fā)明屬于自動化技術(shù)領(lǐng)域，涉及一種廢塑料裂解爐爐膛溫度的分布式PID型預(yù)測函數(shù)控制方法。

背景技術(shù)：

隨著計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)展，控制作為信息處理手段的一種已不僅僅局限于集中式的控制結(jié)構(gòu)，而是更多為分布式的控制結(jié)構(gòu)所取代，給傳統(tǒng)的控制問題帶來了諸多挑戰(zhàn)。分布式預(yù)測函數(shù)控制(DPFC)作為預(yù)測控制在分布式控制結(jié)構(gòu)中的典型應(yīng)用，在有效解決復(fù)雜高維大規(guī)模系統(tǒng)在線優(yōu)化控制問題的同時(shí)，通常存在對模型要求高、穩(wěn)態(tài)性能差、不能快速抑制未知干擾等不足。因此對于模型階次，環(huán)境擾動、非線性等方面存在較大不確定性的控制系統(tǒng)，常規(guī)的DPFC方法往往難以達(dá)到預(yù)期的控制效果。而傳統(tǒng)的PID控制由于其控制結(jié)構(gòu)簡單、操作方便、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，至今仍被廣泛的應(yīng)用于實(shí)際工業(yè)過程中。如果能在實(shí)際過程中將PID控制與DPFC方法相結(jié)合，將進(jìn)一步推進(jìn)預(yù)測控制在分布式控制結(jié)構(gòu)中的發(fā)展，在保證系統(tǒng)良好控制性能的同時(shí)，有效增加了控制參數(shù)設(shè)計(jì)的靈活性。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明的目的是為了克服常規(guī)DPFC方法在應(yīng)用于在模型階次、環(huán)境擾動、非線性等方面存在不確定性較大的控制系統(tǒng)中的不足之處，提出了一種廢塑料裂解爐爐膛溫度的分布式PID型預(yù)測函數(shù)控制方法。該方法在常規(guī)的DPFC方法中引入傳統(tǒng)PID控制，在保證系統(tǒng)良好控制性能的同時(shí)有效提高了控制參數(shù)設(shè)計(jì)的自由度。本發(fā)明方法首先通過采集控制系統(tǒng)的實(shí)時(shí)階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)建立過程對象的階躍響應(yīng)模型向量，再將大規(guī)模系統(tǒng)的在線優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為各個(gè)小規(guī)模子系統(tǒng)的優(yōu)化求解問題，并把網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的每個(gè)子系統(tǒng)看作一個(gè)智能體，同時(shí)各智能體之間通過網(wǎng)絡(luò)通信實(shí)現(xiàn)信息共享，保證了系統(tǒng)整體的控制品質(zhì)。然后通過引入PID算子對DPFC方法的性能指標(biāo)進(jìn)行改進(jìn)，并依據(jù)納什最優(yōu)思想設(shè)計(jì)各智能體的PID型預(yù)測函數(shù)控制器。再將當(dāng)前時(shí)刻所得即時(shí)控制律作用于每個(gè)智能體，并將時(shí)域滾動至下一時(shí)刻，最后通過依次迭代循環(huán)完成整個(gè)大規(guī)模系統(tǒng)的優(yōu)化任務(wù)。

本發(fā)明的技術(shù)方案是通過數(shù)據(jù)采集、模型建立、預(yù)測機(jī)理、優(yōu)化等手段，確立了一種廢塑料裂解爐爐膛溫度的分布式PID型預(yù)測函數(shù)控制方法，利用該方法能很好的處理系統(tǒng)模型階次，環(huán)境擾動、非線性等方面存在不確定性較大的控制問題，并在保證良好控制品質(zhì)的同時(shí)，有效提高了控制參數(shù)設(shè)計(jì)的自由度。

本發(fā)明方法的步驟包括：

步驟1.通過廢塑料裂解爐爐膛溫度的實(shí)時(shí)階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)建立被控對象的階躍響應(yīng)模型向量，具體方法是：

1.1根據(jù)分布式控制的思想，將一個(gè)N輸入N輸出的大規(guī)模系統(tǒng)分散為N個(gè)智能體子系統(tǒng)；

1.2在穩(wěn)態(tài)工況下，以第j個(gè)智能體控制量為輸入對第i個(gè)智能體輸出量進(jìn)行階躍響應(yīng)實(shí)驗(yàn)，分別記錄第j(1≤j≤N)個(gè)輸入對第i(1≤i≤N)個(gè)輸出的階躍響應(yīng)曲線；

1.3將步驟1.2得到的階躍響應(yīng)曲線進(jìn)行濾波處理，然后擬合成一條光滑曲線，記錄光滑曲線上每個(gè)采樣時(shí)刻對應(yīng)的階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)，第一個(gè)采樣時(shí)刻為T_s，相鄰兩個(gè)采樣時(shí)刻的間隔時(shí)間為T_s，采樣時(shí)刻順序?yàn)門_s、2T_s、3T_s……；被控對象的階躍響應(yīng)將在某一個(gè)時(shí)刻t_L＝L_ijT_s后趨于平穩(wěn)，當(dāng)a_ij(t)(t>L_ij)與a_ij(L_ij)的誤差和測量誤差有相同的數(shù)量級時(shí)，即可認(rèn)為a_ij(L_ij)近似等于階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值。建立第j個(gè)輸入對第i個(gè)輸出之間的階躍響應(yīng)模型向量a_ij：

a_ij＝[a_ij(1),a_ij(2),…,a_ij(L_ij)]^T

其中a_ij(k)為t＝kT_s時(shí)刻第j個(gè)輸入對第i個(gè)輸出的階躍響應(yīng)采樣值,L_ij為第j個(gè)輸入對第i個(gè)輸出的建模時(shí)域，T為矩陣的轉(zhuǎn)置符號。

步驟2.設(shè)計(jì)第i個(gè)智能體的PID型預(yù)測函數(shù)控制器，具體方法如下：

2.1利用步驟1獲得的階躍響應(yīng)模型向量a_ij建立被控對象的階躍響應(yīng)矩陣，其形式如下：

其中A_ij為第j個(gè)輸入對第i個(gè)輸出的P×M階階躍響應(yīng)矩陣，P為預(yù)測控制的優(yōu)化時(shí)域長度，M為預(yù)測控制的控制時(shí)域長度，且L_ij＝L(1≤i≤3,1≤j≤3),M<P<L，L為系統(tǒng)的統(tǒng)一建模時(shí)域，N＝3為輸入輸出個(gè)數(shù)；

2.2根據(jù)過程對象的期望值及跟蹤特性選擇基函數(shù)，并建立第i個(gè)智能體的控制量：

其中u_i(k+j)表示第i個(gè)智能體在k+j時(shí)刻的控制量，E表示為基函數(shù)的個(gè)數(shù)，μ_i,n表示基函數(shù)的線性加權(quán)系數(shù)，f_i,kn(n＝1,2,…,E)表示第i個(gè)智能體的基函數(shù)，f_i,kn(j)表示第i個(gè)智能體的基函數(shù)f_i,kn在t＝j(luò)T_s時(shí)刻的值，T_s表示采樣周期。

2.3獲取第i個(gè)智能體在當(dāng)前k時(shí)刻的模型預(yù)測初始響應(yīng)值y_i,0(k)

首先，在k-1時(shí)刻加入各智能體的控制增量△u₁(k-1),△u₂(k-1),…,△u_n(k-1)，得到第i個(gè)智能體的模型預(yù)測值y_i,P(k-1)：

△u_i(k+j)＝u_i(k+j)-u_i(k+j-1)

結(jié)合步驟2.2進(jìn)一步推導(dǎo)可得

其中，

y_i,P(k-1)＝[y_i,1(k|k-1),y_i,1(k+1|k-1),…,y_i,1(k+L-1|k-1)]^T

y_i,0(k-1)＝[y_i,0(k|k-1),y_i,0(k+1|k-1),…,y_i,0(k+L-1|k-1)]^T,

A_ii,0＝[a_ii(1),a_ii(2),…,a_ii(L)]^T,A_ij,0＝[a_ij(1),a_ij(2),…,a_ij(L)]^T

F_i,0E＝[f_i,k1(-1),f_i,k2(-1),…,f_i,kE(-1)],μ_i(k)＝[μ_i,1(-1),μ_i,2(-1),…,μ_i,E(-1)]^T

G_ij,0＝A_ij,0F_j,0E,u_i,0＝u_i(k-2)

y_i,1(k|k-1),y_i,1(k+1|k-1),…,y_i,1(k+L-1|k-1)分別表示第i個(gè)智能體在k-1時(shí)刻對k,k+1,…,k+L-1時(shí)刻的模型預(yù)測值，y_i,0(k|k-1),y_i,0(k+1|k-1),…,y_i,0(k+L-1|k-1)分別表示第i個(gè)智能體k-1時(shí)刻對k,k+1,…,k+L-1時(shí)刻的初始預(yù)測值，A_ii,0,A_ij,0分別為第i個(gè)智能體和第j個(gè)智能體對第i個(gè)智能體的階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)建立的矩陣，u_i,0為第i個(gè)智能體k-2時(shí)刻的控制輸入；

然后可以得到第i個(gè)智能體在k時(shí)刻的模型預(yù)測誤差值e_i(k)：

e_i(k)＝y(tǒng)_i(k)-y_i,1(k|k-1)

其中y_i(k)表示在k時(shí)刻測得的第i個(gè)智能體實(shí)際輸出值；

進(jìn)一步可以得到k時(shí)刻修正后的模型輸出值y_i,cor(k)：

y_i,cor(k)＝y(tǒng)_i,0(k-1)+h*e_i(k)

其中，

y_i,cor(k)＝[y_i,cor(k|k),y_i,cor(k+1|k),…,y_i,cor(k+L-1|k)]^T,h＝[1,α,…,α]^T

y_i,cor(k|k),y_i,cor(k+1|k),…,y_i,cor(k+L-1|k)分別表示第i個(gè)智能體k時(shí)刻對k,k+1,…,k+L-1時(shí)刻預(yù)測模型的修正值，h為誤差補(bǔ)償?shù)臋?quán)向量，α為誤差校正系數(shù)；

最后得到第i個(gè)智能體在k時(shí)刻的模型預(yù)測的初始響應(yīng)值y_i,0(k)：

y_i,0(k)＝Sy_i,cor(k)

其中，S為L×L階的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，

2.4獲取第i個(gè)智能體在M個(gè)連續(xù)的控制增量作用下的預(yù)測輸出值y_i,PM，具體方法是：

其中，

y_i,PM(k)＝[y_i,M(k+1|k),y_i,M(k+2|k),…,y_i,M(k+P|k)]^T

y_i,P0(k)＝[y_i,0(k+1|k),y_i,0(k+2|k),…,y_i,0(k+P|k)]^T

A0_i,P0＝[A0_i1,P0,A0_i2,P0,…,A0_iN,P0]^T,A0_ij,P0＝[a_ij(1),a_ij(2),…,a_ij(M),…,a_ij(P)]^T

u_P0＝[u_1,P0,u_2,P0,…,u_N,P0]^T,μ_i(k)＝[μ_i,1(k),μ_i,2(k),…,μ_i,E(k)]^T

G_ij(k)＝A_ijF_j,E

y_i,P0(k)是y_i,0(k)的前P項(xiàng)，y_i,0(k+1|k),y_i,0(k+2|k),…,y_i,0(k+P|k)分別表示第i個(gè)智能體k時(shí)刻對k+1,k+2,…,k+P時(shí)刻的初始預(yù)測輸出值；

2.5選取第i個(gè)智能體的性能指標(biāo)J_i(k)，形式如下：

其中，

w_i(k)＝[ω_i(k+1),ω_i(k+2),…,ω_i(k+P)]^T

ω_i(k+ε)＝λ^εy_i(k)+(1-λ^ε)c(k)(ε＝1,2,…,P)

△w_i(k)＝[△ω_i(k+1),△ω_i(k+2),…,ω_i(k+P)]^T

△y_i,PM(k)＝[△y_i,M(k+1|k),△y_i,M(k+2|k),…,△y_i,M(k+P|k)]^T

△²w_i(k)＝[△²ω_i(k+1),△²ω_i(k+2),…,△²ω_i(k+P)]^T

△²y_i,PM(k)＝[△²y_i,M(k+1|k),△²y_i,M(k+2|k),…,△²y_i,M(k+P|k)]^T

△ω_i(k+ε)＝ω_i(k+ε)-ω_i(k+ε-1)

△y_i,M(k+ε|k)＝y(tǒng)_i,M(k+ε|k)-y_i,M(k+ε-1|k)

△²ω_i(k+ε)＝△ω_i(k+ε)-△ω_i(k+ε-1)

△²y_i,M(k+ε|k)＝△y_i,M(k+ε|k)-△y_i,M(k+ε-1|k)

分別為第i個(gè)智能體的比例系數(shù)矩陣、積分系數(shù)矩陣、微分系數(shù)矩陣，為第i個(gè)智能體的控制加權(quán)系數(shù)矩陣，ω_i(k+ε)為第i個(gè)智能體在k+ε時(shí)刻的參考軌跡，y_i(k)為k時(shí)刻第i個(gè)智能體的實(shí)際輸出，c(k)為k時(shí)刻第i個(gè)智能體的期望輸出，λ為參考軌跡的柔化因子。

2.6對步驟2.5中的性能指標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，形式如下：

進(jìn)一步得到

同理可得

其中

引入矩陣

進(jìn)而有

進(jìn)一步可將性能指標(biāo)變換為

其中，

2.7依據(jù)納什最優(yōu)的概念，對性能指標(biāo)求極值，可以得到形式如下的納什最優(yōu)解：

其中，

2.8重復(fù)步驟2.2至步驟2.7，可以得到第i個(gè)智能體在k時(shí)刻的新一輪迭代最優(yōu)解為：

進(jìn)一步得到k時(shí)刻整個(gè)系統(tǒng)的納什最優(yōu)解：

μ^l+1(k)＝D₁[w(k)-Y_P0(k)+A0_i,P0u_P0]+D₀μ^l(k)

其中：

ω(k)＝[ω₁(k),ω₂(k),…,ω_n(k)]^T，Y_P0(k)＝[y_1,P0(k),y_2,P0(k),…,y_n,P0(k)]^T

2.9由第i個(gè)智能體k時(shí)刻的納什最優(yōu)解得到最優(yōu)控制量u_i(k)，并將其作用于第i個(gè)智能體；

2.10在下一時(shí)刻，重復(fù)步驟2.2到2.9繼續(xù)求解第i個(gè)智能體的納什最優(yōu)解進(jìn)而得到整個(gè)大規(guī)模系統(tǒng)的最優(yōu)解μ^*(k+1)，并依次循環(huán)。

本發(fā)明提出了一種廢塑料裂解爐爐膛溫度的分布式PID型預(yù)測函數(shù)控制方法。該方法通過采集系統(tǒng)的實(shí)時(shí)階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)建立被控對象的階躍響應(yīng)模型向量，并依據(jù)納什優(yōu)化的思想設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)的分布式預(yù)測函數(shù)控制器，在保證系統(tǒng)整體控制品質(zhì)的同時(shí)，有效彌補(bǔ)了傳統(tǒng)DPFC方法的不足，并提高了控制參數(shù)設(shè)計(jì)的自由度。

具體實(shí)施方式

以廢塑料裂解爐爐膛溫度控制為例：

廢塑料裂解爐爐膛溫度控制系統(tǒng)是一個(gè)典型的多變量含滯后的耦合過程，調(diào)節(jié)手段采用燃燒火嘴開度。

步驟1.通過廢塑料裂解爐爐膛溫度控制系統(tǒng)的實(shí)時(shí)階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)建立爐膛溫度對象的階躍響應(yīng)模型向量，具體方法是：

1.1根據(jù)分布式控制的思想，將一個(gè)N輸入N輸出的大規(guī)模系統(tǒng)分散為N個(gè)爐膛子系統(tǒng)；

1.2在穩(wěn)態(tài)工況下，以第j個(gè)爐膛燃燒火嘴開度為輸入對第i個(gè)爐膛輸出的溫度進(jìn)行階躍響應(yīng)實(shí)驗(yàn)，分別記錄第j(1≤j≤N)個(gè)輸入對第i(1≤i≤N)個(gè)輸出的階躍響應(yīng)曲線；

1.3將步驟1.2得到的階躍響應(yīng)曲線進(jìn)行濾波處理，然后擬合成一條光滑曲線，記錄光滑曲線上每個(gè)采樣時(shí)刻對應(yīng)的階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)，第一個(gè)采樣時(shí)刻為T_s，相鄰兩個(gè)采樣時(shí)刻的間隔時(shí)間為T_s，采樣時(shí)刻順序?yàn)門_s、2T_s、3T_s……；廢塑料裂解爐爐膛溫度對象的階躍響應(yīng)將在某一個(gè)時(shí)刻t_L＝L_ijT_s后趨于平穩(wěn)，當(dāng)a_ij(t)(t>L_ij)與a_ij(L_ij)的誤差和測量誤差有相同的數(shù)量級時(shí)，即可認(rèn)為a_ij(L_ij)近似等于階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值。建立第j個(gè)輸入對第i個(gè)輸出之間的階躍響應(yīng)模型向量a_ij：

a_ij＝[a_ij(1),a_ij(2),…,a_ij(L_ij)]^T

其中a_ij(k)為t＝kT_s時(shí)刻第j個(gè)輸入對第i個(gè)輸出的階躍響應(yīng)采樣值,L_ij為第j個(gè)輸入對第i個(gè)輸出的建模時(shí)域，T為矩陣的轉(zhuǎn)置符號。

步驟2.設(shè)計(jì)第i個(gè)爐膛的PID型預(yù)測函數(shù)控制器，具體方法如下：

2.1利用步驟1獲得的階躍響應(yīng)模型向量a_ij建立廢塑料裂解爐爐膛溫度對象的階躍響應(yīng)矩陣，其形式如下：

其中A_ij為第j個(gè)輸入對第i個(gè)輸出的P×M階階躍響應(yīng)矩陣，P為預(yù)測控制的優(yōu)化時(shí)域長度，M為預(yù)測控制的控制時(shí)域長度，且L_ij＝L(1≤i≤3,1≤j≤3),M<P<L，L為系統(tǒng)的統(tǒng)一建模時(shí)域，N＝3為輸入輸出個(gè)數(shù)；

2.2根據(jù)過程對象的期望值及跟蹤特性選擇基函數(shù)，并建立第i個(gè)爐膛的控制量：

其中u_i(k+j)表示第i個(gè)爐膛在k+j時(shí)刻的燃燒火嘴開度，E表示為基函數(shù)的個(gè)數(shù)，μ_i,n表示基函數(shù)的線性加權(quán)系數(shù)，f_i,kn(n＝1,2,…,E)表示第i個(gè)爐膛的基函數(shù)，f_i,kn(j)表示第i個(gè)爐膛的基函數(shù)f_i,kn在t＝j(luò)T_s時(shí)刻的值，T_s表示采樣周期。

2.3獲取第i個(gè)爐膛在當(dāng)前k時(shí)刻的模型預(yù)測初始響應(yīng)值y_i,0(k)

首先，在k-1時(shí)刻加入各爐膛的控制增量△u₁(k-1),△u₂(k-1),…,△u_n(k-1)，得到第i個(gè)爐膛的模型預(yù)測值y_i,P(k-1)：

△u_i(k+j)＝u_i(k+j)-u_i(k+j-1)

結(jié)合步驟2.2進(jìn)一步推導(dǎo)可得

其中，

y_i,P(k-1)＝[y_i,1(k|k-1),y_i,1(k+1|k-1),…,y_i,1(k+L-1|k-1)]^T

y_i,0(k-1)＝[y_i,0(k|k-1),y_i,0(k+1|k-1),…,y_i,0(k+L-1|k-1)]^T,

A_ii,0＝[a_ii(1),a_ii(2),…,a_ii(L)]^T,A_ij,0＝[a_ij(1),a_ij(2),…,a_ij(L)]^T

F_i,0E＝[f_i,k1(-1),f_i,k2(-1),…,f_i,kE(-1)],μ_i(k)＝[μ_i,1(-1),μ_i,2(-1),…,μ_i,E(-1)]^T

G_ij,0＝A_ij,0F_j,0E,u_i,0＝u_i(k-2)

y_i,1(k|k-1),y_i,1(k+1|k-1),…,y_i,1(k+L-1|k-1)分別表示第i個(gè)爐膛在k-1時(shí)刻對k,k+1,…,k+L-1時(shí)刻的模型預(yù)測值，y_i,0(k|k-1),y_i,0(k+1|k-1),…,y_i,0(k+L-1|k-1)分別表示第i個(gè)爐膛k-1時(shí)刻對k,k+1,…,k+L-1時(shí)刻的初始預(yù)測值，A_ii,0,A_ij,0分別為第i個(gè)爐膛和第j個(gè)爐膛對第i個(gè)爐膛的階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)建立的矩陣，u_i,0為第i個(gè)爐膛k-2時(shí)刻的控制輸入；

然后可以得到第i個(gè)爐膛在k時(shí)刻的模型預(yù)測誤差值e_i(k)：

e_i(k)＝y(tǒng)_i(k)-y_i,1(k|k-1)

其中y_i(k)表示在k時(shí)刻測得的第i個(gè)爐膛實(shí)際輸出值；

進(jìn)一步可以得到k時(shí)刻修正后的模型輸出值y_i,cor(k)：

y_i,cor(k)＝y(tǒng)_i,0(k-1)+h*e_i(k)

其中，

y_i,cor(k)＝[y_i,cor(k|k),y_i,cor(k+1|k),…,y_i,cor(k+L-1|k)]^T,h＝[1,α,…,α]^T

y_i,cor(k|k),y_i,cor(k+1|k),…,y_i,cor(k+L-1|k)分別表示第i個(gè)爐膛k時(shí)刻對k,k+1,…,k+L-1時(shí)刻預(yù)測模型的修正值，h為誤差補(bǔ)償?shù)臋?quán)向量，α為誤差校正系數(shù)；

最后得到第i個(gè)爐膛在k時(shí)刻的模型預(yù)測的初始響應(yīng)值y_i,0(k)：

y_i,0(k)＝Sy_i,cor(k)

其中，S為L×L階的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，

2.4獲取第i個(gè)爐膛在M個(gè)連續(xù)的控制增量作用下的預(yù)測輸出值y_i,PM，具體方法是：

其中，

y_i,PM(k)＝[y_i,M(k+1|k),y_i,M(k+2|k),…,y_i,M(k+P|k)]^T

y_i,P0(k)＝[y_i,0(k+1|k),y_i,0(k+2|k),…,y_i,0(k+P|k)]^T

A0_i,P0＝[A0_i1,P0,A0_i2,P0,…,A0_iN,P0]^T,A0_ij,P0＝[a_ij(1),a_ij(2),…,a_ij(M),…,a_ij(P)]^T

u_P0＝[u_1,P0,u_2,P0,…,u_N,P0]^T,μ_i(k)＝[μ_i,1(k),μ_i,2(k),…,μ_i,E(k)]^T

G_ij(k)＝A_ijF_j,E

y_i,P0(k)是y_i,0(k)的前P項(xiàng)，y_i,0(k+1|k),y_i,0(k+2|k),…,y_i,0(k+P|k)分別表示第i個(gè)爐膛k時(shí)刻對k+1,k+2,…,k+P時(shí)刻的初始預(yù)測輸出值；

2.5選取第i個(gè)爐膛的性能指標(biāo)J_i(k)，形式如下：

其中，

w_i(k)＝[ω_i(k+1),ω_i(k+2),…,ω_i(k+P)]^T

ω_i(k+ε)＝λ^εy_i(k)+(1-λ^ε)c(k)(ε＝1,2,…,P)

△w_i(k)＝[△ω_i(k+1),△ω_i(k+2),…,ω_i(k+P)]^T

△y_i,PM(k)＝[△y_i,M(k+1|k),△y_i,M(k+2|k),…,△y_i,M(k+P|k)]^T

△²w_i(k)＝[△²ω_i(k+1),△²ω_i(k+2),…,△²ω_i(k+P)]^T

△²y_i,PM(k)＝[△²y_i,M(k+1|k),△²y_i,M(k+2|k),…,△²y_i,M(k+P|k)]^T

△ω_i(k+ε)＝ω_i(k+ε)-ω_i(k+ε-1)

△y_i,M(k+ε|k)＝y(tǒng)_i,M(k+ε|k)-y_i,M(k+ε-1|k)

△²ω_i(k+ε)＝△ω_i(k+ε)-△ω_i(k+ε-1)

△²y_i,M(k+ε|k)＝△y_i,M(k+ε|k)-△y_i,M(k+ε-1|k)

分別為第i個(gè)爐膛的比例系數(shù)矩陣、積分系數(shù)矩陣、微分系數(shù)矩陣，為第i個(gè)爐膛的控制加權(quán)系數(shù)矩陣，ω_i(k+ε)為第i個(gè)爐膛在k+ε時(shí)刻的參考軌跡，y_i(k)為k時(shí)刻第i個(gè)爐膛的實(shí)際輸出，c(k)為k時(shí)刻第i個(gè)爐膛的期望輸出，λ為參考軌跡的柔化因子。

2.6對步驟2.5中的性能指標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，形式如下：

進(jìn)一步得到

同理可得

其中

引入矩陣

進(jìn)而有

進(jìn)一步可將性能指標(biāo)變換為

其中，

2.7依據(jù)納什最優(yōu)的概念，對性能指標(biāo)求極值，可以得到形式如下的納什最優(yōu)解：

其中，

2.8重復(fù)步驟2.2至步驟2.7，可以得到第i個(gè)爐膛在k時(shí)刻的新一輪迭代最優(yōu)解為：

進(jìn)一步得到k時(shí)刻整個(gè)系統(tǒng)的納什最優(yōu)解：

μ^l+1(k)＝D₁[w(k)-Y_P0(k)+A0_i,P0u_P0]+D₀μ^l(k)

其中：

ω(k)＝[ω₁(k),ω₂(k),…,ω_n(k)]^T，Y_P0(k)＝[y_1,P0(k),y_2,P0(k),…,y_n,P0(k)]^T

2.9由第i個(gè)爐膛k時(shí)刻的納什最優(yōu)解得到最優(yōu)控制量u_i(k)，并將其作用于第i個(gè)爐膛；

2.10在下一時(shí)刻，重復(fù)步驟2.2到2.9繼續(xù)求解第i個(gè)爐膛的納什最優(yōu)解進(jìn)而得到整個(gè)分布式系統(tǒng)的最優(yōu)解μ^*(k+1)，并依次循環(huán)。