本發(fā)明涉及磁懸浮轉(zhuǎn)子諧波電流抑制的技術(shù)領(lǐng)域，具體涉及一種基于復(fù)合分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器的磁懸浮轉(zhuǎn)子諧波電流抑制方法，用于對磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中的諧波電流進(jìn)行抑制，為磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在“超靜”衛(wèi)星平臺上的應(yīng)用提供技術(shù)支持。

背景技術(shù)：

旋轉(zhuǎn)設(shè)備中的周期性擾動是一個廣受關(guān)注的問題。抑制周期性擾動的基本方法是通過機(jī)械方式實(shí)現(xiàn)的，例如使用自動平衡機(jī)來減小周期性不平衡質(zhì)量，采用隔振裝置阻止擾動的傳遞等。但是機(jī)械式的擾動抑制方法存在耗時并且成本較高的缺點(diǎn)，特別是當(dāng)動力學(xué)模型發(fā)生變化時其抑制效果有限。與傳統(tǒng)的機(jī)械設(shè)備相比，磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)由于具有無摩擦、無需潤滑以及主動振動可控等顯著優(yōu)點(diǎn)，受到了學(xué)術(shù)界越來越多的關(guān)注與研究，同時它在透平機(jī)、分子泵以及磁懸浮控制力矩陀螺等高速旋轉(zhuǎn)設(shè)備中也得到了日益廣泛的應(yīng)用。

在磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中存在兩個主要的引起周期性擾動的源頭，包括轉(zhuǎn)子質(zhì)量不平衡和傳感器諧波。轉(zhuǎn)子質(zhì)量不平衡是由轉(zhuǎn)子慣性軸和幾何軸的偏差造成的，并且會在磁軸承線圈中產(chǎn)生與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速同頻的不平衡電流；傳感器諧波主要來自于傳感器的不均勻性檢測誤差，它會在線圈電流中引發(fā)倍頻周期性擾動。同頻電流和倍頻電流統(tǒng)稱為諧波電流。進(jìn)而言之，諧波電流會導(dǎo)致磁懸浮轉(zhuǎn)子產(chǎn)生諧波振動，并且振動力會直接傳遞到基座上。隨著轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的上升，尤其是當(dāng)諧波成分接近轉(zhuǎn)子殼體的固有模態(tài)時，會引起共振，振動幅值急劇增加，嚴(yán)重影響“超靜”衛(wèi)星平臺的高精度、高性能使用。

在磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，諧波振動抑制一般可以分為零電流、零位移與零振動三類。在綜合考慮計算量、功率損耗和抑制效果的基礎(chǔ)上，本發(fā)明對磁懸浮轉(zhuǎn)子的諧波電流加以抑制，從而達(dá)到消除諧波振動的效果。根據(jù)抑制頻率成分的不同，現(xiàn)有技術(shù)主要可以分為以下兩類：第一類算法只能抑制具有單一頻率成分，若要同時抑制不同頻率的振動則需要此類算法的疊加，如并聯(lián)多個諧振控制器或多個LMS(Least Mean Square,LMS)濾波器等。該類算法計算量大，且不同控制器之間收斂速度不一致，設(shè)計較復(fù)雜。第二類算法只需一個控制器便可實(shí)現(xiàn)對不同頻率諧波的同時抑制，如重復(fù)控制器、頻域LMS算法等。重復(fù)控制器具有計算量小、結(jié)構(gòu)簡單和易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，但現(xiàn)有的應(yīng)用于磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的重復(fù)控制器只能在特定頻率下實(shí)現(xiàn)所有階次諧波成分的等效抑制，且諧波電流存在超調(diào)，收斂速度受限。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明的目的為：克服現(xiàn)有技術(shù)的不足，發(fā)明一種基于復(fù)合分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器的磁懸浮轉(zhuǎn)子諧波電流抑制方法，通過控制增益的分配、分?jǐn)?shù)延時濾波器系數(shù)的在線更新以及相移陷波器的額外抑制改善諧波電流抑制效果。

本發(fā)明采用的技術(shù)方案為：一種基于復(fù)合分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器的磁懸浮轉(zhuǎn)子諧波電流抑制方法，包括以下步驟：

步驟(1)建立含質(zhì)量不平衡和傳感器諧波的磁懸浮轉(zhuǎn)子動力學(xué)模型

設(shè)磁軸承定子的幾何中心為W，轉(zhuǎn)子的幾何中心為O，轉(zhuǎn)子的質(zhì)心為C，以W為中心建立慣性坐標(biāo)系WXY，(x,y)表示轉(zhuǎn)子幾何中心O在慣性坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值，由于轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)關(guān)于軸向?qū)ΨQ，其在X、Y方向的數(shù)學(xué)模型相同，故在X方向上對其徑向諧波擾動來源以及控制算法進(jìn)行分析與研究；

根據(jù)牛頓第二定律，磁懸浮轉(zhuǎn)子在X方向的動力學(xué)方程可寫為：

其中，m表示轉(zhuǎn)子質(zhì)量，表示轉(zhuǎn)子在X方向的加速度，f_x表示磁軸承在X方向的軸承力，f_u表示轉(zhuǎn)子的不平衡力，可寫為：

f_u＝meΩ²cos(Ωt+φ)

其中,e表示轉(zhuǎn)子幾何中心與質(zhì)心之間的偏差，Ω表示轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速，t表示時間，φ表示轉(zhuǎn)子不平衡質(zhì)量的初始相位；

當(dāng)轉(zhuǎn)子在磁軸承中心位置懸浮時，磁軸承的電磁力可近似表示為線性化方程：

f_x≈K_xx+K_ii_x

其中,K_x和K_i分別為磁軸承位移剛度和電流剛度，x為轉(zhuǎn)子幾何中心的真實(shí)坐標(biāo)值，i_x為磁軸承線圈電流；

在實(shí)際轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，由于受到機(jī)械加工精度和材料不均勻因素的影響，傳感器諧波不可避免，位移傳感器實(shí)際測得X方向的轉(zhuǎn)子位移x_s(t)可表示為：

x_s(t)＝x+x_d(t)

其中，x_d(t)為傳感器諧波，可表示為：

其中,c_l表示諧波系數(shù)，l表示諧波次數(shù)，p表示最高諧波次數(shù)，θ_l表示諧波初始相位；

將i_x、x_d(t)、f_u依次進(jìn)行拉普拉斯變換得i_x(s)、x_d(s)、f_u(s)，則磁軸承線圈電流i_x(s)的傳遞函數(shù)可表示為：

其中，G_c(s)是反饋控制器的傳遞函數(shù)，G_w(s)是功放環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，G_p(s)是磁懸浮轉(zhuǎn)子的傳遞函數(shù)，R(s)是參考輸入信號，K_s是傳感器增益；

步驟(2)復(fù)合分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器的設(shè)計

以諧波電流為控制目標(biāo)，將諧波電流輸入至復(fù)合分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器，復(fù)合分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器的輸出反饋至原控制系統(tǒng)的功放輸入端，復(fù)合分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器的工作過程如下：

將諧波電流作為復(fù)合分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器的輸入信號，復(fù)合分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器由雙模分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器和相移陷波器并聯(lián)構(gòu)成，雙模分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器包含奇、偶次諧波抑制兩條支路，基于內(nèi)模原理實(shí)現(xiàn)輸入信號中諧波成分的消除，并通過分配控制增益的取值著重抑制奇、偶次諧波，定義N為采樣頻率與諧波電流基頻的比值，則奇、偶次諧波抑制支路分別含有N/2個延時單元，在實(shí)際磁軸承控制系統(tǒng)中，采樣頻率固定，N/2一般不為整數(shù)，采用分?jǐn)?shù)延時濾波器代替N/2的小數(shù)部分，并通過分?jǐn)?shù)延時濾波器系數(shù)的在線更新保證不同定轉(zhuǎn)速下的諧波電流抑制精度，此外，在雙模分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，將相移陷波器和雙模分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器并聯(lián)使用，對諧波電流中的主要成分即基頻電流進(jìn)行額外抑制，從而提高復(fù)合分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器的收斂性能。

進(jìn)一步的，所述的步驟(2)雙模分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器的傳遞函數(shù)為：

式中，k_o為奇次諧波控制增益，k_e為偶次諧波控制增益，T_s為系統(tǒng)采樣時間，表示N/2個相串聯(lián)的延時單元；

在實(shí)際工程應(yīng)用中，系統(tǒng)采樣頻率固定，N/2一般為分?jǐn)?shù)，令Z表示N/2的整數(shù)部分，F(xiàn)表示N/2的小數(shù)部分且0<F<1，則雙模分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器的傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化如下：

其中整數(shù)延時環(huán)節(jié)能夠直接實(shí)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)延時環(huán)節(jié)由分?jǐn)?shù)延時濾波器代替實(shí)現(xiàn)，并通過其系數(shù)的在線更新提高諧波電流的抑制精度。

進(jìn)一步的，所述的步驟(2)雙模分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器控制增益取值的分配原則為：

其中k_RC為奇次諧波控制增益k_o與偶次諧波控制增益k_e之和，為恒定值，由雙模分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器的穩(wěn)定性條件確定，ΣM_o表示所有奇次諧波的幅值之和，ΣM_e表示所有偶次諧波的幅值之和。

本發(fā)明基本原理：對于磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)來說，高頻振動會降低“超靜”衛(wèi)星平臺的指向精度和穩(wěn)定度，必須加以抑制。由于質(zhì)量不平衡和傳感器諧波的存在，磁軸承線圈電流中含有諧波成分即諧波電流，進(jìn)而在磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中產(chǎn)生諧波振動，因此可對諧波電流進(jìn)行抑制以減小諧波振動。本發(fā)明通過建立含質(zhì)量不平衡和傳感器諧波的磁懸浮轉(zhuǎn)子動力學(xué)模型，分析諧波電流，提出一種基于復(fù)合分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器的磁懸浮轉(zhuǎn)子諧波電流抑制方法。本發(fā)明直接以諧波電流為控制目標(biāo)，將諧波電流輸入至復(fù)合分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器，復(fù)合分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器的輸出反饋至原控制系統(tǒng)的功放輸入端。復(fù)合分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器由雙模分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器和相移陷波器并聯(lián)構(gòu)成。雙模分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器基于內(nèi)模原理消除輸入信號中的諧波成分，并通過分配其控制增益的取值著重抑制奇、偶次諧波，增強(qiáng)動態(tài)響應(yīng)性能。采用分?jǐn)?shù)延時濾波器代替分?jǐn)?shù)延時環(huán)節(jié)，改善了諧波電流的抑制精度。根據(jù)最小增益理論，本發(fā)明在保證重復(fù)控制器穩(wěn)定工作的基礎(chǔ)上引入相移陷波器對基頻電流進(jìn)行額外抑制，從而有效地減小電流超調(diào)并加快諧波收斂速度，最終實(shí)現(xiàn)定轉(zhuǎn)速下磁懸浮轉(zhuǎn)子諧波電流的抑制。

本發(fā)明與現(xiàn)有技術(shù)相比的優(yōu)點(diǎn)在于：

(1)本發(fā)明提出一種基于復(fù)合分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器的磁懸浮轉(zhuǎn)子諧波電流抑制方法，引入雙模分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器，能夠減少系統(tǒng)延時時間，提高定轉(zhuǎn)速下磁懸浮轉(zhuǎn)子諧波電流的抑制精度，同時通過分配控制增益的取值，可對奇、偶次諧波進(jìn)行著重抑制，增強(qiáng)動態(tài)響應(yīng)性能。

(2)本發(fā)明將雙模分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器和相移陷波器并聯(lián)使用，通過相移陷波器對基頻電流的額外抑制，從而改善諧波電流的收斂速度，減小超調(diào)。

附圖說明

圖1為本發(fā)明的流程圖；

圖2為磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖，其中1為徑軸一體位移傳感器，2為徑向磁軸承，3為軸向磁軸承，4為慣性軸，5為幾何軸，6為磁懸浮轉(zhuǎn)子；

圖3為X方向磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)框圖；

圖4為Y方向磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)框圖；

圖5為X方向復(fù)合分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器系統(tǒng)框圖；

圖6為Y方向復(fù)合分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器系統(tǒng)框圖；

圖7為拉格朗日插值多項(xiàng)式幅頻特性曲線，其中，圖7a、圖7b分別為n＝2和n＝3時拉格朗日插值多項(xiàng)式幅頻特性曲線。

具體實(shí)施方式

下面結(jié)合附圖以及具體實(shí)例進(jìn)一步說明本發(fā)明。

如圖1所示，一種基于復(fù)合分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器的磁懸浮轉(zhuǎn)子諧波電流抑制方法的實(shí)施過程是：首先建立含質(zhì)量不平衡和傳感器諧波的磁懸浮轉(zhuǎn)子動力學(xué)模型，然后設(shè)計一種基于復(fù)合分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器的磁懸浮轉(zhuǎn)子諧波電流抑制方法。

(1)建立含質(zhì)量不平衡和傳感器諧波的磁懸浮轉(zhuǎn)子動力學(xué)模型

磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示。設(shè)磁軸承定子的幾何中心為W，轉(zhuǎn)子的幾何中心為O，轉(zhuǎn)子的質(zhì)心為C，以W為中心建立慣性坐標(biāo)系WXY，(x,y)表示轉(zhuǎn)子幾何中心O在慣性坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值，

根據(jù)牛頓第二定律，磁懸浮轉(zhuǎn)子在徑向的動力學(xué)方程可寫為：

其中，m表示轉(zhuǎn)子質(zhì)量，分別表示轉(zhuǎn)子在X、Y方向的加速度，f_x、f_y分別表示磁軸承在X、Y方向的軸承力，f_u表示轉(zhuǎn)子的不平衡力，可寫為：

f_u＝meΩ²cos(Ωt+φ)

其中,e表示轉(zhuǎn)子幾何中心與質(zhì)心之間的偏差，Ω表示轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速，t表示時間，φ表示轉(zhuǎn)子不平衡質(zhì)量的初始相位。

當(dāng)轉(zhuǎn)子在磁軸承中心位置懸浮時，磁軸承的電磁力可近似表示為線性化方程：

f_x≈K_xx+K_ii_x

f_y≈K_yy+K_ii_y

其中,K_x和K_y分別為磁軸承在X、Y方向的位移剛度，K_i為電流剛度，x、y分別為轉(zhuǎn)子幾何中心在X、Y方向的真實(shí)坐標(biāo)值，i_x、i_y為磁軸承線圈電流。

在實(shí)際轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，由于受到機(jī)械加工精度和材料不均勻因素的影響，傳感器諧波不可避免，位移傳感器實(shí)際測得X、Y方向的轉(zhuǎn)子位移x_s(t)、y_s(t)分別為：

x_s(t)＝x+x_d(t)

y_s(t)＝y(tǒng)+y_d(t)

其中，x_d(t)與y_d(t)為傳感器諧波，可表示為：

其中,c_l表示諧波系數(shù)，l表示諧波次數(shù)，p表示最高諧波次數(shù)，θ_l表示諧波初始相位。

將i_x、i_y、x_d(t)、y_d(t)、f_u依次進(jìn)行拉普拉斯變換得i_x(s)、i_y(s)、x_d(s)、y_d(s)、f_u(s)，圖3、圖4分別為X、Y方向的磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)框圖，則磁軸承線圈電流i_x(s)、i_y(s)的傳遞函數(shù)可分別表示為：

其中，G_c(s)是反饋控制器的傳遞函數(shù)，G_w(s)是功放環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，G_p(s)是磁懸浮轉(zhuǎn)子的傳遞函數(shù)，R(s)是參考輸入信號，K_s是傳感器增益。

從上式可以看出，轉(zhuǎn)子質(zhì)量不平衡以及傳感器諧波會使磁軸承線圈產(chǎn)生諧波電流，諧波電流不僅會增加磁軸承功耗，還會引起諧波振動，并通過磁軸承直接傳遞給航天器，影響航天器姿態(tài)控制的精度，因此需要加以抑制。

(2)設(shè)計基于復(fù)合分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器的磁懸浮轉(zhuǎn)子諧波電流抑制方法

針對步驟(1)磁軸承線圈中存在諧波電流這一問題，本發(fā)明采用一種基于復(fù)合分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器的方法對諧波電流進(jìn)行抑制。X、Y方向的復(fù)合分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器系統(tǒng)框圖分別如圖5、圖6所示，復(fù)合分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器G_HR(s)由雙模分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器G_DR(s)和相移陷波器G_NF(s)并聯(lián)構(gòu)成。雙模分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器包含奇、偶次諧波抑制兩條支路，基于內(nèi)模原理可消除輸入信號中的諧波成分，并可通過分配控制增益k_o、k_e的取值著重抑制奇、偶次諧波，增強(qiáng)動態(tài)響應(yīng)性能。N為采樣頻率與諧波電流基頻的比值，T_s為采樣周期，為延時環(huán)節(jié)，其小數(shù)部分由分?jǐn)?shù)延時濾波器代替得到；Q(s)為低通濾波器的傳遞函數(shù)，C(s)為相位補(bǔ)償器的傳遞函數(shù)；N_f(s)為跟蹤濾波器的傳遞函數(shù)，ε為反饋系數(shù)。采用基于復(fù)合分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器的方法，一方面可以有針對性地消除奇、偶次諧波，并提高定轉(zhuǎn)速下諧波電流的抑制精度；另一方面可以實(shí)現(xiàn)對基頻電流的額外抑制，減小電流超調(diào)，加快諧波收斂速度。

以參考輸入信號R(s)和等效諧波擾動信號D_x(s)、D_y(s)作為輸入，磁軸承線圈電流作為輸出的靈敏度函數(shù)S_1x(s)、S_1y(s)可分別表示為：

其中，表示除去復(fù)合分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器時以磁軸承線圈電流作為輸出的靈敏度函數(shù)。從上式可以看出，對于諧波成分而言存在因此，采用復(fù)合分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器能夠?qū)崿F(xiàn)定轉(zhuǎn)速下磁懸浮轉(zhuǎn)子諧波電流的抑制。

1.雙模分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器分析

在雙模分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器中，由于奇、偶次諧波抑制支路同時運(yùn)行，因此與現(xiàn)有重復(fù)控制器相比其時滯減少一半。同時引入分?jǐn)?shù)延時濾波器代替分?jǐn)?shù)延時環(huán)節(jié)，提高了其定轉(zhuǎn)速下諧波電流的抑制精度。雙模分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器的通用表達(dá)式如下：

雙模分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器為多種重復(fù)控制器提供了一個通用結(jié)構(gòu)，包括傳統(tǒng)重復(fù)控制器(k_o＝k_e)，奇次諧波重復(fù)控制器(k_e＝0)以及偶次諧波重復(fù)控制器(k_o＝0)等。

對于參數(shù)固定的磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)而言，奇次諧波控制增益k_o與偶次諧波控制增益k_e之和k_RC保持恒定，而各支路諧波電流的收斂速度與其控制增益的大小成正比。為進(jìn)一步改善諧波電流抑制效果，增強(qiáng)系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)性能，在不同定轉(zhuǎn)速下可根據(jù)系統(tǒng)奇、偶次諧波的幅值分配控制增益的取值，即

其中ΣM_o表示所有奇次諧波的幅值之和，ΣM_e表示所有偶次諧波的幅值之和。

2.分?jǐn)?shù)延時環(huán)節(jié)分析

在采樣頻率固定的情況下，N/2一般不為整數(shù)。令N/2＝Z+F即其中Z表示N/2的整數(shù)部分，F(xiàn)表示N/2的小數(shù)部分且0<F<1。由于在工程應(yīng)用中分?jǐn)?shù)延時環(huán)節(jié)無法直接實(shí)現(xiàn)，因此可用一種拉格朗日插值多項(xiàng)式代替表示：

其中拉格朗日系數(shù)A_h可表示為：

多項(xiàng)式與分?jǐn)?shù)階延時環(huán)節(jié)的差值R_n可表示如下：

其中ξ∈[T_h,T_h+1]，T_h和T_h+1分別表示第h個和第h+1個采樣時刻。可以看出，隨著多項(xiàng)式階數(shù)n的增大，差值R_n逐漸減小，即拉格朗日插值多項(xiàng)式的近似程度逐漸升高，但此時算法計算量也大幅增加。在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)該綜合考慮差值和計算負(fù)擔(dān)這兩個因素，下面分別給出n＝2和n＝3兩種情況下F從0到0.9變化時的拉格朗日插值多項(xiàng)式幅頻特性曲線。

圖7a和圖7b分別為n＝2和n＝3時拉格朗日插值多項(xiàng)式的幅頻特性曲線，拉格朗日插值多項(xiàng)式的截止頻率均高于系統(tǒng)截止頻率ω_c。當(dāng)n＝2時，最大幅值衰減極小，拉格朗日插值多項(xiàng)式與分?jǐn)?shù)延時環(huán)節(jié)的近似程度極高，完全能夠滿足差值R_n盡可能小的要求，且與n＝3時相比其計算負(fù)擔(dān)較輕，所以在本發(fā)明中選取n＝2。

3.穩(wěn)定性與陷波器分析

系統(tǒng)穩(wěn)定是諧波抑制算法正常運(yùn)行的關(guān)鍵。為了減輕同時調(diào)節(jié)大量參數(shù)的復(fù)雜性，首先在保證雙模分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，再對相移陷波器進(jìn)行穩(wěn)定性分析。為方便下文分析，令k_o＝k_e＝0.5k_RC。圖5、圖6中所示的相位補(bǔ)償器C(s)可表示為：

其中G₁(s)、G₂(s)、分別為低、中、高頻段的相位補(bǔ)償函數(shù)。

由圖5、圖6得到去除相移陷波器時系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：

其中T₀表示磁懸浮轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)周期，M(s)＝1+G_c(s)G_w(s)G_p(s)K_s，N(s)＝1+G_c(s)G_w(s)G_p(s)K_s+2k_oC(s)Q(s)G_w(s)。

加入重復(fù)控制器后系統(tǒng)的重構(gòu)譜函數(shù)R(ω)可表示為：

根據(jù)最小增益理論可知：對于一個穩(wěn)定的磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，若加入重復(fù)控制器后新系統(tǒng)的重構(gòu)譜函數(shù)能夠在ω∈(0,ω_c)上滿足R(ω)<1，則該系統(tǒng)也是穩(wěn)定的。

定義系統(tǒng)函數(shù)F(s)：

其中F(s)|_{s＝j(luò)ω}＝L(ω)e^iθ(ω)。令則上述穩(wěn)定性條件可等效為：

定義相角λ(ω)＝θ(ω)+θ_b(ω)+N_c·T_sω，為保證上式有解，必有以下兩個條件同時成立：

90°<λ(ω)<270°

因此，通過串聯(lián)合適的相位補(bǔ)償函數(shù)并選擇合適的控制增益，可以保證加入雙模分?jǐn)?shù)重復(fù)控制器后新系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在此基礎(chǔ)上，再加入相移陷波器對基頻電流進(jìn)行額外抑制。

相移陷波器的傳遞函數(shù)可表示為：

其中ε為比例系數(shù)，Ω為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速，η為補(bǔ)償相角。

當(dāng)滿足下述不等式時，可以確保加入相移陷波器后整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性：

-90°<arg[S₂(jΩ)]+η<90°

其中表示除去相移陷波器時以磁軸承線圈電流作為輸出的靈敏度函數(shù)。

本發(fā)明說明書中未作詳細(xì)描述的內(nèi)容屬于本領(lǐng)域?qū)I(yè)技術(shù)人員公知的現(xiàn)有技術(shù)。