本發(fā)明涉及一種基于正實(shí)B樣條的飛行器軌跡優(yōu)化方法，針對(duì)飛行器飛行過(guò)程中的軌跡規(guī)劃問(wèn)題，采用B樣條參數(shù)化方法，轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)MI問(wèn)題，得到最優(yōu)軌跡，與傳統(tǒng)優(yōu)化方法相比，提高了避障的精確性和安全性，涵蓋了更多種類約束的處理，并一次完成在各維度的軌跡規(guī)劃，提高了效率，增強(qiáng)了實(shí)際工程應(yīng)用價(jià)值。

背景技術(shù)：

飛行器是指在大氣層內(nèi)或(與)大氣層外空間(太空)飛行的器械，在大氣層內(nèi)的飛行器主要有：航天運(yùn)載器、(民用、軍用)飛機(jī)，各種導(dǎo)彈(地地、地空、地天、天地、空空、空地、各種巡航)、無(wú)人機(jī)、中高空(臨近空間)飛行器、微型飛行器等；在大氣層外的飛行器主要有：衛(wèi)星、天基飛行器系統(tǒng)、月球探測(cè)飛行器、深空探測(cè)飛行器等。無(wú)論在工程生產(chǎn)中還是軍事活動(dòng)中，飛行器都有著重要的地位。尤其在現(xiàn)代防空對(duì)戰(zhàn)任務(wù)中，飛行器在低、中、高空的偵察、作戰(zhàn)能力強(qiáng)的特點(diǎn)使得飛行器成為首選。在進(jìn)行低空操作時(shí)，飛行器受到的環(huán)境影響很多，加上飛行器本身的性能因素，使得飛行器可行的飛行空間被嚴(yán)格限制。如何安全、快速的飛行至目標(biāo)區(qū)域成為飛行器飛行的重要研究?jī)?nèi)容。而安全的飛行接近過(guò)程在于飛行器的飛行軌跡，因而飛行器的軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)在整個(gè)飛行器設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)中占有重要的地位，對(duì)總體、氣動(dòng)、控制、動(dòng)力及結(jié)構(gòu)等多個(gè)分系統(tǒng)的設(shè)計(jì)有著極為重要的影響。同時(shí)，飛行器的軌跡規(guī)劃決定著能否匹配(靜態(tài)與動(dòng)態(tài)的優(yōu)化組合)飛行器的各個(gè)子系統(tǒng)，使其達(dá)到最佳的性能指標(biāo)(起飛重量最小、燃料消耗量最少、有效載荷最大、最大可靠性、最低成本)。因此，在就飛行器設(shè)計(jì)而言，軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)是其成功與否的重要因素之一，對(duì)其有著非常重要的工程應(yīng)用價(jià)值。飛行器安全路徑規(guī)劃是亟需完善的關(guān)鍵技術(shù)，關(guān)系到低空飛行任務(wù)的成功與否。專利申請(qǐng)?zhí)枮?01410457163.2中提出了基于微分平坦與B樣條的時(shí)間最優(yōu)橋式吊車(chē)軌跡規(guī)劃方法，但存在兩個(gè)問(wèn)題：(1)由于吊車(chē)本身對(duì)象運(yùn)動(dòng)屬性，使得此軌跡規(guī)劃方法是平面軌跡規(guī)劃，未考慮三維空間的軌跡優(yōu)化問(wèn)題；(2)發(fā)明利用多項(xiàng)式優(yōu)化算法直接對(duì)B樣條控制點(diǎn)進(jìn)行表示，計(jì)算量大，在取控制點(diǎn)較多的情況下效率偏低；專利申請(qǐng)?zhí)枮?01310303352.X中提出了一種基于在線構(gòu)圖的飛行器返航路線規(guī)劃方法，但其滾動(dòng)優(yōu)化中每一時(shí)刻的優(yōu)化結(jié)果需要利用上一時(shí)刻信息進(jìn)行迭代，計(jì)算量大，效率較低，對(duì)處理器計(jì)算能力和速度要求高。為解決此問(wèn)題，亟需設(shè)計(jì)一種飛行器軌跡優(yōu)化方法

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明的技術(shù)解決問(wèn)題是：克服現(xiàn)有技術(shù)的不足，提供低空狀態(tài)下飛行器軌跡優(yōu)化方法，得到光滑性良好、可解決實(shí)際工程問(wèn)題的飛行器優(yōu)化軌跡。

本發(fā)明的技術(shù)解決方案為：一種基于正實(shí)B樣條的飛行器軌跡優(yōu)化方法，其特征在于：針對(duì)飛行器飛行過(guò)程中的軌跡規(guī)劃問(wèn)題，采用B樣條參數(shù)化方法，轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)MI問(wèn)題，得到最優(yōu)軌跡，與傳統(tǒng)優(yōu)化方法相比，提高了避障的精確性和安全性，涵蓋了更多種類約束的處理，并一次完成在各維度的軌跡規(guī)劃，提高了效率，增強(qiáng)了實(shí)際工程應(yīng)用價(jià)值。

具體包括以下步驟：首先，針對(duì)飛行器飛行軌跡規(guī)劃問(wèn)題，搭建飛行器飛行的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和動(dòng)力學(xué)模型，并將其轉(zhuǎn)化為微分平坦系統(tǒng)模型；其次，針對(duì)飛行器飛行速度約束問(wèn)題，將其由非凸約束轉(zhuǎn)化為分段凸約束問(wèn)題，利用正實(shí)B樣條性質(zhì)，將其轉(zhuǎn)化為B樣條函數(shù)控制點(diǎn)的優(yōu)化問(wèn)題；再次，針對(duì)飛行器地理環(huán)境約束問(wèn)題，將其轉(zhuǎn)化為B樣條函數(shù)控制點(diǎn)的優(yōu)化問(wèn)題；最后，將系統(tǒng)軌跡規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)MI優(yōu)化問(wèn)題，得到符合約束的控制點(diǎn)的最優(yōu)解，并利用B樣條函數(shù)得到飛行器的最優(yōu)軌跡。此方法可用于飛行器飛行路徑規(guī)劃過(guò)程；具體步驟如下：

第一步，搭建飛行器運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和動(dòng)力學(xué)模型，并將運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行微分平坦處理和B樣條參數(shù)化，得到基于B樣條參數(shù)化的微分平坦系統(tǒng)模型

假設(shè)飛行器在空間機(jī)動(dòng)飛行過(guò)程中無(wú)側(cè)滑，推力與速度矢量間的夾角為小量，搭建飛行器動(dòng)力學(xué)模型如下：(原表示飛行器速度的v均已改為V)

其中，m為飛行器質(zhì)量，V(t)為飛行速度，T為發(fā)動(dòng)機(jī)推力，D為阻力，L為升力，θ(t)為航跡傾角，ψ(t)為航跡偏角，γ(t)為滾轉(zhuǎn)角；V(t)，θ(t)，ψ(t)為系統(tǒng)狀態(tài)變量。

在飛行過(guò)程中，過(guò)載表征可操縱力的大小和方向，因此可以利用過(guò)載的概念表征飛行器機(jī)動(dòng)性，定義過(guò)載為：

其中，n_x(t)稱為切向過(guò)載，沿飛行速度方向；n_y(t)稱為法向過(guò)載，垂直于飛行速度矢量。

利用過(guò)載概念，可以將Σ₁變形得到飛行器動(dòng)力學(xué)模型：

其中，n_x(t)，n_y(t)和γ(t)為系統(tǒng)控制量，g為重力加速度。

搭建飛行器運(yùn)動(dòng)學(xué)模型如下：

其中，x(t)，y(t)和h(t)分別為飛行器質(zhì)心位置在地面坐標(biāo)系三軸上的分量。

根據(jù)Σ₃可推導(dǎo)得到下式：

由上式可知，系統(tǒng)狀態(tài)量V(t)，θ(t)，ψ(t)可由x(t)，y(t)和h(t)及其導(dǎo)數(shù)表示。

根據(jù)Σ₂，可以得到：

由上式可知，系統(tǒng)控制輸入n_x(t)，n_y(t)，γ(t)可由系統(tǒng)狀態(tài)量V(t)，θ(t)，ψ(t)表示，繼而可知系統(tǒng)控制輸入n_x(t)，n_y(t)，γ(t)可由x(t)，y(t)和h(t)及其導(dǎo)數(shù)表示。

綜合Σ₄和Σ₅得知，系統(tǒng)狀態(tài)變量V(t)，θ(t)，ψ(t)和控制輸入n_x(t)，n_y(t)，γ(t)均可由x(t)，y(t)和h(t)及其導(dǎo)數(shù)表示。因此飛行器系統(tǒng)是微分平坦系統(tǒng)，即可用一組微分平坦輸出χ(t)及χ(t)的導(dǎo)數(shù)來(lái)表示原系統(tǒng)的狀態(tài)變量和輸入變量。取微分平坦輸出χ(t)＝[x(t) y(t) h(t)]^T，可利用χ及其導(dǎo)數(shù)表示系統(tǒng)狀態(tài)變量X(t)＝[V(t) θ(t) ψ(t)]^T和控制變量u(t)＝[n_x(t) n_y(t) γ(t)]^T。

在微分平坦系統(tǒng)中，可采用B樣條方法對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行參數(shù)化，即將系統(tǒng)平坦輸出χ(t)表示為：

其中，χ_i(t)為微分平坦輸出χ的第i個(gè)元素；χ(t)＝[x(t) y(t) h(t)]^T是系統(tǒng)微分平坦輸出；為定義在一個(gè)非單調(diào)遞減節(jié)點(diǎn)序列O_B的第j個(gè)k_B次B樣條基函數(shù)，n_B為B樣條基函數(shù)的維數(shù)，C_i,j為第i個(gè)微分平坦輸出向量的第j個(gè)B樣條函數(shù)控制點(diǎn)。

第二步，對(duì)飛行器飛行速度約束進(jìn)行非凸處理和正實(shí)B樣條參數(shù)化處理，得到第一步中系統(tǒng)模型的B樣條函數(shù)控制點(diǎn)的優(yōu)化條件；

在實(shí)際的控制飛行中，飛行器的飛行速度需要介于其最大平飛速度與最小平飛速度之間，即V_min≤V(t)≤V_max，其中V(t)為t時(shí)刻飛行器的飛行速度，V_min為允許的飛行器最小平飛速度，V_max為允許的飛行器最大平飛速度。

根據(jù)Σ₄，可以得到如下關(guān)于V的方程：

其中χ_i(t),i＝1,2,3為微分平坦輸出χ(t)的第i個(gè)元素，χ(t)＝[x(t) y(t) h(t)]^T，是χ(t)的一階導(dǎo)數(shù)。結(jié)合約束表達(dá)式得到：

即

可見(jiàn)飛行速度約束是非凸的，故對(duì)其進(jìn)行變形得到：

飛行速度約束表達(dá)為兩個(gè)半正定多項(xiàng)式形式。其中l(wèi)是飛行器速度矢量在地面坐標(biāo)系XOY平面上的投影矢量l的絕對(duì)值。

由于β和γ是隨著航跡傾角θ變化的，所以將β和γ看作為分段常值函數(shù)，因此飛行器飛行速度約束是分段約束。

如果θ∈(0+i,1+i),i＝0,1,…,k,k為一常數(shù)

其中，β₁,γ₁是β和γ的初始時(shí)刻值，β_f,γ_f是β和γ的最終時(shí)刻值。

將飛行器飛行速度約束統(tǒng)一表達(dá)為：

其中

經(jīng)過(guò)一系列轉(zhuǎn)化，可以得到等效于半正定多項(xiàng)式的凸優(yōu)化約束條件

α_qC-b_q＝Λ^*(Y_q),Y_q≥0,q＝1,2

其中，q＝1表明與V(t)≤V_max等效的凸優(yōu)化約束條件，q＝2表明與V_min≤V(t)等效的凸優(yōu)化約束條件。定義為：

α_l,i,j的值由下式求得：

其中，H_q,j為H(t)第q行第j列的元素，為關(guān)于t的一階微分，為關(guān)于t的二階微分；是定義在一非遞減節(jié)點(diǎn)序列O_v上的第i個(gè)k_v次B樣條基函數(shù)，維數(shù)為n_v；t_f為終端狀態(tài)時(shí)間。選取合適的p，求出α_l,i,j唯一解。

定義為b₁＝[V_max … V_max]^T，b₂＝[V_min … V_min]^T。

Λ*(Y_q)定義如下：

算子<·,·>代表α和β為實(shí)數(shù)，可得到Λ*(Y_q)表達(dá)式：

其中Y_q≥0表示Y_q的所有特征根均為非負(fù)的，Y_q,i,j為Y_q的第i行j列的元素，q＝1,2，λ_i,j,s是λ_i,j的第s個(gè)元素，s＝1,...,n_v，λ_i,j由下式求解：

λ_i,j^Tv(t)＝w_iw_j，i,j＝1,...,n_w，

其中，是定義在一非遞減節(jié)點(diǎn)序列O_w上的第i個(gè)k_w次B樣條基函數(shù)，維數(shù)為n_w。

第三步，對(duì)飛行器地理環(huán)境約束進(jìn)行正實(shí)B樣條參數(shù)化處理，得到第一步中系統(tǒng)模型的B樣條函數(shù)控制點(diǎn)的優(yōu)化條件；

為保證飛行安全，飛行器在飛行過(guò)程中要高于地形高度。且由于降低飛行高度會(huì)增加撞地概率，因此需要留出一定安全距離?？蓪⒌乩憝h(huán)境約束表示為：

h(t)≥r(x(t),y(t))+Δh

其中，r(x(t),y(t))表示(x,y)點(diǎn)的地形高度，Δh為安全高度閾值。

將時(shí)變函數(shù)r(x(t),y(t))進(jìn)行簡(jiǎn)化，使其為分段函數(shù)：

r(x(t_i),y(t_i))＝r_i,i＝0,1,...k,k為常數(shù)

可以將地理位置約束表示為：

其中，H₃(t)＝[0 0 1 0 0 0]，V₃＝r_i+Δh。

對(duì)地理位置約束的參數(shù)化處理同第二步。其約束條件作為第三個(gè)約束半平面，q＝3，將地理位置約束表達(dá)為一個(gè)凸優(yōu)化條件形式：

α_qC-b_q＝Λ^*(Y_q),Y_q≥0,q＝3，

公式中符號(hào)含義同第二步。

第四步，結(jié)合第一步、第二步、第三步，得到系統(tǒng)模型的B樣條函數(shù)控制點(diǎn)的LMI優(yōu)化模型，利用最優(yōu)控制點(diǎn)和B樣條函數(shù)可得到飛行器的最優(yōu)軌跡；

經(jīng)過(guò)上述步驟對(duì)于約束條件的分析和轉(zhuǎn)化，服務(wù)航天器軌跡優(yōu)化問(wèn)題可表示為對(duì)于飛行器系統(tǒng)模型的B樣條函數(shù)控制點(diǎn)的LMI優(yōu)化求解：

滿足

其中，為L(zhǎng)MI優(yōu)化問(wèn)題的優(yōu)化指標(biāo)，意為尋找C使得關(guān)于χ的目標(biāo)函數(shù)J(χ(C))最小；t_i為初始時(shí)間，t_f為最終時(shí)間，X₀為系統(tǒng)的初始狀態(tài)，X_f為系統(tǒng)最終狀態(tài)，u₀為系統(tǒng)初始輸入，u_f為系統(tǒng)最終輸入，為控制點(diǎn)集合，其中為χ_i(t)i＝1,2,3的控制點(diǎn)；q＝1表明與V(t)≤V_max等效的凸優(yōu)化約束條件，q＝2表明與V_min≤V(t)等效的凸優(yōu)化約束條件，q＝3表明與地理環(huán)境約束h(t)≥r(x(t),y(t))+Δh等效的凸優(yōu)化約束條件，n_v為一組定義在非遞減節(jié)點(diǎn)序列O_v上的k_v次B樣條基函數(shù)的維數(shù),其中λ_i,j,s是λ_i,j的第s個(gè)元素，s＝1,...,n_v，Y_q≥0表示Y_q的所有特征根均為非負(fù)的，Y_q,i,j為Y_q的第i行j列的元素，λ_i,j由下式求解：

λ_i,jv(t)＝w_iw_j，i,j＝1,...,n_w，

其中是定義在一非遞減節(jié)點(diǎn)序列O_w上的第i個(gè)k_w次B樣條基函數(shù)，維數(shù)為n_w。

通過(guò)LMI求解，得到最優(yōu)解C，求得飛行器t時(shí)刻最優(yōu)位置信息：

并得到飛行器最優(yōu)飛行軌跡。其中χ₁(t)＝x(t),χ₂(t)＝y(tǒng)(t),χ₃(t)＝h(t)，C_i,j為第i個(gè)微分平坦輸出向量的第j個(gè)B樣條函數(shù)控制點(diǎn)，為定義在一個(gè)非單調(diào)遞減節(jié)點(diǎn)序列O_B的第j個(gè)k_B次B樣條基函數(shù)。

本發(fā)明與現(xiàn)有技術(shù)相比的優(yōu)點(diǎn)在于：

本發(fā)明的基于正實(shí)B樣條的飛行器軌跡優(yōu)化方法利用正實(shí)B樣條性質(zhì)將飛行器飛行過(guò)程中的約束進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將軌跡優(yōu)化轉(zhuǎn)化為B樣條控制點(diǎn)的LMI優(yōu)化問(wèn)題；相對(duì)于現(xiàn)有的軌跡優(yōu)化方法，本發(fā)明得到的軌跡考慮了多種約束，可將多維度上的約束進(jìn)行統(tǒng)一處理，集中得到最終軌跡，顯著提高優(yōu)化效率。

附圖說(shuō)明

圖1為本發(fā)明一種基于正實(shí)B樣條的飛行器軌跡優(yōu)化方法流程圖。

具體實(shí)施方式

1.搭建飛行器運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和動(dòng)力學(xué)模型，并將運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行微分平坦處理和B樣條參數(shù)化，得到基于B樣條參數(shù)化的微分平坦系統(tǒng)模型

假設(shè)飛行器在空間機(jī)動(dòng)飛行過(guò)程中無(wú)側(cè)滑，推力與速度矢量間的夾角為小量，搭建飛行器動(dòng)力學(xué)模型如下：

其中，m為飛行器質(zhì)量，V(t)為飛行速度，T為發(fā)動(dòng)機(jī)推力，D為阻力，L為升力，θ(t)為航跡傾角，ψ(t)為航跡偏角，γ(t)為滾轉(zhuǎn)角；V(t)，θ(t)，ψ(t)為系統(tǒng)狀態(tài)變量。

在飛行過(guò)程中，過(guò)載表征可操縱力的大小和方向，因此可以利用過(guò)載的概念表征飛行器機(jī)動(dòng)性，定義過(guò)載為：

其中，n_x(t)稱為切向過(guò)載，沿飛行速度方向；n_y(t)稱為法向過(guò)載，垂直于飛行速度矢量。

利用過(guò)載概念，可以將Σ₁變形得到飛行器動(dòng)力學(xué)模型：

其中，n_x(t)，n_y(t)和γ(t)為系統(tǒng)控制量，g為重力加速度。

搭建飛行器運(yùn)動(dòng)學(xué)模型如下：

其中，x(t)，y(t)和h(t)分別為飛行器質(zhì)心位置在地面坐標(biāo)系三軸上的分量。

根據(jù)Σ₃可推導(dǎo)得到下式：

由上式可知，系統(tǒng)狀態(tài)量V(t)，θ(t)，ψ(t)可由x(t)，y(t)和h(t)及其導(dǎo)數(shù)表示。

根據(jù)Σ₂，可以得到：

由上式可知，系統(tǒng)控制輸入n_x(t)，n_y(t)，γ(t)可由系統(tǒng)狀態(tài)量V(t)，θ(t)，ψ(t)表示，繼而可知系統(tǒng)控制輸入n_x(t)，n_y(t)，γ(t)可由x(t)，y(t)和h(t)及其導(dǎo)數(shù)表示。

綜合Σ₄和Σ₅得知，系統(tǒng)狀態(tài)變量V(t)，θ(t)，ψ(t)和控制輸入n_x(t)，n_y(t)，γ(t)均可由x(t)，y(t)和h(t)及其導(dǎo)數(shù)表示。因此飛行器系統(tǒng)是微分平坦系統(tǒng)，即可用一組微分平坦輸出χ(t)及χ(t)的導(dǎo)數(shù)來(lái)表示原系統(tǒng)的狀態(tài)變量和輸入變量。取微分平坦輸出χ(t)＝[x(t) y(t) h(t)]^T，可利用χ及其導(dǎo)數(shù)表示系統(tǒng)狀態(tài)變量X(t)＝[V(t) θ(t) ψ(t)]^T和控制變量u(t)＝[n_x(t) n_y(t) γ(t)]^T。

在微分平坦系統(tǒng)中，可采用B樣條方法對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行參數(shù)化，即將系統(tǒng)平坦輸出χ(t)表示為：

其中，χ_i(t)為微分平坦輸出χ的第i個(gè)元素；χ(t)＝[x(t) y(t) h(t)]^T是系統(tǒng)微分平坦輸出；為定義在一個(gè)非單調(diào)遞減節(jié)點(diǎn)序列O_B的第j個(gè)k_B次B樣條基函數(shù)，n_B為B樣條基函數(shù)的維數(shù)，C_i,j為第i個(gè)微分平坦輸出向量的第j個(gè)B樣條函數(shù)控制點(diǎn)。取k_B＝4，n_B＝19。

2.對(duì)飛行器飛行速度約束進(jìn)行非凸處理和正實(shí)B樣條參數(shù)化處理，得到第一步中系統(tǒng)模型的B樣條函數(shù)控制點(diǎn)的優(yōu)化條件；

在實(shí)際的控制飛行中，飛行器的飛行速度需要介于其最大平飛速度與最小平飛速度之間，即V_min≤V(t)≤V_max，其中V(t)為t時(shí)刻飛行器的飛行速度，V_min為允許的飛行器最小平飛速度，V_max為允許的飛行器最大平飛速度。取V_min＝750m/s，V_max＝1200m/s。

根據(jù)Σ₄，可以得到如下關(guān)于V的方程：

其中χ_i(t),i＝1,2,3為微分平坦輸出χ(t)的第i個(gè)元素，χ(t)＝[x(t)y(t)h(t)]^T，是χ(t)的一階導(dǎo)數(shù)。結(jié)合約束表達(dá)式得到：

即

可見(jiàn)飛行速度約束是非凸的，故對(duì)其進(jìn)行變形得到：

飛行速度約束表達(dá)為兩個(gè)半正定多項(xiàng)式形式。其中l(wèi)是飛行器速度矢量在地面坐標(biāo)系XOY平面上的投影矢量l的絕對(duì)值。

由于β和γ是隨著航跡傾角θ變化的，所以將β和γ看作為分段常值函數(shù)，因此飛行器飛行速度約束是分段約束：

如果θ∈(0+i,1+i),i＝0,1,…,k,k為一常數(shù)

其中，β₁,γ₁是β和γ的初始值，β_f,γ_f是β和γ的最終值。

將飛行器飛行速度約束統(tǒng)一表達(dá)為：

其中

經(jīng)過(guò)一系列轉(zhuǎn)化，可以得到等效于半正定多項(xiàng)式的凸優(yōu)化約束條件

α_qC-b_q＝Λ^*(Y_q),Y_q≥0,q＝1,2

其中，q＝1表明與V(t)≤V_max等效的凸優(yōu)化約束條件，q＝2表明與V_min≤V(t)等效的凸優(yōu)化約束條件。定義為：

α_l,i,j的值由下式求得：

其中，H_q,j為H(t)第q行第j列的元素，為關(guān)于t的一階微分，為關(guān)于t的二階微分；是一組定義在節(jié)點(diǎn)序列O_v上的k_v次B樣條基函數(shù)，維數(shù)為n_v；t_f為終端狀態(tài)時(shí)間。選取合適的p，求出α_l,i,j唯一解。?。?/p>

k_v＝4，n_v＝45，t_f＝15，p＝45。

定義為b₁＝[V_max … V_max]^T，b₂＝[V_min … V_min]^T。

Λ*(Y)定義如下：

算子<·,·>代表可得到Λ*(Y)表達(dá)式：

其中Y_q,i,j為Y_q的第i行j列的元素，q＝1,2，λ_i,j,s是λ_i,j的第s個(gè)元素，s＝1,...,n_v，λ_i,j由下式求解：

λ_i,j^Tv(t)＝w_iw_j，i,j＝1,...,n_w，

其中，是定義在一非遞減節(jié)點(diǎn)序列O_w上的第i個(gè)k_w次B樣條基函數(shù)，維數(shù)為n_w。取O_w＝[0 0 1 2 ... 14 15 15]，k_w＝2，n_w＝13。

3.對(duì)飛行器地理環(huán)境約束進(jìn)行正實(shí)B樣條參數(shù)化處理，得到第一步中系統(tǒng)模型的B樣條函數(shù)控制點(diǎn)的優(yōu)化條件；

為保證飛行安全，飛行器在飛行過(guò)程中要高于地形高度。且由于降低飛行高度會(huì)增加撞地概率，因此需要留出一定安全距離?？蓪⒌乩憝h(huán)境約束表示為：

h(t)≥r(x(t),y(t))+Δh

其中r(x(t),y(t))表示(x,y)點(diǎn)的地形高度，Δh為安全高度閾值。?。?/p>

Δh＝3.5

將時(shí)變函數(shù)r(x(t),y(t))進(jìn)行簡(jiǎn)化，使其為分段函數(shù)：

r(x(t_i),y(t_i))＝r_i,i＝0,1,...k,其中k為常數(shù)，取k＝15

可以將地理位置約束表示為：

其中H₃(t)＝[0 0 1 0 0 0]，V₃＝r_i+Δh。

對(duì)地理位置約束的參數(shù)化處理同第二步。其約束條件作為第三個(gè)約束半平面，q＝3，將地理位置約束表達(dá)為一個(gè)凸優(yōu)化條件形式：

α_qC-b_q＝Λ^*(Y_q),Y_q≥0,q＝3

公式中符號(hào)含義同2。

4.結(jié)合第一步、第二步、第三步，得到系統(tǒng)模型的B樣條函數(shù)控制點(diǎn)的LMI優(yōu)化模型，利用最優(yōu)控制點(diǎn)和B樣條函數(shù)可得到飛行器的最優(yōu)軌跡；

經(jīng)過(guò)上述步驟對(duì)于約束條件的分析和轉(zhuǎn)化，服務(wù)航天器軌跡優(yōu)化問(wèn)題可表示為對(duì)于飛行器系統(tǒng)模型的B樣條函數(shù)控制點(diǎn)的LMI優(yōu)化求解：

滿足

其中，為L(zhǎng)MI優(yōu)化問(wèn)題的優(yōu)化指標(biāo)，意為尋找C使得目標(biāo)函數(shù)最小，取t_i為初始時(shí)間，t_f為最終時(shí)間，X₀為系統(tǒng)的初始時(shí)刻狀態(tài)，X_f為系統(tǒng)最終時(shí)刻狀態(tài)，u₀為系統(tǒng)初始時(shí)刻輸入，u_f為系統(tǒng)最終時(shí)刻輸入，取t_i＝0，t_f＝15，S(X(θ),u(θ))≥0為包括飛行速度約束和地理位置約束的約束條件集合，為控制點(diǎn)集合，其中為χ_i(t)i＝1,2,3的控制點(diǎn)，決定著χ_i(t)的值。

通過(guò)LMI求解，得到最優(yōu)解C，求得飛行器t時(shí)刻最優(yōu)位置信息：

并得到飛行器最優(yōu)飛行軌跡。其中χ₁(t)＝x(t),χ₂(t)＝y(tǒng)(t),χ₃(t)＝h(t)，C_i,j為第i個(gè)微分平坦輸出向量的第j個(gè)B樣條函數(shù)控制點(diǎn)，為定義在一個(gè)非單調(diào)遞減節(jié)點(diǎn)序列O_B的第j個(gè)k_B次B樣條基函數(shù)，k_B＝4。