本發(fā)明涉及飛行器控制領(lǐng)域，具體涉及一種基于核遞歸最小二乘算法的自適應(yīng)飛行器魯棒控制方法，通過參考模型來表征期望的飛行特性，改善控制精度，并降低運(yùn)算負(fù)擔(dān)。

背景技術(shù)：

現(xiàn)代飛行器的氣動(dòng)布局往往不能滿足穩(wěn)定性能要求，而且伴隨著復(fù)雜的空情干擾和系統(tǒng)參數(shù)的改變，為了獲得理想的飛行品質(zhì)，需要設(shè)計(jì)飛行器自適應(yīng)魯棒控制系統(tǒng)。為了解決這個(gè)問題，模型參考自適應(yīng)(modelreferenceadaptivecontrol,mrac)方案設(shè)計(jì)飛行器自適應(yīng)魯棒控制系統(tǒng)，以參考模型表征期望飛行特性(蘊(yùn)含良好的穩(wěn)定性和操縱性)，并使實(shí)際輸出漸近跟蹤參考輸出。近年來，應(yīng)用該理論設(shè)計(jì)的自動(dòng)駕駛儀已經(jīng)成功應(yīng)用到飛行器上。

在mrac控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，高品質(zhì)的模型辨識(shí)和精確的在線控制是獲得良好控制性能的關(guān)鍵。遞歸最小二乘算法(recursiveleastsquares，rls)是一種最小化平方誤差代價(jià)函數(shù)，遞歸式尋找抽頭權(quán)系數(shù)的線性算法。遞歸最小二乘算法利用已知的時(shí)刻抽頭權(quán)系數(shù)向量，通過簡(jiǎn)單的迭代更新，從而求出時(shí)刻抽頭權(quán)系數(shù)向量。

在i-1時(shí)刻，已知訓(xùn)練樣本集其中xj∈r^l×1表示輸入向量，yj∈r¹表示輸出量。遞歸最小二乘算法尋找最優(yōu)抽頭權(quán)系數(shù)向量wi-1使得式(1)的代價(jià)函數(shù)值最?。?/p>

可見，當(dāng)新樣本對(duì){xi，yi}出現(xiàn)時(shí)，需要計(jì)算出新抽頭權(quán)系數(shù)向量wi，其代價(jià)函數(shù)為：

然而，rls算法中不需要重新計(jì)算wi的值，而是能夠由wi-1遞歸式計(jì)算得到，從而減少了其計(jì)算量，提高了計(jì)算效率。圖1給出了rls算法的結(jié)構(gòu)框圖。

表1rls算法更新流程

由于pi矩陣的維數(shù)等于輸出向量維數(shù)l且保持不變，遞歸最小二乘算法每次更新的時(shí)間和空間復(fù)雜度均為o(l²)。遞歸最小二乘算法將計(jì)算負(fù)荷均勻地分布到每個(gè)循環(huán)中，從而在樣本序列連續(xù)獲得的在線時(shí)間序列預(yù)測(cè)應(yīng)用中具有顯著優(yōu)勢(shì)。

核遞歸最小二乘算法(kernelrecursiveleastsquares，krls)擴(kuò)展了rls算法對(duì)非線性數(shù)據(jù)的處理能力，它將非線性數(shù)據(jù)通過mercer核函數(shù)映射到高維特征空間轉(zhuǎn)化為線性問題，再利用rls算法在特征空間線性擬合。這種mercer核函數(shù)的映射過程經(jīng)常稱為“核技巧”，它不需要顯式知道輸入樣本在特征空間內(nèi)映射的形式，只需將映射的內(nèi)積通過mercer核函數(shù)計(jì)算出來即可。該技巧利用較為簡(jiǎn)單的核函數(shù)計(jì)算，替代了高維特征空間內(nèi)映射的復(fù)雜計(jì)算。

假定輸入樣本為xp，輸入樣本在特種空間內(nèi)映射為并將其簡(jiǎn)化為所謂“核技巧”的含義是任意特征空間內(nèi)特征向量的內(nèi)積計(jì)算可以由核函數(shù)計(jì)算來替換，即

其中，xp，xq為輸入樣本，為其對(duì)應(yīng)的特征空間內(nèi)特征向量。

將輸入樣本映射到特征空間得到則特征空間內(nèi)的rls代價(jià)函數(shù)：

給定特征矩陣則系數(shù)向量ωi可以由特征空間內(nèi)輸入樣本的映射線性表示為ωi＝φiαi，其中αi∈rⁱ為特征空間內(nèi)系數(shù)向量。定義核矩陣其中[ki]p，q＝k(xp，xq)，該矩陣的優(yōu)勢(shì)在于可利用“核技巧”由輸入樣本計(jì)算出來。

由式(4)得到krls算法新代價(jià)函數(shù)：

針對(duì)離線辨識(shí)，參考極限學(xué)習(xí)機(jī)(extremelearningmachine，elm)訓(xùn)練方法可以取消迭代過程，代價(jià)函數(shù)(5)可改寫為：

minimize：

subjectto:hjαi＝y(tǒng)j-ξj

式中，hj為第j組樣本與i組總樣本在特征空間映射的內(nèi)積，hj＝[k(xj，x1)，...，k(xj，xi)]，ξj是對(duì)應(yīng)于樣本xj的訓(xùn)練誤差，yj是目標(biāo)輸出值，c為常數(shù)。

基于kkt(karush-kuhn-tucker)理論，訓(xùn)練問題等價(jià)于如下的二重優(yōu)化問題：

式中，λj是對(duì)應(yīng)于樣本xj的拉格朗日算子。由此，得到式(6)的kkt優(yōu)化條件：

式中，λ＝[λ1，...，λi]^t。把式(7)和(8)代入式(9)得到：

式中，y＝[y1，...，yi]^t。

考慮在線控制系統(tǒng)，與rls算法相對(duì)應(yīng)，krls算法的目的是尋找滿足代價(jià)函數(shù)(5)值最小的系數(shù)向量αi，且不需要隨著每次新樣本而重新計(jì)算，而是由αi-1遞歸式計(jì)算出αi的值。為避免在每次更新中進(jìn)行矩陣求逆運(yùn)算，定義核逆矩陣以遞歸更新qi簡(jiǎn)化了先遞歸更新ki再矩陣求逆的復(fù)雜過程。由式(5)的代價(jià)函數(shù)可以推理出krls算法迭代更新表達(dá)式，krls算法基本的更新流程為：1)將新的輸入樣本映射到特征空間，計(jì)算第i組新樣本與i-1組原樣本在特征空間映射的內(nèi)積hi；2)根據(jù)先驗(yàn)估計(jì)值和真實(shí)值計(jì)算出先驗(yàn)估計(jì)誤差ei；3)和4)，根據(jù)核逆矩陣和新輸入樣本計(jì)算出自適應(yīng)控制量zi和ri；5)根據(jù)自適應(yīng)控制量和先驗(yàn)誤差，調(diào)節(jié)核自適應(yīng)濾波器系數(shù)向量αi；6)根據(jù)自適應(yīng)控制量，迭代更新核逆矩陣。

表2krls算法更新流程

由表2可見，核逆矩陣qi的維數(shù)等于輸入樣本數(shù)量i。因此，krls算法一次更新的時(shí)間和空間復(fù)雜度均為o(i²)，即其復(fù)雜度會(huì)隨著訓(xùn)練樣本量而不斷增加。

由于krls算法計(jì)算復(fù)雜度會(huì)隨著在線運(yùn)算迭代次數(shù)而不斷增加，而計(jì)算機(jī)物理處理能力有限，因此需要限制樣本核函數(shù)維數(shù)增長(zhǎng)，降低計(jì)算復(fù)雜度。應(yīng)用特征值提取的降低核函數(shù)維度的方法，在迭代過程中可以去除核函數(shù)一些不相關(guān)的冗余數(shù)據(jù)信息，壓縮樣本核函數(shù)維數(shù)，更有利于在實(shí)時(shí)控制系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)改善控制精度并降低運(yùn)算負(fù)擔(dān)的效果。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明的目的在于針對(duì)上述現(xiàn)有技術(shù)中的問題，提供一種基于核遞歸最小二乘算法的自適應(yīng)飛行器魯棒控制方法，使得控制系統(tǒng)具有較好的控制精度以及較低的運(yùn)算負(fù)擔(dān)。

為了實(shí)現(xiàn)上述目的，本發(fā)明基于核遞歸最小二乘算法的自適應(yīng)飛行器魯棒控制方法包括：通過離線辨識(shí)器與在線控制器兩部分組成反饋調(diào)節(jié)系統(tǒng)進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)節(jié)；離線辨識(shí)器：在飛行器實(shí)際模型輸入和輸出數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，利用核遞歸最小二乘算法離線辨識(shí)一個(gè)與所測(cè)系統(tǒng)等價(jià)的模型；在線控制器：在精確辨識(shí)飛行器實(shí)際模型的基礎(chǔ)上，根據(jù)系統(tǒng)輸入和輸出數(shù)據(jù)，利用改進(jìn)核遞歸最小二乘算法在線調(diào)整控制器的輸出量，實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)魯棒控制；所述的改進(jìn)核遞歸最小二乘算法基于特征值提取，分別根據(jù)主成分分析以及奇異值分解進(jìn)行核矩陣的正交分解，從而實(shí)現(xiàn)樣本核函數(shù)的壓縮與降維，去除核函數(shù)中一些不相關(guān)的冗余數(shù)據(jù)信息。

離線辨識(shí)器的計(jì)算模型按照以下步驟搭建：

1.1)辨識(shí)模型定義；

基于并聯(lián)辨識(shí)模型的飛行器系統(tǒng)描述為：

y(t)＝f(u(t)，u(t-t)，...，u(t-pt)，y(t-t)，...，y(t-nt))(11)

式中，u(t)表示系統(tǒng)輸入信號(hào)，y(t)表示系統(tǒng)輸出信號(hào)，f(·)表示未知非線性函數(shù)，由過去n時(shí)刻的輸出信號(hào)和p時(shí)刻的所有輸入信號(hào)構(gòu)成，t是采樣時(shí)間；

選擇{u(t)，u(t-t)，...，u(t-pt)，y(t-t)，...，y(t-nt)}和y(t)作為辨識(shí)器的輸入xt和輸出yt，式(11)表示為：

yt＝f(xt)(12)

1.2)辨識(shí)器設(shè)計(jì)；

基于核遞歸最小二乘算法，根據(jù)：

辨識(shí)器的輸出為：

式中，ht＝[k(xt，x1)，...，k(xt，xn)]，{x1，...xn，y1，...，yn}表示訓(xùn)練樣本，n表示樣本個(gè)數(shù)，辨識(shí)目標(biāo)是使辨識(shí)系統(tǒng)的輸出與實(shí)際系統(tǒng)的輸出誤差最??；

根據(jù)式權(quán)值αt?。?/p>

式中，k是mercer核矩陣，[k]i，j＝k(xi，xj)，i＝1，...，n，j＝1，...，n，y＝[y1，...，yn]^t。

所述在線控制器的設(shè)計(jì)目的是獲得控制系統(tǒng)輸入u，使得飛行器系統(tǒng)輸出y(t)準(zhǔn)確跟蹤由參考模型rm產(chǎn)生的任何期望輸出軌跡y*⁽t)。

在線控制器的計(jì)算模型按照以下步驟進(jìn)行搭建：

2.1)控制模型定義；

參考模型由飛行器的飛行品質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)生，參考模型輸出y^*(t)表示為過去l時(shí)刻的輸入信號(hào)和過去m時(shí)刻輸出信號(hào)的函數(shù)：

y^*(t)＝p[y^*(t-t)，...，y^*(t-mt)，r(t)，r(t-t)，...，r(t-lt)](15)

式中，p[·]是光滑的連續(xù)函數(shù)，控制器系統(tǒng)描述為：

u(t)＝g[y^*(t)，y(t-t)，...，y(t-nt)，u(t-t)，...，u(t-pt)](16)

式中，映射函數(shù)g[·]存在且唯一，控制器的目標(biāo)是逼近未知的映射函數(shù)g[·]；

將式(15)代入式(16)得到：

u(t)＝g[p[y^*(t-t)，...，y*(t-mt)，r(t)，r(t-t)，...，r(t-lt)]，y(t-t)，...，y(t

-nt)，u(t-t)，...，u(t-pt)](17)

在上述公式中用y來代替y^*：

u(t)＝r[y(t-t)，...，y(t-mt)，r(t)，r(t-t)，...，r(t-lt)](18)

式中，r[·]是光滑的連續(xù)函數(shù)；選擇[y(t-t)，...，y(t-mt)，r(t)，r(t-t)，...，r(t-lt)]和u(t)作為控制器在t時(shí)刻的輸入xt和輸出ut：

ut＝r(xt)(19)；

2.2)控制器設(shè)計(jì)；

映射函數(shù)r[·]是未知的，采用改進(jìn)核遞歸最小二乘算法逼近未知的r[·]，構(gòu)造控制器計(jì)算控制量u(t)；控制器的輸入是當(dāng)前和過去的參考信號(hào)以及過去的飛行器系統(tǒng)輸出；

控制器的輸出等于：

式中，是改進(jìn)核遞歸最小二乘算法t時(shí)刻的輸出，控制器設(shè)計(jì)的目標(biāo)是使飛行器系統(tǒng)實(shí)際輸出和改進(jìn)核遞歸最小二乘算法控制器的輸出的誤差最小。

在改進(jìn)核遞歸最小二乘算法控制器中，假設(shè)辨識(shí)誤差忽略不計(jì)，由：

得到：

式中，

飛行器控制系統(tǒng)輸出為是類pid控制器和改進(jìn)核遞歸最小二乘算法控制器輸出量總和：

改進(jìn)核遞歸最小二乘算法設(shè)計(jì)：

2.3.1)對(duì)一個(gè)給定的矩陣a∈r^m×m，計(jì)算矩陣a的karhunen-loève變換矩陣

a)矩陣a進(jìn)行歸一化處理，得到矩陣b，使得：

b)計(jì)算矩陣b的協(xié)方差矩陣：

c＝cov(b)(25)

c)計(jì)算矩陣c的特征向量v和特征值m：

v^-1cv＝m(26)

式中，m是特征值的對(duì)角矩陣；

4)對(duì)特征值m進(jìn)行降序排序，同時(shí)相應(yīng)對(duì)特征向量進(jìn)行排序，得到排序后的特征矩陣

5)根據(jù)特征值，選擇前n’個(gè)主成分，n’≤n，得到：

2.3.2)對(duì)于矩陣a∈r^m×n，存在一個(gè)正交矩陣u＝[u1，...，um]∈r^m×m和一個(gè)正交矩陣v＝[v1，...，vn]∈r^n×n，使u^tav＝diag(σ1，...，σp}∈r^m×n，p＝min{m，n}，

σ1≥σ2≥…≥σp≥0，σi是矩陣a的特征值，向量ui和vi分別是第i個(gè)左奇異向量和右奇異向量；根據(jù)golub-reinsch算法，運(yùn)算復(fù)雜度為o(m²n+mn²+n³)；

假設(shè)m＞n，對(duì)于u(：，1：n)＝[u1，...，un]，運(yùn)算復(fù)雜度變?yōu)閛(mn²+n³)；

如果r＜rank(a)，令：

那么：

a^*＝u(：，1：r)sv(：，1：r)t，其中s＝diag(σ1，...，σr)，u(：，1：r)＝[u1，...，ur]，v(：，１：r)＝[v1，...，vr]；定義x＝[x1，...，xn]是一個(gè)所有元素相互獨(dú)立的向量，那么ax≈bz，此時(shí)，b＝u(：，1：r)s，z＝v(：，1：r)tx是一個(gè)r×1的向量，利用bz實(shí)現(xiàn)對(duì)ax的逼近。

計(jì)算出特征向量v和特征值m，選擇超過最高特征值10％的特征值作為保留成分，l為保留成分的數(shù)量，保留下來的特征向量表示為降維后的成分權(quán)重變成：

t個(gè)核函數(shù)被替換為新的l個(gè)核函數(shù)，降維后的核函數(shù)變成：

h′(xt)＝h(xt)v1(32)

選擇線性核函數(shù)：

h’(xt)表示為[k(xt，x1′)，...，k(xt，xl′)]，其中xi′＝{[x1，...，xt]v1}(：，i)；

的維度從t減小到l，成分權(quán)重降維后變?yōu)椋?/p>

qt′＝us(34)

同時(shí)，目標(biāo)輸出量yt變?yōu)椋?/p>

yt′＝v2(：，1:l)^tyt(35)

最終逼近結(jié)果為：

f＝k′(xt)qt′yt′(36)。

在線控制器測(cè)量核函數(shù)相似度時(shí)給定兩個(gè)核函數(shù)：hold＝[k(xt-1，x1)，...，k(xt-1，xn)]表示上一時(shí)刻的信息，hnew＝[k(xt，x1)，...，k(xt，xn)]代表當(dāng)前時(shí)刻的信息，比對(duì)值定義為：

式中，<hold，hnew>f表示hold和hnew的frobenius范數(shù)，ka(hold，hnew)用來測(cè)量hold和hnew兩個(gè)核函數(shù)相似度；ka(hold，hnew)越大，相似度越高，反之亦然。

由于在mrac控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，高品質(zhì)的模型辨識(shí)和精確地在線控制是獲得良好控制性能的關(guān)鍵。與現(xiàn)有技術(shù)相比，本發(fā)明所采納的核遞歸最小二乘算法，建立的辨識(shí)模型能夠精確地匹配飛行器非線性模型，實(shí)現(xiàn)辨識(shí)模型和被控對(duì)象的最小結(jié)構(gòu)差別。本發(fā)明在此基礎(chǔ)上，采用基于特征提取降低核函數(shù)維度的改進(jìn)核遞歸最小二乘算法，解決了樣本核函數(shù)維數(shù)隨迭代次數(shù)增長(zhǎng)的固有缺陷，壓縮樣本核函數(shù)維數(shù)并自適應(yīng)在線調(diào)整控制器輸出量，在實(shí)時(shí)控制系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)了改善控制精度以及降低運(yùn)算負(fù)擔(dān)的效果。本發(fā)明設(shè)計(jì)模型參考自適應(yīng)的飛行器魯棒控制系統(tǒng)時(shí)，考慮該算法運(yùn)算復(fù)雜度實(shí)時(shí)增長(zhǎng)的缺陷，利用特征值提取進(jìn)行核函數(shù)降維，從而達(dá)到降低運(yùn)算負(fù)擔(dān)以改善控制效果。本發(fā)明構(gòu)建了一個(gè)模型參考自適應(yīng)空值魯棒控制系統(tǒng)，并對(duì)其進(jìn)行仿真驗(yàn)證，結(jié)果表明該控制系統(tǒng)具有較好的控制效果和很強(qiáng)的實(shí)時(shí)性。

附圖說明

圖1遞歸最小二乘算法rls結(jié)構(gòu)框圖；

圖2本發(fā)明模型參考自適應(yīng)魯棒控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖；

圖3核遞歸最小二乘算法辨識(shí)器結(jié)構(gòu)框圖；

圖4本發(fā)明改進(jìn)核遞歸最小二乘算法控制器結(jié)構(gòu)框圖；

圖5飛行器期望相應(yīng)圖；

圖6控制系統(tǒng)跟蹤效果圖。

具體實(shí)施方式

下面結(jié)合附圖對(duì)本發(fā)明做進(jìn)一步的詳細(xì)說明。

基于核遞歸最小二乘算法的模型參考自適應(yīng)飛行器魯棒控制系統(tǒng)按以下方法搭建：

1.krls離線辨識(shí)器；

1.1辨識(shí)模型定義；

并聯(lián)辨識(shí)模型是一種經(jīng)典的建立非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型的方法，即外輸入非線性自回歸滑動(dòng)平均模型(nonlinearauto-regressivemovingaveragewithexogenousinputsmodel，narmax)。該模型對(duì)于辨識(shí)過程中所用的全部輸入序列，系統(tǒng)都是有界輸入有界輸出(bibo)穩(wěn)定的。飛行器系統(tǒng)的可以描述為：

y(t)＝f(u(t)，u(t-t)，...，u(t-pt)，y(t-t)，…，y(t-nt))(11)

式中，u(t)表示系統(tǒng)輸入信號(hào)，y(t)表示系統(tǒng)輸出信號(hào)，f(·)表示未知非線性函數(shù)，它由過去n時(shí)刻的輸出信號(hào)和p時(shí)刻的所有輸入信號(hào)構(gòu)成，t是采樣時(shí)間。如圖4所示，選擇{u(t)，u(t-t)，...，u(t-pt)，y(t-t)，...，y(t-nt)}和y(t)作為辨識(shí)器的輸入xt和輸出yt，

式(11)可以表示為：

yt＝f(xt)(12)

1.2辨識(shí)器設(shè)計(jì)；

設(shè)計(jì)辨識(shí)器的目的就是逼近未知非線性函數(shù)f(·)。

基于krls算法，根據(jù)式(5)，辨識(shí)器輸出為：

式中，ht＝[k(xt，x1)，...，k(xt，xn)]，{x1，...xn，y1，...，yn}表示訓(xùn)練樣本，n表示樣本個(gè)數(shù)。辨識(shí)目標(biāo)就是使辨識(shí)系統(tǒng)的輸出與實(shí)際系統(tǒng)的輸出誤差最小。

根據(jù)式(10)，權(quán)值αt取：

式中，k是mercer核矩陣，[k]i，j＝k(xi，xj)，i＝1，...，n，j＝1，...，n，y＝[y1，...，yn]^t。

2.m-krls在線控制器；

2.1控制模型定義；

控制器設(shè)計(jì)的目的是獲得控制系統(tǒng)輸入u，使得飛行器系統(tǒng)輸出y(t)可以準(zhǔn)確跟蹤由參考模型rm產(chǎn)生的任何期望輸出軌跡y^*(t)。參考模型由飛行器飛行品質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)生。

因?yàn)閰⒖寄Ｐ捅旧硎且粋€(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，參考模型輸出y^*(t)可以表示為過去l時(shí)刻的輸入信號(hào)和過去m時(shí)刻輸出信號(hào)的函數(shù)：

y^*(t)＝p[y^*(t-t]，...，y^*(t-mt)，r(t)，r(t-t)，...，r(t-lt)](15)

式中，p[·]是光滑的連續(xù)函數(shù)?？刂破飨到y(tǒng)可以描述為：

u(t)＝g[y^*(t)，y(t-t)，...，y(t-nt)，u(t-t)，...，u(t-pt)](16)

式中，映射函數(shù)g[·]存在且唯一。因此，控制器的目標(biāo)是逼近未知的映射函數(shù)g[·]。

將式(15)代入式(16)得到，

u(t)＝g[p[y^*(t-t)，...，y^*(t-mt)，r(t)，r(t-t)，...，r(t-lt)]，y(t

-t)，...，y(t-nt)，u(t-t)，...，u(t

-pt)](17)

顯然，控制輸入u是關(guān)于飛行器控制響應(yīng)y和參考信號(hào)y^*，y的函數(shù)。如果飛行器可以精確跟蹤任意軌跡，那么y^*＝y(tǒng)。因此，我們可以在上述公式中用y來代替y^*，

u(t)＝r[y(t-t)，...，y(t-mt)，r(t)，r(t-t)，...，r(t-lt)](18)

式中，r[·]是光滑的連續(xù)函數(shù)。

如圖5所示，選擇[y(t-t)，...，y(t-mt)，r(t)，r(t-t)，...，r(t-lt)]和u(t)作為控制器在t時(shí)刻的輸入xt和輸出ut：

ut＝r(xt)(19)

2.2控制器設(shè)計(jì)：

映射函數(shù)r[·]是未知的，采用m-krls逼近未知的r[·]，構(gòu)造控制器計(jì)算控制量u(t)?？刂破鞯妮斎胧钱?dāng)前和過去的參考信號(hào)以及過去的飛行器系統(tǒng)輸出?？刂破鞯妮敵龅扔冢?/p>

式中，是m-krls算法t時(shí)刻的輸出。這意味著控制器設(shè)計(jì)的目標(biāo)是使得飛行器系統(tǒng)實(shí)際輸出和m-krls控制器的輸出的誤差最小。

控制器設(shè)計(jì)的難點(diǎn)在于期望的控制量ut是未知的，不能直接獲得逼近誤差δut，對(duì)應(yīng)于表2中的et。在m-krls控制器中，假設(shè)辨識(shí)誤差忽略不計(jì)，跟蹤誤差δu由辨識(shí)器計(jì)算得到。

可知，

可以輕易得到，

式中，

線性的類pid控制器在一定的確定的工作范圍內(nèi)，用來控制系統(tǒng)的線性動(dòng)態(tài)。那么，飛行器控制系統(tǒng)輸出可以看成是類pid控制器和m-krls控制器輸出量的總和：

2.3m-krls算法；

2.3.1pca方法；

pca是一種在無監(jiān)督降維中常用的非線性特征提取方法。pca通過線性變換將原始數(shù)據(jù)變換為一組各維度線性無關(guān)的表示，可用于提取數(shù)據(jù)的主要特征分量，常用于高維數(shù)據(jù)的降維。對(duì)一個(gè)給定的矩陣a∈r^m×m，pca的目標(biāo)是計(jì)算矩陣a的karhunen-loève變換矩陣主要步驟如下：

1)矩陣a進(jìn)行歸一化處理，得到矩陣b，使得：

2)計(jì)算矩陣b的協(xié)方差矩陣：

c＝cov(b)(25)

3)計(jì)算矩陣c的特征向量v和特征值m：

v^-1cv＝m(26)

式中，m是特征值的對(duì)角矩陣。

4)對(duì)特征值m進(jìn)行降序排序，同時(shí)相應(yīng)對(duì)特征向量進(jìn)行排序，得到排序后的特征矩陣

5)根據(jù)特征值，選擇前n’個(gè)主成分，n’≤n。因此可以得到：

2.3.2svd方法；

矩陣a∈r^m×n，存在一個(gè)正交矩陣u＝[u1，...，um]∈r^m×m和一個(gè)正交矩陣v＝[v1，...，vn]∈r^n×n，使得u^tav＝diag(σ1，...，σp)∈r^m×n，p＝min{m，n}，σ1≥σ2≥…≥σp≥0。σi是矩陣a的特征值，向量ui和vi分別是第i個(gè)做左奇異向量和右奇異向量。尋找矩陣u和v的過程即就是奇異值分解(svd)。

根據(jù)golub-reinsch算法，運(yùn)算復(fù)雜度為o(m²n+mn²+n³)。假設(shè)m＞n，對(duì)于u(：，1：n)＝[u1，...，un]，運(yùn)算復(fù)雜度變?yōu)閛(mn²+n³)。

如果r＜rank(a)，令：

那么，

換句話說，a^*是矩陣a的最佳2范數(shù)逼近。a^*＝u(：，1：r)sv(：，1：r)t，其中s＝diag(σ1，...，σr)，u(：,1：r)＝[u1，...，ur]，v(：，1：r)＝[v1，...，vr]。定義x＝[x1，...，xn]是一個(gè)所有元素相互獨(dú)立的向量，那么ax≈bz，此時(shí)，b＝u(：，1：r)s，z＝v(：，1：r)tx是一個(gè)r×1的向量?？梢?，矩陣b的維度遠(yuǎn)低于原矩陣a，利用bz可以實(shí)現(xiàn)對(duì)ax的逼近。

2.3.3核函數(shù)相似度準(zhǔn)則；

測(cè)量核函數(shù)相似度是判斷數(shù)據(jù)冗余的關(guān)鍵技術(shù)。常用的基于信息和基于距離的方法容易丟失核函數(shù)的位置信息。本發(fā)明提出核比對(duì)方法(kernelalignmentmethod，ka)。給定兩個(gè)核函數(shù)，hold＝[k(xt-1，x1)，...，k(xt-1，xn)]表示上一時(shí)刻的信息，hnew＝[k(xt，x1)，...，k(xt，xn)]代表當(dāng)前時(shí)刻的信息，比對(duì)值定義為：

式中，<hold，hnew>f表示hold和hnew的frobenius范數(shù)。ka(hold，hnew)用來測(cè)量hold和hnew兩個(gè)核函數(shù)相似度。ka(hold，hnew)越大，相似度越高，反之亦然。ka(hold，hnew)表明了hnew的鑒別能力，同時(shí)評(píng)估了核函數(shù)的冗余度。

2.3.4m-krls算法流程；krls隨著迭代步長(zhǎng)的增長(zhǎng)帶來了巨大的計(jì)算負(fù)擔(dān)，最終呈現(xiàn)出了一個(gè)“肥胖”的核最小二乘算法。同時(shí)，核矩陣kt以及它的變型qt包含了越來越多不相關(guān)的信息反而減弱核最小二乘算法的泛化能力。以往的算法中，核函數(shù)維度越高，逼近精度越高，顯然越多的輸入數(shù)據(jù)流產(chǎn)生的核將帶來更好的逼近效果。但是，由于計(jì)算機(jī)物理存儲(chǔ)的限制，難以靠過多的核來獲取最佳的控制性能。在本發(fā)明中，我們引入了一種無監(jiān)督的特征值提取降維方法，刪除數(shù)據(jù)冗余信息并降低運(yùn)算復(fù)雜度。當(dāng)“肥胖”的核最小二乘算法經(jīng)過pca處理成為“苗條”的核最小二乘算法，降維后的qt可以進(jìn)行下一步迭代而不損失原有核矩陣信息。同時(shí)，krls方法可以自主進(jìn)行核函數(shù)的刪減與更新。

pca處理針對(duì)qt∈r^t×t代表了核函數(shù)ht和輸出f之間的聯(lián)系的成分權(quán)重。我們可以利用這些權(quán)重里的線性相關(guān)性和存在的偏差來減少核函數(shù)的數(shù)量。指定一個(gè)值l，使qt的維度從t減小到l。在進(jìn)行pca降維處理過程中，根據(jù)2.3.1，可以計(jì)算出特征向量v和特征值m。選擇超過最高特征值10％的特征值作為我們即將保留的成分，l即為保留成分的數(shù)量。保留下來的特征向量表示為降維后的成分權(quán)重變成：

于是，原來的t個(gè)核函數(shù)被替換為新的l個(gè)核函數(shù)，降維后的核函數(shù)變成：

h′(xt)＝h(xt)v1(32)

在我們的工作中，選擇線性核函數(shù)：

“核技巧”在線性條件下只需要直接計(jì)算不同樣本數(shù)據(jù)的內(nèi)積。因此，h′(xt)可以表示為[k(xt，x1′)，...，k(xt，xl′)]，其中xi′＝{[x1，...，xt]v1}(：，i)。

svd處理針對(duì)代表了目標(biāo)輸出值向量yt和輸出f之間的聯(lián)系的成分權(quán)重。我們可以利用這些權(quán)重里的線性相關(guān)性和存在的偏差來減少核函數(shù)的數(shù)量。參照2.3.2，經(jīng)過svd降維處理，存在正交陣u∈r^l×l和v2∈r^t×t，和對(duì)角陣s∈r^l×l。的維度從t減小到l，成分權(quán)重降維后變?yōu)椋?/p>

qt′＝us(34)

同時(shí)，目標(biāo)輸出量yt變?yōu)椋?/p>

yt′＝v2(：，1：l)^tyt(35)

最終的逼近結(jié)果為：

f＝k′(xt)qt′yt′(36)；

表3m-krls算法更新流程

仿真例

考慮一個(gè)高性能戰(zhàn)斗機(jī)的縱軸控制問題。當(dāng)戰(zhàn)斗機(jī)以150ft/s和攻角15deg在2000ft高空飛行，飛行器的局部非線性攝動(dòng)方程可以描述為：

式中，b＝[000020]^t，c＝[00100]，d＝0，其中x＝[vt，α，q，θ，δe]∈r⁵分別代表速度，攻角，俯仰角速率，升降舵偏轉(zhuǎn)。g(x)是平滑且有界的非線性函數(shù)，表示為：

仿真根據(jù)一級(jí)飛行品質(zhì)要求，俯仰角速度指令相應(yīng)的傳遞函數(shù)為飛行器期望相應(yīng)如圖5所示。從圖6中能夠看出，該控制系統(tǒng)能夠勝任飛行器的控制要求，取得了良好的控制效果，并且有很高的實(shí)時(shí)性。