本發(fā)明涉及分?jǐn)?shù)階控制技術(shù)領(lǐng)域，特別涉及一種分?jǐn)?shù)階pid控制器的有理化實(shí)現(xiàn)方法。

背景技術(shù)：

近年來(lái)提出的分?jǐn)?shù)階控制器，具有適應(yīng)性強(qiáng)以及可調(diào)參數(shù)多等特點(diǎn)，因此具有很強(qiáng)的工程使用性，尤其是對(duì)非線(xiàn)性耦合系統(tǒng)。目前，分?jǐn)?shù)階控制器的研究與應(yīng)用已經(jīng)取得了一些成果。vahidbadri對(duì)分?jǐn)?shù)階pd^α控制器進(jìn)行了綜合與分析，koteswara等人基于能量流設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階pi^α控制器，并對(duì)控制器的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，karimaamoura等人設(shè)計(jì)了一種微調(diào)分?jǐn)?shù)階pi^βd^α控制器，p.lanusse，d.valerio等人對(duì)分別對(duì)crone控制器進(jìn)行了研究，de-jinwang提出了分?jǐn)?shù)階lead/lag補(bǔ)償控制器的設(shè)計(jì)方法。在以上分?jǐn)?shù)階控制器的實(shí)現(xiàn)過(guò)程中，微積分算子數(shù)字化實(shí)現(xiàn)是重要的研究?jī)?nèi)容。微分算子的數(shù)字化實(shí)現(xiàn)方法多采用oustaloup計(jì)算方法，由于oustaloup方法在實(shí)現(xiàn)過(guò)程中要求頻域內(nèi)逼近區(qū)間的邊界頻率指數(shù)嚴(yán)格對(duì)稱(chēng)，同時(shí)oustaloup在逼近區(qū)間邊界處的逼近準(zhǔn)確性較差，導(dǎo)致實(shí)現(xiàn)方法不夠靈活，因此對(duì)于微積分算子的實(shí)現(xiàn)方法尚需改進(jìn)。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明旨在至少解決上述技術(shù)問(wèn)題之一。

為此，本發(fā)明的目的在于提出一種分?jǐn)?shù)階pid控制器的有理化實(shí)現(xiàn)方法，該方法能夠提高分?jǐn)?shù)階pid控制器的瞬態(tài)響應(yīng)及穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性，同時(shí)豐富和完善了分?jǐn)?shù)階控制理論，可有效地應(yīng)用到分?jǐn)?shù)階控制器的設(shè)計(jì)、分析與實(shí)現(xiàn)中。

為了實(shí)現(xiàn)上述目的，本發(fā)明的實(shí)施例提出了一種分?jǐn)?shù)階pid控制器的有理化實(shí)現(xiàn)方法，包括以下步驟：s1：根據(jù)最佳逼近原理得到最佳有理逼近實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)則，并根據(jù)所述最佳有理逼近實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)則建立最佳有理逼近函數(shù)；s2：建立分?jǐn)?shù)pid控制器中的分?jǐn)?shù)階積分項(xiàng)與分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的最佳有理逼近函數(shù)，并代入分?jǐn)?shù)階pid控制器的傳遞函數(shù)，以進(jìn)行分?jǐn)?shù)階pid控制器的有理化設(shè)計(jì)。

另外，根據(jù)本發(fā)明上述實(shí)施例的分?jǐn)?shù)階pid控制器的有理化實(shí)現(xiàn)方法還可以具有如下附加的技術(shù)特征：

在一些示例中，在所述s1中，所述最佳逼近原理包括：有理逼近、最佳逼近和存在性引理，其中，所述有理逼近為：在定義域[a,b]內(nèi)，存在互斥的兩個(gè)函數(shù)子集c[a,b]，r[a,b]，對(duì)于給定函數(shù)f∈c[a,b]，在范數(shù)||f||＝maxa≤x≤b|f(x)|條件下，利用子集r[a,b]中的有理函數(shù)r對(duì)指定函數(shù)f∈c[a,b]進(jìn)行逼近；所述最佳逼近為：給定函數(shù)f∈c[a,b]，對(duì)于函數(shù)f的最佳逼近度量為：其中為逼近偏差，并當(dāng)存在函數(shù)r^*(x)∈r[a,b]滿(mǎn)足條件e(r^*)＝δ(f；r)時(shí)，函數(shù)r^*(x)∈r[a,b]稱(chēng)為f的最佳有理逼近函數(shù)；所述存在性引理為：在定義域[a,b]內(nèi)，對(duì)于任意函數(shù)f∈c[a,b]，r[a,b]中存在且不止一個(gè)函數(shù)r^*(x)∈r[a,b]，使函數(shù)方程e(r^*)＝δ(f；r)成立。

在一些示例中，所述最佳有理逼近實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)則包括：根據(jù)所述存在性引理，在s域中，存在最佳有理函數(shù)對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分算子進(jìn)行逼近，所述最佳逼近提供了最佳有理逼近函數(shù)的建立方法；利用漸近線(xiàn)方法在幅頻特性的基礎(chǔ)上建立最佳有理逼近函數(shù)，同時(shí)保證相頻特性的一致性；在建立所述最佳有理逼近函數(shù)時(shí)，建立具有n個(gè)單負(fù)實(shí)極點(diǎn)及m個(gè)單負(fù)實(shí)零點(diǎn)逼近函數(shù)，并且滿(mǎn)足n-m∈{0,1}。

在一些示例中，在所述步驟s2中，所述分?jǐn)?shù)階pid控制器的傳遞函數(shù)gc(s)為：

其中，kp為比例系數(shù)，ki為積分系數(shù)，kd為微分系數(shù)，s^-α為分?jǐn)?shù)階積分算子，s^β為分?jǐn)?shù)階微分算子0<α<10<β<1。

在一些示例中，所述s2，進(jìn)一步包括：設(shè)分?jǐn)?shù)階pid控制器中的積分項(xiàng)傳遞函數(shù)為：

對(duì)公式(2)進(jìn)行有理化逼近時(shí)，首先需要確定逼近區(qū)間[ωl,ωh]，然后在逼近區(qū)間上繪制積分項(xiàng)對(duì)應(yīng)的伯德圖lreal，接著確定逼近函數(shù)所滿(mǎn)足的允許誤差ε(db)，根據(jù)允許誤差繪制與lreal具有相同斜率的兩條漸近線(xiàn)lup和ldwon，兩條漸近線(xiàn)的函數(shù)分別：

其中，公式(3)為漸近線(xiàn)lup的傳遞函數(shù)，公式(4)為漸近線(xiàn)ldown的傳遞函數(shù)；

通過(guò)對(duì)公式(2)至公式(4)進(jìn)行幅頻特性分析，得到三條曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線(xiàn)，分別為：

lreal(ω)＝20lgkreal-20lgω^α(5)

lup(ω)＝20lgkup-20lgω^α(6)

ldown(ω)＝20lgkdown-20lgω^α(7)

根據(jù)公式(5)至公式(7)可以得到：

根據(jù)被逼近的函數(shù)幅頻特性曲線(xiàn)，首先確定第一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率ω1，然后在兩條漸近線(xiàn)之間分別用斜率為-20db/dec和0db/dec組合的折線(xiàn)來(lái)逼近曲線(xiàn)lreal，同時(shí)確定后續(xù)的轉(zhuǎn)折頻率，觀察逼近過(guò)程，最后根據(jù)所求得的轉(zhuǎn)折頻率得到逼近函數(shù)，即為分?jǐn)?shù)階pid控制器的分?jǐn)?shù)階積分項(xiàng)的最佳有理逼近函數(shù)；

計(jì)算得到分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)kds^β的最佳有理逼近函數(shù)，將分?jǐn)?shù)階pid控制器中的分?jǐn)?shù)階積分項(xiàng)ki/s^α與分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)kds^β的最佳有理逼近函數(shù)代入公式(2)，以實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階pid控制器的有理化設(shè)計(jì)。

在一些示例中，所述分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)kds^β與分?jǐn)?shù)階積分項(xiàng)ki/s^α的有理化原理相同。

根據(jù)本發(fā)明實(shí)施例的分?jǐn)?shù)階pid控制器的有理化實(shí)現(xiàn)方法，大大提高了分?jǐn)?shù)階pid控制器的瞬態(tài)響應(yīng)及穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性，以及豐富和完善了分?jǐn)?shù)階控制理論，可有效地應(yīng)用到分?jǐn)?shù)階控制器的設(shè)計(jì)、分析與實(shí)現(xiàn)中。

本發(fā)明的附加方面和優(yōu)點(diǎn)將在下面的描述中部分給出，部分將從下面的描述中變得明顯，或通過(guò)本發(fā)明的實(shí)踐了解到。

附圖說(shuō)明

本發(fā)明的上述和/或附加的方面和優(yōu)點(diǎn)從結(jié)合下面附圖對(duì)實(shí)施例的描述中將變得明顯和容易理解，其中：

圖1是根據(jù)本發(fā)明實(shí)施例的分?jǐn)?shù)階pid控制器的有理化實(shí)現(xiàn)方法的流程圖；

圖2是根據(jù)本發(fā)明一個(gè)實(shí)施例的分?jǐn)?shù)階積分項(xiàng)幅頻曲線(xiàn)及漸近線(xiàn)示意圖。

具體實(shí)施方式

下面詳細(xì)描述本發(fā)明的實(shí)施例，所述實(shí)施例的示例在附圖中示出，其中自始至終相同或類(lèi)似的標(biāo)號(hào)表示相同或類(lèi)似的元件或具有相同或類(lèi)似功能的元件。下面通過(guò)參考附圖描述的實(shí)施例是示例性的，僅用于解釋本發(fā)明，而不能理解為對(duì)本發(fā)明的限制。

在本發(fā)明的描述中，需要理解的是，術(shù)語(yǔ)“中心”、“縱向”、“橫向”、“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”、“豎直”、“水平”、“頂”、“底”、“內(nèi)”、“外”等指示的方位或位置關(guān)系為基于附圖所示的方位或位置關(guān)系，僅是為了便于描述本發(fā)明和簡(jiǎn)化描述，而不是指示或暗示所指的裝置或元件必須具有特定的方位、以特定的方位構(gòu)造和操作，因此不能理解為對(duì)本發(fā)明的限制。此外，術(shù)語(yǔ)“第一”、“第二”僅用于描述目的，而不能理解為指示或暗示相對(duì)重要性。

在本發(fā)明的描述中，需要說(shuō)明的是，除非另有明確的規(guī)定和限定，術(shù)語(yǔ)“安裝”、“相連”、“連接”應(yīng)做廣義理解，例如，可以是固定連接，也可以是可拆卸連接，或一體地連接；可以是機(jī)械連接，也可以是電連接；可以是直接相連，也可以通過(guò)中間媒介間接相連，可以是兩個(gè)元件內(nèi)部的連通。對(duì)于本領(lǐng)域的普通技術(shù)人員而言，可以具體情況理解上述術(shù)語(yǔ)在本發(fā)明中的具體含義。

以下結(jié)合附圖描述根據(jù)本發(fā)明實(shí)施例的分?jǐn)?shù)階pid控制器的有理化實(shí)現(xiàn)方法。

圖1是根據(jù)本發(fā)明一個(gè)實(shí)施例的分?jǐn)?shù)階pid控制器的有理化實(shí)現(xiàn)方法的流程圖。如圖1所示，該方法包括以下步驟：

步驟s1：根據(jù)最佳逼近原理得到最佳有理逼近實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)則，并根據(jù)最佳有理逼近實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)則建立最佳有理逼近函數(shù)。

步驟s2：建立分?jǐn)?shù)pid控制器中的分?jǐn)?shù)階積分項(xiàng)與分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的最佳有理逼近函數(shù)，并代入分?jǐn)?shù)階pid控制器的傳遞函數(shù)，以進(jìn)行分?jǐn)?shù)階pid控制器的有理化設(shè)計(jì)。

其中，在本發(fā)明的一個(gè)實(shí)施例中，在步驟s1中，最佳逼近原理包括：有理逼近、最佳逼近和存在性引理，其中，

有理逼近為：在定義域[a,b]內(nèi)，存在互斥的兩個(gè)函數(shù)子集c[a,b]，r[a,b]，對(duì)于給定函數(shù)f∈c[a,b]，在范數(shù)||f||＝maxa≤x≤b|f(x)|條件下，利用子集r[a,b]中的有理函數(shù)r對(duì)指定函數(shù)f∈c[a,b]進(jìn)行逼近。

最佳逼近為：給定函數(shù)f∈c[a,b]，對(duì)于函數(shù)f的最佳逼近度量為：其中為逼近偏差，并當(dāng)存在函數(shù)r^*(x)∈r[a,b]滿(mǎn)足條件e(r^*)＝δ(f；r)時(shí)，函數(shù)r^*(x)∈r[a,b]稱(chēng)為f的最佳有理逼近函數(shù)。

存在性引理為：在定義域[a,b]內(nèi)，對(duì)于任意函數(shù)f∈c[a,b]，r[a,b]中存在且不止一個(gè)函數(shù)r^*(x)∈r[a,b]，使函數(shù)方程e(r^*)＝δ(f；r)成立。

通過(guò)以上描述的最佳逼近定義及存在性引理表明，分?jǐn)?shù)階微積分f＝s^±α存在最佳有理逼近函數(shù)。

進(jìn)一步地，在本發(fā)明的一個(gè)實(shí)施例中，最佳有理逼近實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)則包括以下三點(diǎn)內(nèi)容：

(1)存在性引理表明，在s域中，存在最佳有理函數(shù)對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分算子進(jìn)行逼近，最佳逼近提供了最佳有理逼近函數(shù)的建立方法；

(2)根據(jù)最佳有理逼近函數(shù)的定義可知，最佳有理逼近函數(shù)即為傳遞函數(shù)。因此，利用漸近線(xiàn)方法在幅頻特性的基礎(chǔ)上建立最佳有理逼近函數(shù)，同時(shí)保證相頻特性的一致性；

(3)在建立最佳有理逼近函數(shù)時(shí)，建立具有n個(gè)單負(fù)實(shí)極點(diǎn)及m個(gè)單負(fù)實(shí)零點(diǎn)逼近函數(shù)，并且滿(mǎn)足n-m∈{0,1}，從而使逼近結(jié)果更加準(zhǔn)確。

在本發(fā)明的一個(gè)實(shí)施例中，在步驟s2中，進(jìn)行分?jǐn)?shù)階pid控制器的有理化設(shè)計(jì)過(guò)程，具體包括：

分?jǐn)?shù)階pid控制器的傳遞函數(shù)gc(s)為：

其中，kp為比例系數(shù)，ki為積分系數(shù)，kd為微分系數(shù)，s^-α為分?jǐn)?shù)階積分算子，s^β為分?jǐn)?shù)階微分算子0<α<10<β<1。

進(jìn)一步地，分?jǐn)?shù)階pid控制器的有理化實(shí)現(xiàn)本質(zhì)上是分?jǐn)?shù)階微積分項(xiàng)的有理化函數(shù)逼近過(guò)程。分?jǐn)?shù)階積分項(xiàng)ki/s^α與分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)kds^β的有理化原理相同，因此以分?jǐn)?shù)階積分項(xiàng)ki/s^α為例介紹有理化實(shí)現(xiàn)的具體過(guò)程。具體包括

設(shè)分?jǐn)?shù)階pid控制器中的積分項(xiàng)傳遞函數(shù)為：

對(duì)公式(2)進(jìn)行有理化逼近時(shí)，首先需要確定逼近區(qū)間[ωl,ωh]，然后在逼近區(qū)間上繪制積分項(xiàng)對(duì)應(yīng)的伯德圖，如圖2中的lreal，接著確定逼近函數(shù)所滿(mǎn)足的允許誤差ε(db)，根據(jù)允許誤差繪制與lreal具有相同斜率的兩條漸近線(xiàn)lup和ldwon，兩條漸近線(xiàn)的函數(shù)分別：

其中，公式(3)為漸近線(xiàn)lup的傳遞函數(shù)，公式(4)為漸近線(xiàn)ldown的傳遞函數(shù)。

通過(guò)對(duì)公式(2)至公式(4)進(jìn)行幅頻特性分析，可以得到三條曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線(xiàn)，分別為：

lreal(ω)＝20lgkreal-20lgω^α(5)

lup(ω)＝20lgkup-20lgω^α(6)

ldown(ω)＝20lgkdown-20lgω^α(7)

根據(jù)公式(5)至公式(7)可以得到：

根據(jù)被逼近的函數(shù)幅頻特性曲線(xiàn)，首先確定第一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率ω1，例如圖2所示；然后在兩條漸近線(xiàn)之間分別用斜率為-20db/dec和0db/dec組合的折線(xiàn)來(lái)逼近曲線(xiàn)lreal，同時(shí)確定后續(xù)的轉(zhuǎn)折頻率，觀察逼近過(guò)程，例如圖2所示；最后根據(jù)所求得的轉(zhuǎn)折頻率得到逼近函數(shù)，即為分?jǐn)?shù)階pid控制器的分?jǐn)?shù)階積分項(xiàng)的最佳有理逼近函數(shù)。

由于分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)kds^β與分?jǐn)?shù)階積分項(xiàng)ki/s^α的有理化原理相同，因此，采用相同的計(jì)算原理可以計(jì)算得到分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)kds^β的最佳有理逼近函數(shù)，將分?jǐn)?shù)階pid控制器中的分?jǐn)?shù)階積分項(xiàng)ki/s^α與分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)kds^β的最佳有理逼近函數(shù)代入公式(2)，以實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階pid控制器的有理化設(shè)計(jì)。

綜上，本發(fā)明實(shí)施例的分?jǐn)?shù)階pid控制器的有理化實(shí)現(xiàn)方法，基于最佳逼近原理，提出最佳有理函數(shù)的分?jǐn)?shù)階微積分算子的逼近方法，在此基礎(chǔ)上完成對(duì)分?jǐn)?shù)階pid控制器的有理化設(shè)計(jì)，從而大大提高了分?jǐn)?shù)階pid控制器的瞬態(tài)響應(yīng)及穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性，以及豐富和完善了分?jǐn)?shù)階控制理論，可有效地應(yīng)用到分?jǐn)?shù)階控制器的設(shè)計(jì)、分析與實(shí)現(xiàn)中。

在本說(shuō)明書(shū)的描述中，參考術(shù)語(yǔ)“一個(gè)實(shí)施例”、“一些實(shí)施例”、“示例”、“具體示例”、或“一些示例”等的描述意指結(jié)合該實(shí)施例或示例描述的具體特征、結(jié)構(gòu)、材料或者特點(diǎn)包含于本發(fā)明的至少一個(gè)實(shí)施例或示例中。在本說(shuō)明書(shū)中，對(duì)上述術(shù)語(yǔ)的示意性表述不一定指的是相同的實(shí)施例或示例。而且，描述的具體特征、結(jié)構(gòu)、材料或者特點(diǎn)可以在任何的一個(gè)或多個(gè)實(shí)施例或示例中以合適的方式結(jié)合。

盡管已經(jīng)示出和描述了本發(fā)明的實(shí)施例，本領(lǐng)域的普通技術(shù)人員可以理解：在不脫離本發(fā)明的原理和宗旨的情況下可以對(duì)這些實(shí)施例進(jìn)行多種變化、修改、替換和變型，本發(fā)明的范圍由權(quán)利要求及其等同限定。