本發(fā)明屬于復(fù)雜曲面五軸數(shù)控加工，尤其涉及一種基于旋轉(zhuǎn)矢量插值的五軸加工連續(xù)刀軸光順方法。

背景技術(shù)：

1、當(dāng)前，在汽車、航空等諸多工業(yè)領(lǐng)域，復(fù)雜曲面零件的制造顯得尤為關(guān)鍵，而五軸數(shù)控加工技術(shù)正是實(shí)現(xiàn)這類零件高性能制造的重要支撐。鑒于此類零件幾何形狀的復(fù)雜性，五軸加工過程中需要適應(yīng)性地調(diào)整切削刀具的傾斜角度，以保證加工過程局部與全局均無干涉。同時(shí)，由于機(jī)床驅(qū)動(dòng)能力的固有限制，必須考慮刀具姿態(tài)變化的光順性，以消除刀軸的劇烈擺動(dòng)，確保刀具的運(yùn)動(dòng)軌跡平滑穩(wěn)定。因此，五軸加工軌跡規(guī)劃的難題之一，便在于如何同時(shí)實(shí)現(xiàn)刀具干涉的規(guī)避與刀軸運(yùn)動(dòng)軌跡的光順。國內(nèi)外學(xué)者對(duì)此存在兩種思路，其一是構(gòu)造可行空間并在可行空間內(nèi)優(yōu)選刀軸矢量，例如，丁漢等人的發(fā)明專利“五軸數(shù)控加工光滑無干涉刀具路徑的規(guī)劃方法”(專利號(hào)：cn200710045183.9)便是在各個(gè)刀位點(diǎn)處構(gòu)建離散的可達(dá)方向錐以保證無干涉，隨后從可達(dá)方向錐中優(yōu)選光順的刀軸；另外一種思路則是先產(chǎn)生光順的刀軸再調(diào)整以避免干涉。前者需要計(jì)算每個(gè)刀位處的可行空間，計(jì)算代價(jià)大，后者則往往借助插值算法生成中間刀具姿態(tài)，無需繁瑣的逐刀位、逐備選刀軸的干涉判斷。例如，發(fā)明專利“一種插值若干給定控制點(diǎn)方向的五軸路徑生成方法”(專利號(hào)：cn201110439114.2)在加工路徑上選取控制點(diǎn)和相應(yīng)的刀軸，計(jì)算各控制點(diǎn)處刀軸所對(duì)應(yīng)的仰角和方位角，利用線性插值方法得到中間刀軸。鑒于四元數(shù)在表示三維物體的旋轉(zhuǎn)及方位具有獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，如速度更快、提供平滑插值、有效避免萬向鎖問題、存儲(chǔ)空間較小等，因此基于四元數(shù)的插值也常被用在五軸加工中的刀軸規(guī)劃上。例如，文獻(xiàn)“ho?m?c,hwang?yr,hu?c?h.five-axis?tool?orientation?smoothing?using?quaternion?interpolationalgorithm[j].international?journal?of?machine?tools?and?manufacture,2003,43(12):1259-1267.”公開了一種基于球面線性插值方法的刀軸光順方法，旨在對(duì)關(guān)鍵刀姿進(jìn)行插值以生成整條加工路徑上光順的刀軸軌跡。發(fā)明專利“一種對(duì)五軸加工刀具平滑加工路徑的方法”(專利號(hào)：cn201210157900.8)公開了一種基于四元數(shù)的刀軸矢量光順方法。發(fā)明專利“基于四元數(shù)螺旋線球面插補(bǔ)法的數(shù)控機(jī)床球面加工方法”(專利號(hào)：cn201711318701.x)則是基于球面螺旋線法，提出了采用四元數(shù)插補(bǔ)的球面加工方法。但上述基于四元數(shù)的刀軸光順方法大都是線性插值，難以保證刀軸運(yùn)動(dòng)的高階連續(xù)。介于旋轉(zhuǎn)矢量相對(duì)于單位四元數(shù)在表示旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)形式更加緊湊，本發(fā)明提出的基于旋轉(zhuǎn)矢量的連續(xù)刀軸光順上述方法均未涉及，到目前為止，基于旋轉(zhuǎn)矢量并直接以刀軸光順為目標(biāo)的五軸加工連續(xù)刀軸光順插值方法尚未報(bào)道。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)思路

1、為了實(shí)現(xiàn)五軸加工連續(xù)刀軸光順插值，保證刀軸運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性，本發(fā)明提出了一種基于旋轉(zhuǎn)矢量插值的五軸加工連續(xù)刀軸光順方法。

2、本發(fā)明的技術(shù)方案：

3、一種基于旋轉(zhuǎn)矢量插值的五軸加工連續(xù)刀軸光順方法，首先，采用四元數(shù)這一數(shù)學(xué)工具，將關(guān)鍵刀位處的刀具姿態(tài)描述為單位四元數(shù)；接著，利用單位四元數(shù)的對(duì)數(shù)運(yùn)算，將其轉(zhuǎn)換為旋轉(zhuǎn)矢量以簡化后續(xù)的插值光順計(jì)算，同時(shí)保留原姿態(tài)的所有運(yùn)動(dòng)信息；為實(shí)現(xiàn)刀軸運(yùn)動(dòng)的c3連續(xù)性，采用五次b樣條曲線作為插值工具，來精確表示整條加工軌跡上的中間旋轉(zhuǎn)矢量；為獲得插值于關(guān)鍵刀位姿態(tài)的b樣條曲線，綜合考慮樣條曲線的能量泛函最小化和關(guān)鍵刀位約束的滿足，構(gòu)建并求解一個(gè)基于拉格朗日乘子法的線性方程組，以確定b樣條曲線的控制點(diǎn)坐標(biāo)；最后，利用四元數(shù)的指數(shù)運(yùn)算，將插值得到的中間旋轉(zhuǎn)矢量映射回四元數(shù)空間，從而確定平滑的中間刀具姿態(tài)。

4、具體步驟如下：

5、步驟1)、考慮刀軸矢量相對(duì)于初始方位的旋轉(zhuǎn)，將關(guān)鍵刀位處的刀具姿態(tài)轉(zhuǎn)換為單位四元數(shù)：根據(jù)事先指定切削特性所設(shè)定的無干涉的關(guān)鍵刀位為其中為刀位點(diǎn)，os為工件坐標(biāo)系下的三維刀軸矢量，s為關(guān)鍵刀位的序號(hào)，js為第s個(gè)關(guān)鍵刀位包含的刀位點(diǎn)在整個(gè)刀位點(diǎn)集中的序號(hào)；由此，關(guān)鍵刀位處的刀軸矢量os轉(zhuǎn)換為單位四元數(shù)的轉(zhuǎn)換過程表示為：

6、

7、式中，or表示刀具在對(duì)刀完畢后的初始方位，vs為由or旋轉(zhuǎn)至os的單位旋轉(zhuǎn)軸，θs為由or旋轉(zhuǎn)至os的旋轉(zhuǎn)角，qs為由or旋轉(zhuǎn)至os對(duì)應(yīng)的單位四元數(shù)；當(dāng)or＝±os，則采用如下的公式指定單位四元數(shù)：

8、

9、步驟2)、利用單位四元數(shù)的對(duì)數(shù)運(yùn)算，將關(guān)鍵刀軸對(duì)應(yīng)的單位四元數(shù)轉(zhuǎn)換為旋轉(zhuǎn)矢量以簡化后續(xù)的插值光順計(jì)算：

10、rs＝2ln?(qs)＝θsvs?(3)

11、式中，rs為單位四元數(shù)qs對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量，為一個(gè)三維矢量；

12、步驟3)、對(duì)步驟2)獲得的旋轉(zhuǎn)矢量進(jìn)行光順插值；首先，采用五次b樣條曲線作為插值工具，來精確表示整條加工軌跡上的中間旋轉(zhuǎn)矢量：

13、

14、式中，為該五次b樣條曲線的控制點(diǎn)；k為該五次b樣條曲線的次數(shù)，且k＝5；m+1是控制點(diǎn)的數(shù)目；ni,k(u)是五次b樣條基函數(shù)，定義在參數(shù)u和節(jié)點(diǎn)矢量u上；為確定節(jié)點(diǎn)矢量u，首先對(duì)刀位點(diǎn)集進(jìn)行如下的向心參數(shù)化：

15、

16、式中，分別是兩端點(diǎn)刀位點(diǎn)pc,0、的參數(shù)化結(jié)果，是中間刀位點(diǎn)pc,j的參數(shù)化結(jié)果，其中索引j＝1,…,nc-1，nc+1則是刀位點(diǎn)的總數(shù)；根據(jù)式(5)的參數(shù)化結(jié)果節(jié)點(diǎn)矢量u＝[u0,u1,…,um+k+1]由下式確定：

17、

18、式中，ui代表節(jié)點(diǎn)矢量u的第i個(gè)節(jié)點(diǎn)，i＝0,1,…,m+k+1，則是索引為t的刀位點(diǎn)pc,t的參數(shù)化結(jié)果，由式(5)確定，而a、t、α是計(jì)算節(jié)點(diǎn)矢量u涉及到的中間變量，由式(6)確定；隨后，綜合考慮樣條曲線的能量泛函最小化和關(guān)鍵刀位約束的滿足，求取該b樣條曲線的控制點(diǎn)；該曲線的能量泛函定義如下：

19、

20、若想滿足關(guān)鍵刀位約束，則式(4)所描述的b樣條曲線必須通過關(guān)鍵刀位點(diǎn)對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量即滿足如下等式：

21、

22、式中，是索引為js的刀位點(diǎn)的參數(shù)，由式(5)確定；因此，該插值任務(wù)便轉(zhuǎn)化為如下的優(yōu)化任務(wù)：

23、

24、這是一個(gè)帶有線性約束的二次最小化問題；通過向優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)e添加拉格朗日乘子向量和式(8)所示的約束條件，得到如下的拉格朗日函數(shù)l，即：

25、

26、式中，是拉格朗日乘子；令偏導(dǎo)數(shù)和為零，其中g(shù)＝0,1,…,m，h＝0,1,…,nk，得到如下的線性方程組：

27、

28、其中，φ＝[φi,j](m+1)×(m+1)是一個(gè)對(duì)稱矩陣，其元素為：

29、

30、矩陣ω的具體表示如下：

31、

32、r和λ分別是控制點(diǎn)和拉格朗日乘數(shù)組成的列向量；η則是包含所插值的旋轉(zhuǎn)矢量的列向量；隨后，求解線性方程式(11)得到控制點(diǎn)，由此得到平滑地插值于關(guān)鍵刀位的旋轉(zhuǎn)矢量；

33、步驟4)、利用四元數(shù)的指數(shù)運(yùn)算，將插值得到的中間旋轉(zhuǎn)矢量映射回四元數(shù)空間，從而確定平滑的中間刀具姿態(tài)：

34、

35、式中，r是步驟3)插值得到的中間旋轉(zhuǎn)矢量；qr是三維矢量r對(duì)應(yīng)的純四元數(shù)，即qr＝[0,r]；q是中間刀具姿態(tài)相對(duì)于刀具初始方位的旋轉(zhuǎn)所對(duì)應(yīng)的單位四元數(shù)；借助q，中間刀具姿態(tài)由刀具初始方位or實(shí)施旋轉(zhuǎn)q得到：

36、

37、式中，or＝[0,or]是刀具初始方位or對(duì)應(yīng)的純四元數(shù)，q*是通過對(duì)q的虛部取反得到的q的共軛四元數(shù)，是中間刀具姿態(tài)對(duì)應(yīng)的純四元數(shù)，提取四元數(shù)的向量部分即可得到所需的中間刀具姿態(tài)。

38、本發(fā)明的有益效果是：首先，借助單位四元數(shù)的對(duì)數(shù)運(yùn)算，將關(guān)鍵刀軸對(duì)應(yīng)的單位四元數(shù)轉(zhuǎn)換為更為緊湊的旋轉(zhuǎn)矢量形式，簡化了插值光順計(jì)算；以五次b樣條曲線描述中間旋轉(zhuǎn)矢量，并綜合考慮樣條曲線的能量泛函最小化和關(guān)鍵刀位約束的滿足，使得插值得到的旋轉(zhuǎn)矢量滿足c3連續(xù)性；最終，將插值得到的中間旋轉(zhuǎn)矢量映射回四元數(shù)空間，由于二者間僅涉及四元數(shù)的指數(shù)運(yùn)算，旋轉(zhuǎn)矢量的高階連續(xù)性得以相應(yīng)地保留到四元數(shù)所代表的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，從而獲得平滑且高階連續(xù)的中間刀具姿態(tài)。本發(fā)明方法給出了基于旋轉(zhuǎn)矢量插值的刀軸光順，推求了由關(guān)鍵刀軸至四元數(shù)及旋轉(zhuǎn)矢量間相互轉(zhuǎn)化的鏈路過程，并借助旋轉(zhuǎn)矢量作為中間輔助工具給出了關(guān)鍵刀軸間的連續(xù)插值方法，形式簡潔，且插值結(jié)果的連續(xù)性和光順性均高于傳統(tǒng)的球面線性插值方法，實(shí)現(xiàn)了五軸加工過程中刀具的光順運(yùn)動(dòng)。