基于kp模型的磁控形狀記憶合金執(zhí)行器建模方法
【技術領域】
[0001] 本發(fā)明屬于控制工程技術領域。
【背景技術】
[0002] 微位移執(zhí)行器是微定位設備的核心，尋找性能優(yōu)良的執(zhí)行器材料對提高定位精度 具有十分重要的意義。磁控形狀記憶合金執(zhí)行器是1993年才被發(fā)現(xiàn)的新型功能材料，但是 直到1996年美國ΜΙΤ的K. Ullakko博士在其一篇論文中介紹了這種材料的特性并指出該 材料用于微位移執(zhí)行器的可能性之后，才引起各國學者的廣泛關注。它具有比壓電材料、超 磁致伸縮材料等智能材料形變大、頻響高、可精確控制的優(yōu)點，在微定位、微驅動領域具有 很大的發(fā)展?jié)摿Γ型蔀槲磥硇乱淮⑽灰茍?zhí)行器的關鍵材料。但是遲滯非線性現(xiàn)象的 普遍存在，導致磁控形狀記憶合金執(zhí)行器響應速度變慢、可控性變差，給磁控形狀記憶合金 的應用造成了一定的困難。為減小這種非線性特性所造成的不良影響，更好地發(fā)揮磁控形 狀記憶合金的性能，很多科研機構和研究人員對遲滯非線性系統(tǒng)建模及控制開展了研究。
[0003] 由于遲滯非線性現(xiàn)象存在于很多智能材料中，針對遲滯非線性的研究也很多，到 目前為止，國內外學者提出了很多遲滯非線性模型和建模方法。Ping等人針對壓電陶瓷執(zhí) 行器的遲滯現(xiàn)象，建立了壓電陶瓷執(zhí)行器的Preisach遲滯模型，模型誤差為0. 027mm，取得 了較好的模型精度；周淼磊針對壓電執(zhí)行器中的遲滯現(xiàn)象，建立了 Preisach遲滯模型，并 提出了一種Preisach模型前饋控制和模糊控制相結合的復合控制方法，有效的減小了遲 滯現(xiàn)象對壓電執(zhí)行器控制精度的影響；Xiaobo Tan等人對超磁滯伸縮材料中存在的遲滯現(xiàn) 象采用了 Preisach模型進行建模，并采用了自適應遞推算法來估計Preisach模型中的參 數(shù)，進而提出了一種求解Preisach逆模型的方法；Leonardo Riccardi等人采用改進的P-I 模型對MSMA執(zhí)行器進行建模與控制，指出在室溫下，逆模型補償?shù)腜ID復合控制可以很好 的對執(zhí)行器的輸出位移進行精確控制，但是當溫度升高后，自適應控制的性能優(yōu)于PID復 合控制；Wang Yufeng等人研究了系統(tǒng)含有遲滯現(xiàn)象的控制問題，提出了一種模型參考自適 應控制方案，對系統(tǒng)中的遲滯現(xiàn)象采用KP模型進行建模。
[0004] 磁控形狀記憶合金執(zhí)行器的研究目前處于起步階段，用于描述遲滯現(xiàn)象的 數(shù)學模型很多，Preisach模型是最常見、應用最廣的用來描述遲滯現(xiàn)象的數(shù)學模型， Krasnoselskii Pokrovskii (KP)模型可以看做是 Preisach 模型的改進型，與 Preisach 模型相比，KP模型具有能夠描述帶遲滯內環(huán)等復雜遲滯現(xiàn)象的優(yōu)點。KP模型是由Μ. A. krasnosel'skii和A. V. Pokrovskii兩位學者共同提出的一種基于遲滯算子的遲滯模型。 它的基本思想是認為遲滯現(xiàn)象是由一系列遲滯算子疊加而成的，能夠對磁控形狀記憶合金 執(zhí)行器的遲滯現(xiàn)象進行完整的描述，不但能夠表示遲滯現(xiàn)象的主環(huán)信息，也能夠表示遲滯 現(xiàn)象的次環(huán)信息。

【發(fā)明內容】

[0005] 本發(fā)明的目的是分別采用加權遞推最小二乘法和自適應遞推算法進行離線和在 線辨識的基于KP模型的磁控形狀記憶合金執(zhí)行器建模方法。
[0006] 本發(fā)明米用加權遞推最小二乘法和自適應遞推算法兩種方法，其步驟是： a、KP模型數(shù)學表達式為：
式中，丨_^|:為遲滯輸出；
為KP遲滯算子為系統(tǒng)的輸入； 為遲滯算子輸出的前一個極值；#為Preisach平面的積分區(qū)域；是系統(tǒng)的最大輸入； 為Preisach平面的密度函數(shù)； KP算子的值域區(qū)間從[-1，1]改為[0, 1]，KP算子的數(shù)學表達式為：
式中，是前一個KP算子極值的記憶值； 用表達式來描述的這一特性：
式中，_代表:wi變化的次數(shù)； 表達式（2)中函數(shù)表示KP算子主環(huán)上升和下降的邊界函數(shù)，其表達式為：
表達式（1)的積分函數(shù)形式根據數(shù)學積分的意義轉化為代數(shù)求和的形式，計算轉<￡_， &(〇通過表達式（5)求得：
設每個算子對應的平均密度為::__，對應的平均密度為，那么KP遲滯模型的表 達式（1)可以寫成表達式（6)的形式：
式中，
為每個網格對應的遲滯算子為每個網格對應的平均密 度； 將
記為，令：
式（6)可以簡寫為：
辨識的密度參數(shù),作為KP模型的密度參數(shù)，那么KP模型的模型輸出可以表示為：
則模型輸出的誤差可以表示為：
取準則函數(shù) 耶)、)'】··
參數(shù)辨識估計的目標是得到函數(shù)_最小時參數(shù)故的值； b、 遞推最小二乘法： 應用最小二乘算法遞推公式（12)可辨識出參數(shù)：
其中，公式（12 )中的第一個表達式為KP模型的參數(shù)化模型； c、 自適應遞推算法： 在任意時刻/，設KP模型的密度參數(shù)估計值為對應的密度參數(shù)真實值為 丨:_|，則ΚΡ模型的估計輸出值;為：
根據自適應控制律得到密度參數(shù)的自適應更新表達式為：
由控制系統(tǒng)的自適應控制律，得到改進后的ΚΡ模型的表達式為：
式中，表示ΚΡ模型的密度參數(shù)矩陣，:Γ表示密度參數(shù)對應ΚΡ算子矩陣； 設矩陣為ΚΡ模型的真實密度參數(shù)，g為估計值，則真實輸出和模型輸出值分別 為：
兩者之間的誤差為：
設性能指標函數(shù)為：
沿著3的負梯度方向變更參數(shù)。即
式中，:0.是自適應增益，義的表達式如下：
將式（20)代入（19)中可得：
式（21)即為調節(jié)ΚΡ模型的自適應律。
[0007] 本發(fā)明為了提高精密定位系統(tǒng)中磁控形狀記憶合金執(zhí)行器的控制精度，提出利用 ΚΡ模型對磁控形狀記憶合金執(zhí)行器進行遲滯建模。它是由一系列遲滯算子疊加而成的，對 表達式的積分區(qū)域平面用均勻分布的:1條水平線和垂直線劃分成網格，當根據實際控制系 統(tǒng)精度的需要確定了離散化參數(shù)I、遲滯算子t和密度參數(shù)麵之后，即可得到磁控形狀記 憶合金執(zhí)行器的遲滯模型。針對模型中密度參數(shù)的辨識問題，分別采用加權遞推最小二乘 法和自適應遞推算法進行離線和在線辨識。其有益效果是： 對比最小二乘法和自適應遞推算法的實驗結果，可以看出，模型的輸出能很好的擬 合實際輸出數(shù)據，其中，遞推最小二乘方法得到的辨識結果是十分準確的，最大誤差為 0. 0022mm ;自適應遞推算法辨識的誤差最大值為0. 0118_，但是隨著算法不斷的對密度參 數(shù)進行調整更新，模型的辨識誤差越來越小，總體誤差在0. 〇〇8_左右，該算法是收斂的， 辨識的時間越長，最后模型的精度越高，證明了采用KP模型對MSMA執(zhí)行器遲滯現(xiàn)象進行數(shù) 學建模的可行性和有效性，為以后磁控形狀記憶合金的的控制研究奠定了基礎。
【附圖說明】
[0008] 圖1是磁控形狀記憶合金執(zhí)行器工作原理圖； 圖2是用于辨識的磁控形狀記憶合金執(zhí)行器輸入輸出曲線圖； 圖3是離散化數(shù)L=15時最小二乘法辨識的密度參數(shù)值立體圖； 圖4是利用遞推最小二乘法辨識的KP模型輸出和實際輸出跟蹤效果圖； 圖5是利用遞推最小二乘法辨識的KP模型輸出和實際輸出的遲滯環(huán)曲線圖； 圖6是利用遞推最小二乘法辨識的KP模型輸出與實際輸出誤差圖； 圖7是磁控形狀記憶合金執(zhí)行器遲滯現(xiàn)象與溫度的關系示意圖； 圖8是模型參考自適應控制系統(tǒng)結構圖； 圖9是離散化數(shù)L=10時自適應遞推算法辨識的密度參數(shù)值立體圖； 圖10是利用自適應遞推算法辨識的KP模型輸出與實際輸出跟蹤效果圖； 圖11是利用自適應遞推算法辨識的KP模型輸出與實際輸出誤差圖。
【具體實施方式】
[0009] 本發(fā)明對于參數(shù)辨識問題，本發(fā)明中提到兩種方法，分別是加權遞推最小二乘法 和自適應遞推算法，并對兩種方法的實驗結果進行比較。MSMA執(zhí)行器是根據MSMA材料的形 變機理制成的一種驅動裝置，通過形狀的改變產生較大的回復力，從而對外做功，其工作原 理如圖1所示。KP模型的基本思想是認為遲滯現(xiàn)象是由一系列遲滯算子疊加而成的： a、KP模型數(shù)學表達式為：
式中， 為遲滯輸出為kp遲滯算子；11::為系統(tǒng)的輸入；::^::為 遲滯算子輸出的前一個極值為Preisach平面的積分區(qū)域；是系統(tǒng)的最大輸入； 為Preisach平面的密度函數(shù)； 根據MSMA執(zhí)行器輸出位移的實際情況，對KP算子的值域區(qū)間進行改進，從[_1，1]改 為[0，1]，使KP遲滯算子全部位于第一象限，改進后的KP算子如下所示，此時KP算子的數(shù) 學表達式為：
式中，是前一個KP算子極值的記憶值，隨著輸入輸出情況的變化而變化； 每當#的符號發(fā)生變化時，的值就更新為;_變化前一時刻KP算子的輸出 值，并將此輸出值一直保存到下一次 ν(?) 的符號變化時。用表達式來描述的這一 特性：
式中，_代表^變化的次數(shù)； 表達式（2)中函數(shù)表示KP算子主環(huán)上升和下降的邊界函數(shù)，其表達式為：
為了便于計算，表達式（1)的積分函數(shù)形式可以根據數(shù)學積分的意義轉化為代數(shù)求和 的形式。方法是對式（1)的積分區(qū)域Preisach平面用均勻分布的條水平線和垂直線劃 分成網格。離散化的網格數(shù)共有：
個，每個網格的左下節(jié)點坐標
就是表達式（2)中計算__$，:％#)::通過表達式（5)求 得：
經過離散化之后，設每個算子對應