本發(fā)明屬于陣列信號處理領域，具體涉及一種基于凸優(yōu)化的低旁瓣波束圖綜合設計方法。

背景技術：

在信號處理問題中，波束圖優(yōu)化設計包括兩方面研究內(nèi)容，一方面是控制波束旁瓣，另一方面是設計波束主瓣響應。近年來這兩方面的設計問題越來越受到人們的關注，此類設計問題被稱作波束圖綜合問題，其主要是——期望響應波束設計的問題。

對于旁瓣控制波束設計，一般是固定陣形與噪聲場，常規(guī)波束形成器的旁瓣是固定的。當它運用在某些形狀的基陣時，旁瓣可能會比較高。而對于實際基陣系統(tǒng)，由于單個傳感器可能不是各向同性的，各傳感器的靈敏度也不太相同。到目前為止，已經(jīng)出現(xiàn)了大量的旁瓣控制優(yōu)化波束形成方法，Taylor提出了適用于連續(xù)線陣和圓面陣的旁瓣約束方法，該方法約束最大旁瓣高度，并獲得遠離主瓣方向逐漸下降的旁瓣；Elliott對Taylor方法進行了改進，使旁瓣高度能個別指定。但是，這些方法只適用于特定形狀的基陣，且要求各陣元是各向同性的。對于其他形狀陣型則不能夠獲得理想的期望旁瓣。

除了波束旁瓣控制之外，期望響應設計是波束圖設計的另一個研究方向。二次規(guī)劃方法是適用于任意結構基陣的期望響應波束設計方法，其原理是使設計的波束與期望波束的均方誤差最小。然而，二次規(guī)劃方法的一個主要缺點是使用了誤差的二范數(shù)逼近準則，相當于使設計波束在全方位同時逼近于期望波束，而我們真正關心的只是主瓣波束區(qū)域，相當于在旁瓣區(qū)域增加了多余的等式約束，造成設計波束與參考波束主瓣區(qū)域擬合誤差增大。

以上提到的波束圖優(yōu)化設計方法僅僅是對波束主瓣或旁瓣進行優(yōu)化，既沒考慮波束形成器的穩(wěn)健性，也沒考慮由于旁瓣控制而對陣增益產(chǎn)生的副作用，使得這些方法在使用時存在很多缺陷。

技術實現(xiàn)要素：

本發(fā)明的目的是提供一種基于凸優(yōu)化的低旁瓣波束圖綜合設計方法，解決了現(xiàn)有響應波束設計方法中旁瓣值過高、穩(wěn)健性差、對陣增益副作用大的問題。

本發(fā)明基于凸優(yōu)化的低旁瓣波束圖綜合設計方法所采用的技術方案是，通過采用交替方向乘子法(ADMM)，引入輔助變量來實現(xiàn)變量分離，將原有的大量不等式約束限制轉(zhuǎn)換成可求解問題，運用ADMM思想迭代求解，從而確定參數(shù)，得出理想波束，即降低旁瓣值，具體包括以下步驟：

步驟1，目標函數(shù)構建

假設有M個元素組成的ULA陣列，設a(θ_m)為角度θ_m的導向矢量，則在角度θ_m的波束響應p(θ_m)＝w^Ha(θ_m)，m＝1，2……M，即所求目標函數(shù)如公式(1)：

Find w

s.t.||w^Ha(θ_m)||²≤ε,m＝1,…,M (1)

其中，是權值變量，約束條件為限制旁瓣最小；

步驟2，假設到達方向(DOA)的指定目標源角度為θ₀，即限制導向矢量為a(θ₀)的波束響應w^Ha(θ₀)＝1，通過最小化輸出功率來獲得權值向量其優(yōu)化問題如公式(2)：

將公式(2)中的復數(shù)實數(shù)化可等價為公式(3)：

其中，權值向量

引入變量u可實現(xiàn)將公式(3)變量分離，具體如公式(4)：

步驟3，利用拉格朗日乘子形式將有約束條件的目標函數(shù)轉(zhuǎn)換成無約束條件函數(shù)，從而將各個變量分離，定義增廣拉格朗日函數(shù)L如公式(5)：

其中，ρ＞0為步長，λ_m為拉格朗日乘子向量；

步驟4，依次求解公式(5)中的變量u_m、ε、λ_m，通過重復迭代使算法收斂，即其中δ＞0時結束。

步驟4中變量的求解具體為：通過步驟3中的公式(5)增廣拉格朗日函數(shù)L可得公式(6)，

公式(6)可等價為公式(7)：

其中，t為運行次數(shù)；

轉(zhuǎn)換成拉格朗日形式，如公式(8)：

由公式(8)可得權值向量如公式(9)：

將帶入公式(9)中，可得到

λ＝-(A(θ₀)R^-1A^T(θ₀))^-1(A(θ₀)R^-1d(t)+2c) (10)

將公式(10)代入(9)可求解出

步驟4中變量u_m、ε的求解具體為：通過步驟3中的公式(5)增廣拉格朗日函數(shù)L可得公式(11)，

由于每個分量之間是獨立的，分解成以下形式公式(12)，

其中，向量為

所以u_m(t+1)通過公式(13)可得：

化簡即可得公式(14)，

定義變量S為公式(15)，

ε(t+1)可由公式(11)轉(zhuǎn)換求得：

將按升序排列可得序列[||z₁(t)|| … ||z_m(t)||]，則公式

(16)可等價為：

其中，第m個函數(shù)可簡化成：

其中變量

因此第m個區(qū)域的最優(yōu)值及如下：

取函數(shù)值中的最小值即所對應的即為所求的解：

將ε(t+1)代入公式(13)即可求得u_m(t+1)：

步驟4中變量λ_m通過公式(11)和公式(12)可得，

本發(fā)明的有益效果是：本發(fā)明基于凸優(yōu)化的低旁瓣波束圖綜合設計方法，通過采用交替方向乘子法(ADMM)，引入輔助變量來實現(xiàn)變量分離，將原有的大量不等式約束限制轉(zhuǎn)換成可求解問題，運用ADMM思想迭代求解，從而確定參數(shù)，得出理想波束，即降低旁瓣值；通過對波束旁瓣進行優(yōu)化，過程中波束形成器的穩(wěn)健性良好，旁瓣控制而對陣增益產(chǎn)生的副作用較低，而得到的旁瓣值低，方法簡單，操作簡單，有很好的實用價值。

附圖說明

圖1是本發(fā)明基于凸優(yōu)化的低旁瓣波束圖綜合設計方法的線性天線陣列(ULA)圖；

圖2是本發(fā)明基于凸優(yōu)化的低旁瓣波束圖綜合設計方法的實驗波束圖。

具體實施方式

下面結合附圖和具體實施方式對本發(fā)明進行詳細說明。

本發(fā)明基于凸優(yōu)化的低旁瓣波束圖綜合設計方法，通過采用交替方向乘子法(ADMM)，引入輔助變量來實現(xiàn)變量分離，將原有的大量不等式約束限制轉(zhuǎn)換成可求解問題，運用ADMM思想迭代求解，從而確定參數(shù)，得出理想波束，即降低旁瓣值，具體包括以下步驟：

步驟1，目標函數(shù)構建

假設有M個元素組成的ULA陣列，設a(θ_m)為角度θ_m的導向矢量，則在角度θ_m的波束響應p(θ_m)＝w^Ha(θ_m)，m＝1，2……M，即所求目標函數(shù)如公式(1)：

Find w

s.t.||w^Ha(θ_m)||²≤ε,m＝1,…,M (1)

其中，是權值變量，約束條件為限制旁瓣最?。?/p>

步驟2，假設到達方向(DOA)的指定目標源角度為θ₀，即限制導向矢量為a(θ₀)的波束響應w^Ha(θ₀)＝1，通過最小化輸出功率來獲得權值向量其優(yōu)化問題如公式(2)：

將公式(2)中的復數(shù)實數(shù)化可等價為公式(3)：

其中，權值向量

引入變量u可實現(xiàn)將公式(3)變量分離，具體如公式(4)：

步驟3，利用拉格朗日乘子形式將有約束條件的目標函數(shù)轉(zhuǎn)換成無約束條件函數(shù)，從而將各個變量分離，定義增廣拉格朗日函數(shù)L如公式(5)：

其中，ρ＞0為步長，λ_m為拉格朗日乘子向量；

步驟4，依次求解公式(5)中的變量u_m、ε、λ_m；

步驟4中變量的求解具體為：通過步驟3中的公式(5)增廣拉格朗日函數(shù)L可得公式(6)，

公式(6)可等價為公式(7)：

其中，t為運行次數(shù)；

轉(zhuǎn)換成拉格朗日形式，如公式(8)：

由公式(8)可得權值向量如公式(9)：

將帶入公式(9)中，可得到

λ＝-(A(θ₀)R^-1A^T(θ₀))^-1(A(θ₀)R^-1d(t)+2c) (10)

將公式(10)代入(9)可求解出

步驟4中變量u_m、ε的求解具體為：通過步驟3中的公式(5)增廣拉格朗日函數(shù)L可得公式(11)，

由于每個分量之間是獨立的，分解成以下形式公式(12)，

其中，向量為

所以u_m(t+1)通過公式(13)可得：

化簡即可得公式(14)，

如圖1所示，定義變量S為公式(15)，

ε(t+1)可由公式(11)轉(zhuǎn)換求得：

將按升序排列可得序列[||z₁(t)|| … ||z_m(t)||]，則公式

(16)可等價為：

其中，第m個函數(shù)可簡化成：

其中變量

因此第m個區(qū)域的最優(yōu)值及如下：

取函數(shù)值中的最小值即所對應的即為所求的解：

將ε(t+1)代入公式(13)即可求得u_m(t+1)：

步驟4中變量λ_m通過公式(11)和公式(12)可得，

通過重復迭代依次計算出變量u_m、ε、λ_m；直到算法收斂，即其中δ＞0時，結束。

實施例

本發(fā)明實驗為一個10陣元的均勻線列陣，陣元間隔為頻率f₀對應的半波長；采用本發(fā)明設計對應于頻率f＝f₀/2、指向θ₀＝0°方向的旁瓣控制波束圖，旁瓣區(qū)域為[-90°,-15°]∪[15°,90°]，波束旁瓣級設定為-30dB，通過公式(6)-(23)的計算迭代可求得權值向量w；以此計算出的波束圖，如圖2所示，設計波束達到了所要求的旁瓣控制波束。

本發(fā)明通過對波束旁瓣進行優(yōu)化，過程中波束形成器的穩(wěn)健性良好，旁瓣控制而對陣增益產(chǎn)生的副作用較低，而得到的旁瓣值低，方法簡單，操作簡單，有很好的實用價值。