本發(fā)明涉及一種非同步雙星系統(tǒng)的軌道計算方法，特別涉及一種基于二階微分修正的非同步雙星系統(tǒng)穩(wěn)定軌道的計算方法，屬于航空航天技術(shù)領(lǐng)域，適用于探測器對非同步雙星系統(tǒng)進(jìn)行探測的軌道設(shè)計。

背景技術(shù)：

雙小行星系統(tǒng)是特殊的一類小行星，系統(tǒng)由兩顆相互繞質(zhì)心環(huán)繞的小行星組成，同時系統(tǒng)的質(zhì)心圍繞太陽運行。雙體小行星數(shù)量眾多，大約占近地小行星和主帶小行星數(shù)量的16％。對雙星系統(tǒng)開展探測任務(wù)具有特別的科學(xué)回報，可以研究系統(tǒng)的演化以及動力學(xué)形成機(jī)理，驗證YORP效應(yīng)。此外，由于雙星系統(tǒng)自身的特性，系統(tǒng)的物理參數(shù)可以利用地面觀測進(jìn)行估計，有效降低了探測任務(wù)的難度，因此對雙星系統(tǒng)開展探測是未來深空探測的熱點之一。根據(jù)雙星系統(tǒng)的自旋和公轉(zhuǎn)狀態(tài)，可以將系統(tǒng)分為雙同步系統(tǒng)，單同步系統(tǒng)和非同步系統(tǒng)，其中雙同步系統(tǒng)中兩個子星的自旋速度與相對運動的軌道角速度相同，單同步系統(tǒng)中子星之一的自旋速度與軌道角速度相同，而非同步系統(tǒng)中子星的自旋速度與軌道角速度均不相同，其中非同步雙星系統(tǒng)在系統(tǒng)中所占的比例最高。對雙星系統(tǒng)的環(huán)繞探測是小行星探測的重要組成部分。探測任務(wù)的設(shè)計中，需要對雙星附近的軌道進(jìn)行設(shè)計，搜索系統(tǒng)中的穩(wěn)定軌道將是任務(wù)設(shè)計的基礎(chǔ)。

目前雙星系統(tǒng)內(nèi)軌道的搜索方法中，在先技術(shù)【1】(參見Haibing Shang,Xiaoyu Wu,Pingyuan Cui.Periodic orbits in the doubly synchronous binary asteroid system and their applications in space missions[J].Astrophys Space Sci,2014,355:2154.)基于雙橢球模型對雙同步雙星系統(tǒng)附近軌道進(jìn)行了研究，利用對稱性獲得到大量可用于探測的周期軌道。但該方法只適用于雙同步系統(tǒng)，對于自旋與公轉(zhuǎn)不同步的系統(tǒng)將不適用。

在先技術(shù)【2】(參見喬棟，李翔宇，崔平遠(yuǎn)等,基于速度龐加萊截面雙小行星系統(tǒng)周期軌道搜索方法，CN104477411A)利用速度龐加萊映射對周期軌道進(jìn)行搜索，通過映射穿過X軸的位置可以得到相應(yīng)的周期軌道。該方法同樣只適用于自旋鎖定的雙星系統(tǒng)，對于非同步的系統(tǒng)將不適用。

技術(shù)實現(xiàn)要素：

本發(fā)明的目的是提出一種適用于非同步雙星系統(tǒng)的穩(wěn)定軌道計算方法，該方法先基于同步雙星系統(tǒng)計算周期軌道，然后將同步系統(tǒng)中的周期軌道轉(zhuǎn)換到非同步雙星系統(tǒng)中，進(jìn)行軌道積分，利用二階微分修正算法獲得長期穩(wěn)定的軌道，具有初值易選取，收斂性好等特點。

本發(fā)明的目的是通過下述技術(shù)方案實現(xiàn)的。

本發(fā)明公開的非同步雙星系統(tǒng)的穩(wěn)定軌道計算方法。對任意非同步雙星系統(tǒng)，先將系統(tǒng)考慮為同步系統(tǒng)進(jìn)行周期軌道搜索，然后根據(jù)小行星的自旋周期將同步系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為非同步系統(tǒng)并獲得的周期軌道按軌道周期分成若干段，帶入非同步系統(tǒng)中進(jìn)行軌道積分，利用二階微分修正對若干段軌道進(jìn)行位置修正和速度修正，通過多次迭代獲得非同步系統(tǒng)中的長期穩(wěn)定軌道。能夠?qū)崿F(xiàn)適用于非同步雙星系統(tǒng)的穩(wěn)定軌道，且得到的軌道族多、收斂性好，計算效率高。

本發(fā)明公開的非同步雙星系統(tǒng)的穩(wěn)定軌道計算方法，包括以下步驟：

步驟一、根據(jù)確定的目標(biāo)雙星系統(tǒng)參數(shù)，忽略自旋角速度差別，將雙星系統(tǒng)考慮為同步雙星系統(tǒng)，建立橢球-橢球雙星系統(tǒng)模型，在質(zhì)心旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下建立動力學(xué)模型。所述的雙星系統(tǒng)參數(shù)包括雙星的形狀、質(zhì)量比和相對距離。

其中ρ表示探測器到質(zhì)心的位置矢量，ω為系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)角速度，ρ₁和ρ₂為探測器到雙星主星和子星的位置矢量。U₁，U₂表示雙星的引力勢能：

其中α,β,γ為星體的三個主軸長度，r₁,r₂為兩個星體在質(zhì)心旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的位置矢量。

步驟二、對同步雙星系統(tǒng)進(jìn)行周期軌道搜索，通過相應(yīng)的搜索方法得到周期軌道族。

同步雙星系統(tǒng)內(nèi)的周期軌道滿足利用雙星系統(tǒng)模型的對稱性能夠?qū)χ芷谲壍赖某跏紶顟B(tài)進(jìn)行簡化；對于面對稱的軌道，軌道從OXZ平面出發(fā)，初值滿足半個軌道周期后滿足軸對稱的軌道，軌道從X軸出發(fā)，初值滿足半個軌道周期后應(yīng)滿足根據(jù)已有的搜索方法對雙星系統(tǒng)內(nèi)的區(qū)域進(jìn)行搜索得到不同軌道周期和軌道能量的周期軌道族。

已有的搜索方法包括利用速度龐加萊映射或網(wǎng)格搜索。

步驟三、根據(jù)雙星系統(tǒng)的自旋速度，建立非同步系統(tǒng)的動力學(xué)方程。

兩小行星的自旋速度分別為ω₁,ω₂，初始的自旋角為θ₁,θ₂，則在質(zhì)心旋轉(zhuǎn)系下的自旋速度分別為ω′₁＝ω₁-ω₀，ω′₂＝ω₂-ω₀，自旋角隨時間的變化為φ₁＝θ₁+ω′₁t，φ₂＝θ₂+ω′₂t，則動力學(xué)方程(1)變?yōu)椋?/p>

其中R_z為繞Z軸的旋轉(zhuǎn)矩陣。

步驟四、將步驟二得到的周期軌道族按照周期等分為若干段，取各段的初值帶入式(6)進(jìn)行積分，對軌道的速度進(jìn)行修正，保證各段軌道的位置在非同步系統(tǒng)中保持連續(xù)。

記每段的初值為X_i＝[x_i,y_i,z_i,v_xi,v_yi,v_zi]，每段軌道的初始積分時間為其中T為軌道周期，n為分段數(shù)，可根據(jù)任意選取，增大n可以提高收斂性但降低計算速度。

微分修正方程：

其中δX_i＝[0,0,0,δv_xi,δv_yi,δv_zi]，δX_i+1＝[0,0,0,δv_xi+1,δv_yi+1,δv_zi+1]

為初狀態(tài)至末狀態(tài)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。δv_xi+1＝v_xi+1-v_x′i+1,δy_i+1＝y(tǒng)_i+1-y′_i+1,δz_i+1＝z_i+1-z′_i+1。

X_i＝[x_i,y_i,z_i,v_xi,v_yi,v_zi]按動力學(xué)方程(6)積分t_i時間后的終值為X′_i+1＝[x′_i+1,y′_i+1,z′_i+1,v′_xi+1,v′_yi+1,v′_zi+1]。

式(8)可以表示為：

從而對每段初值進(jìn)行修正，初值變?yōu)閄_i+δX_i。

對每一段軌道分別進(jìn)行位置修正，得到新的初始速度，初始位置不變。

步驟五、對步驟四所述每段軌道的初始位置和積分時間進(jìn)行修正，使各段的速度在非同步系統(tǒng)中保持連續(xù)。

對初值X_i＝[x_i,y_i,z_i,v_xi,v_yi,v_zi]的速度修正同時取決于X_i-1＝[x_i-1,y_i-1,z_i-1,v_xi-1,v_yi-1,v_zi-1]和X_i+1＝[x_i+1,y_i+1,z_i+1,v_xi+1,v_yi+1,v_zi+1]的情況。

其中V_i＝[v_xi,v_yi,v_zi]，R_i＝[x_i,y_i,z_i]，V_i^-表示從X_i-1正向積分得到的速度，而V_i⁺表示從X_i+1逆向積分得到的速度。

通過式(10)對每一段軌道進(jìn)行速度修正，得到新的初始位置和每段積分時間。

步驟六、計算各段軌道間的位置和速度偏差，若小于某一值，則認(rèn)為軌道連續(xù)，即得到穩(wěn)定運行在非同步系統(tǒng)內(nèi)的軌道，否則重復(fù)步驟四和五，直至滿足約束。

記新修正的軌道各段位置誤差和速度誤差為δr_i和δv_i，軌道總的位置誤差記為總速度誤差記為若δR＜ε₁且δV＜ε₂則認(rèn)為軌道連續(xù)，即為穩(wěn)定軌道，ε₁,ε₂為小量，優(yōu)選為ε₁＝10^-5m，ε₂＝10^-3m/s，可以根據(jù)小行星的大小和任務(wù)精度調(diào)整。若不滿足約束則重復(fù)步驟四和五，通過多次迭代得到穩(wěn)定的軌道。

有益效果：

1、本發(fā)明公開的一種非同步雙星系統(tǒng)的穩(wěn)定軌道計算方法，首次得到在非同步雙星系統(tǒng)中的穩(wěn)定軌道，可用作探測任務(wù)的使命軌道。

2.本發(fā)明公開的一種非同步雙星系統(tǒng)的穩(wěn)定軌道計算方法，已同步雙星系統(tǒng)計算得到的周期軌道作為初值，初值易獲取。

2、本發(fā)明公開的一種非同步雙星系統(tǒng)的穩(wěn)定軌道計算方法，通過將軌道分段，分別進(jìn)行位置修正和速度修正，提高了軌道的收斂性，軌道收斂性高。

附圖說明

圖1本發(fā)明的一種非同步雙星系統(tǒng)的穩(wěn)定軌道計算方法流程示意圖；

圖2同步雙星系統(tǒng)下的周期軌道；

圖3非同步雙星系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系示意圖；

圖4分段軌道位置修正示意圖；

圖5分段軌道速度修正示意圖；

圖6本發(fā)明得到的非同步雙星系統(tǒng)下的穩(wěn)定軌道。

具體實施方式

為了更好的說明本發(fā)明的目的和優(yōu)點，下面結(jié)合附圖和實例對發(fā)明內(nèi)容做進(jìn)一步說明。

實施例1：

本實施例的一種非同步雙星系統(tǒng)的穩(wěn)定軌道計算方法，包括以下步驟：

步驟一、根據(jù)確定的目標(biāo)雙星系統(tǒng)參數(shù)，忽略自旋角速度差別，將雙星系統(tǒng)考慮為同步雙星系統(tǒng)，建立橢球-橢球雙星系統(tǒng)模型，在質(zhì)心旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下建立動力學(xué)模型。所述的雙星系統(tǒng)參數(shù)包括雙星的形狀、質(zhì)量比和相對距離。

其中ρ表示探測器到質(zhì)心的位置矢量，ω為系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)角速度，ρ₁和ρ₂為探測器到雙星主星和子星的位置矢量。U₁，U₂表示雙星的引力勢能：

其中α,β,γ為星體的三個主軸長度，r₁,r₂為兩個星體在坐標(biāo)系下的位置矢量。

設(shè)雙星系統(tǒng)中主星的三軸長分別為0.6124km，0.6km，0.5880km；子星的三軸長分別為0.5530km，0.5364km，0.5300km，系統(tǒng)的質(zhì)量常數(shù)μ＝0.4083，軌道周期13.8936h，軌道角速度ω＝1.2562×10^-4rad/s。

步驟二、對同步雙星系統(tǒng)進(jìn)行周期軌道搜索，通過相應(yīng)的搜索方法得到周期軌道族。

同步雙星系統(tǒng)內(nèi)的周期軌道滿足利用雙星系統(tǒng)模型的對稱性能夠?qū)χ芷谲壍赖某跏紶顟B(tài)進(jìn)行簡化；對于面對稱的軌道，軌道從OXZ平面出發(fā)，初值滿足半個軌道周期后滿足軸對稱的軌道，軌道從X軸出發(fā)，初值滿足半個軌道周期后應(yīng)滿足根據(jù)已有的搜索方法對雙星系統(tǒng)內(nèi)的區(qū)域進(jìn)行搜索得到不同軌道周期和軌道能量的周期軌道族。

已有的搜索方法包括利用速度龐加萊映射或網(wǎng)格搜索?；诰W(wǎng)格搜索得到的同步系統(tǒng)下的周期軌道如圖2所示。

步驟三、根據(jù)雙星系統(tǒng)的自旋速度，建立非同步系統(tǒng)的動力學(xué)方程。

取小行星的自旋周期分別為6.9468h和12.0545h，初始的自旋角均為θ₁＝0°,θ₂＝0°，則在質(zhì)心旋轉(zhuǎn)系下的自旋速度分別為ω′₁＝ω₁-ω₀＝1.2562rad/s，ω′₂＝ω₂-ω₀＝1.9167×10^-5rad/s，則動力學(xué)方程(1)變?yōu)椋?/p>

其中R_z為繞Z軸的旋轉(zhuǎn)矩陣。

非同步雙星系統(tǒng)在質(zhì)心旋轉(zhuǎn)系下的示意圖如圖3所示。

步驟四、將步驟二得到的周期軌道族按照周期等分為若干段，取各段的初值帶入式(6)進(jìn)行積分，對軌道的速度進(jìn)行修正，保證各段軌道的位置在非同步系統(tǒng)中保持連續(xù)。

記每段的初值為X_i＝[x_i,y_i,z_i,v_xi,v_yi,v_zi]，每段軌道的初始積分時間為其中T為軌道周期，n為分段數(shù)，可根據(jù)任意選取，增大n可以提高收斂性但降低計算速度。

微分修正方程：

其中δX_i＝[0,0,0,δv_xi,δv_yi,δv_zi]，δX_i+1＝[0,0,0,δv_xi+1,δv_yi+1,δv_zi+1]

為初狀態(tài)至末狀態(tài)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。δv_xi+1＝v_xi+1-v_x′i+1,δy_i+1＝y(tǒng)_i+1-y′_i+1,δz_i+1＝z_i+1-z′_i+1。

X_i＝[x_i,y_i,z_i,v_xi,v_yi,v_zi]按動力學(xué)方程(6)積分t_i時間后的終值為X′_i+1＝[x′_i+1,y′_i+1,z′_i+1,v′_xi+1,v′_yi+1,v′_zi+1]。

式(8)可以表示為：

從而對每段初值進(jìn)行修正，初值變?yōu)閄_i+δX_i。

對每一段軌道分別進(jìn)行位置修正，得到新的初始速度，初始位置不變，位置修正示意圖如圖4所示。

步驟五、對步驟四所述每段軌道的初始位置和積分時間進(jìn)行修正，使各段的速度在非同步系統(tǒng)中保持連續(xù)。

對初值X_i＝[x_i,y_i,z_i,v_xi,v_yi,v_zi]的速度修正同時取決于X_i-1＝[x_i-1,y_i-1,z_i-1,v_xi-1,v_yi-1,v_zi-1]和X_i+1＝[x_i+1,y_i+1,z_i+1,v_xi+1,v_yi+1,v_zi+1]的情況。

其中V_i＝[v_xi,v_yi,v_zi]，R_i＝[x_i,y_i,z_i]，V_i^-表示從X_i-1正向積分得到的速度，而V_i⁺表示從X_i+1逆向積分得到的速度。

通過式(10)對每一段軌道進(jìn)行速度修正，得到新的初始位置和每段積分時間，速度修正的示意圖如圖5所示。

步驟六、計算各段軌道間的位置和速度偏差，若小于某一值，則認(rèn)為軌道連續(xù)，即得到穩(wěn)定運行在非同步系統(tǒng)內(nèi)的軌道，否則重復(fù)步驟四和五，直至滿足約束。

記新修正的軌道各段位置誤差和速度誤差為δr_i和δv_i，軌道總的位置誤差記為總速度誤差記為若δR＜ε₁且δV＜ε₂則認(rèn)為軌道連續(xù)，即為穩(wěn)定軌道，ε₁,ε₂為小量，優(yōu)選為ε₁＝10^-5m，ε₂＝10^-3m/s，可以根據(jù)小行星的大小和任務(wù)精度調(diào)整。若不滿足約束則重復(fù)步驟四和五，通過多次迭代得到穩(wěn)定的軌道。經(jīng)過多次迭代后得到的穩(wěn)定軌道如圖6所示。

以上所述的具體描述，對發(fā)明的目的、技術(shù)方案和有益效果進(jìn)行了進(jìn)一步詳細(xì)說明，所應(yīng)理解的是，以上所述僅為本發(fā)明的具體實施例而已，并不用于限定本發(fā)明的保護(hù)范圍，凡在本發(fā)明的精神和原則之內(nèi)，所做的任何修改、等同替換、改進(jìn)等，均應(yīng)包含在本發(fā)明的保護(hù)范圍之內(nèi)。