本發(fā)明涉及生產(chǎn)系統(tǒng)建模及性能評(píng)估技術(shù)領(lǐng)域，具體地為采用休眠控制策略，提供一種對(duì)考慮休眠策略的兩機(jī)器流水線進(jìn)行精確分析的解析方法，用來評(píng)估該流水線的有效效率及緩沖區(qū)水平。

背景技術(shù)：

生產(chǎn)系統(tǒng)工程(productionsystemsengineering,pse)是最近發(fā)展起來的一個(gè)工程分支，旨在利用數(shù)學(xué)模型研究生產(chǎn)系統(tǒng)的基本性質(zhì)和運(yùn)行規(guī)律，并利用這些性質(zhì)和規(guī)律對(duì)生產(chǎn)系統(tǒng)進(jìn)行性能分析、持續(xù)改進(jìn)和精益設(shè)計(jì)。

生產(chǎn)系統(tǒng)工程問題的研究難點(diǎn)主要來自于機(jī)器的不可靠性和緩沖區(qū)的容量有限性。機(jī)器故障可能使上游機(jī)器發(fā)生阻塞，同時(shí)使下游機(jī)器因無零件加工而產(chǎn)生饑餓，從而影響生產(chǎn)系統(tǒng)正常運(yùn)行。機(jī)器間的緩沖不可能無限大，只能一定程度上能降低系統(tǒng)饑餓、阻塞的頻率，減少生產(chǎn)線的效率損失。機(jī)器故障使得系統(tǒng)具有隨機(jī)性，機(jī)器間的緩沖使系統(tǒng)中各機(jī)器之間具有相依性。隨機(jī)性和相依性兩者相耦合使得系統(tǒng)內(nèi)部各個(gè)組成部分之間的影響演化為非線性關(guān)系，在數(shù)學(xué)上可以歸類為非線性隨機(jī)系統(tǒng)。

生產(chǎn)線建模解析法包括精確建模分析方法和近似建模分析方法：1)精確建模分析方法適合簡(jiǎn)單的兩工作站流水線性能評(píng)估，通過構(gòu)建馬爾科夫過程，求解得到系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)態(tài)概率分布的精確解，并進(jìn)一步得到性能評(píng)估指標(biāo)；2)近似建模分析方法適合更復(fù)雜系統(tǒng)的性能分析，它是在簡(jiǎn)單系統(tǒng)的基礎(chǔ)上進(jìn)行遞推迭代，主要有分解(decomposition)和集結(jié)(aggregation)兩種方法。

生產(chǎn)線建模解析法研究?jī)H局限于為考慮任何控制策略的流水線上，緩沖控制策略方面的研究相對(duì)較少。為了降低機(jī)器發(fā)生“饑餓”的頻率，我們?cè)诰彌_區(qū)下游機(jī)器上采用休眠策略，具體地，休眠策略是指當(dāng)緩沖區(qū)下游機(jī)器發(fā)生“饑餓”而停機(jī)時(shí)，使該機(jī)器處于休眠狀態(tài)，只有在緩沖區(qū)數(shù)量達(dá)到給定值時(shí)才開始加工工件。申請(qǐng)人立足生產(chǎn)實(shí)際，針對(duì)在擾動(dòng)情形下頻繁出現(xiàn)“饑餓”的流水線，為了減少“饑餓”對(duì)生產(chǎn)系統(tǒng)產(chǎn)能的影響，研究有效的緩沖控制策略，并建立相應(yīng)的解析模型，利用所建立的模型對(duì)生產(chǎn)系統(tǒng)進(jìn)行性能分析，降低因?yàn)椤梆囸I”對(duì)系統(tǒng)性能帶來的性能損失，這對(duì)揭示生產(chǎn)線高效產(chǎn)出的運(yùn)作機(jī)理、豐富生產(chǎn)與運(yùn)作管控手段、提升生產(chǎn)效能等具有重要的支撐作用和研究應(yīng)用價(jià)值。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

為了能夠?qū)紤]休眠策略的兩機(jī)器流水線性能進(jìn)行評(píng)估，本發(fā)明提出了一種考慮休眠策略的兩機(jī)器流水線性能評(píng)估方法。在進(jìn)行性能評(píng)估之前，申請(qǐng)人對(duì)考慮休眠策略的兩機(jī)器流水線進(jìn)行建模分析，完成以下工作：

(1)建立考慮休眠策略的兩機(jī)器流水線解析模型

提出流水線休眠策略，以最大限度地降低系統(tǒng)的性能損失。針對(duì)考慮休眠策略的兩機(jī)器流水線，采用解析方法進(jìn)行建模。休眠策略將原始狀態(tài)空間裂變?yōu)閮蓚€(gè)獨(dú)立互補(bǔ)的子狀態(tài)空間：基本狀態(tài)空間和休眠狀態(tài)空間，通過提取基本狀態(tài)空間和休眠狀態(tài)空間相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系方程，建立考慮休眠策略的兩機(jī)器流水線的解析模型。申請(qǐng)人在研究過程中分析了如何建立考慮休眠策略的兩機(jī)器流水線解析模型。

(2)考慮休眠策略的兩機(jī)器流水線解析模型求解

需要對(duì)所建立的考慮休眠策略的兩機(jī)器流水線解析模型進(jìn)行求解，并通過對(duì)比試驗(yàn)對(duì)解析模型的有效性進(jìn)行分析。

在完成上述對(duì)考慮休眠策略的兩機(jī)器流水線的建模分析和模型求解工作后，下面給出考慮休眠策略的兩機(jī)器流水線性能評(píng)估方法的具體步驟：

所述一種考慮休眠策略的兩機(jī)器流水線性能評(píng)估方法，其特征在于：包括以下步驟：

步驟1：參數(shù)初始化：

考慮休眠策略的兩機(jī)器流水線中進(jìn)行初始化的相關(guān)參數(shù)包括：

mi(i＝1,2)，表示兩機(jī)器流水線中機(jī)器編號(hào)；其中m1為輸出端，m2為產(chǎn)出端；

αi(i＝1,2)，表示機(jī)器mi(i＝1,2)所處狀態(tài)，其中αi＝0表示機(jī)器mi處于故障狀態(tài)，αi＝1表示機(jī)器mi處于非故障狀態(tài)；

n，表示緩沖區(qū)緩沖容量；n，表示當(dāng)前緩沖區(qū)緩沖水平；緩沖控制水平為n-1；

pi(i＝1,2)，表示機(jī)器mi(i＝1,2)下一時(shí)刻由非故障狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)楣收蠣顟B(tài)的概率；

ri(i＝1,2)，表示機(jī)器mi(i＝1,2)下一時(shí)刻由故障狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榉枪收蠣顟B(tài)的概率；

步驟2：計(jì)算考慮休眠策略的兩機(jī)器流水線穩(wěn)態(tài)概率密度：

所述考慮休眠策略的兩機(jī)器流水線穩(wěn)態(tài)概率密度分為基本狀態(tài)空間系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)態(tài)概率密度和休眠狀態(tài)空間系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)態(tài)概率密度；

基本狀態(tài)空間系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)態(tài)概率密度采用p(n,α1,α2)表示，p(n,α1,α2)為兩機(jī)器流水線處于(n,α1,α2)狀態(tài)時(shí)的概率值，具體取值如下：

p(0,0,0)＝0

p(0,0,1)＝ω″(c1x1y21+c2x2y22)

p(0,1,0)＝0

p(1,0,0)＝ω′(c1x1y21+c2x2y22)

p(1,0,1)＝c1x1y21+c2x2y22

p(1,1,0)＝0

p(1,1,1)＝ω(c1x1y21+c2x2y22)

p(n-1,0,1)＝0

p(n,0,0)＝0

p(n,0,1)＝0

p(n,1,1)＝0

其中：

c1＝γc2

x1＝1

休眠狀態(tài)空間系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)態(tài)概率密度采用p(α1)表示，p(α1)為休眠狀態(tài)下兩機(jī)器流水線處于狀態(tài)(n,α1,1)時(shí)的概率值，具體取值如下：

其中

c^*＝ρc1

ρ＝ρ1+ρ2

c1，c2和c^*為歸一化參數(shù)，根據(jù)基本狀態(tài)空間系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)態(tài)概率密度以及休眠狀態(tài)空間系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)態(tài)概率密度之和

反求得到c1，再將c1代入基本狀態(tài)空間系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)態(tài)概率密度和休眠狀態(tài)空間系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)態(tài)概率密度公式，得到基本狀態(tài)空間系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)態(tài)概率密度和休眠狀態(tài)空間系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)態(tài)概率密度；

步驟3：計(jì)算考慮休眠策略的兩機(jī)器流水線性能指標(biāo)，所述性能指標(biāo)包括效率、停機(jī)率、有效效率：

效率：

停機(jī)率：fstop＝f^s+p2e，其中

f^s為機(jī)器m2饑餓發(fā)生率

f^s＝(1-r1)(1-p2)p(1,0,1)+(1-r1)r2p(1,0,0)+p1(1-p2)p(1,1,1)；

有效效率：ew＝e-wfstop，其中

w為機(jī)器m2由停機(jī)狀態(tài)轉(zhuǎn)換到正常加工狀態(tài)開始加工的不合格產(chǎn)品個(gè)數(shù)。

有益效果

本發(fā)明提出一種考慮休眠策略的兩機(jī)器流水線性能評(píng)估方法，通過實(shí)施例的多個(gè)算例可以看出，采用本發(fā)明的方法能夠有效分析考慮休眠策略的兩機(jī)器流水線的性能。

附圖說明

本發(fā)明的上述和/或附加的方面和優(yōu)點(diǎn)從結(jié)合下面附圖對(duì)實(shí)施例的描述中將變得明顯和容易理解，其中：

圖1：休眠策略示意圖；

圖2：兩機(jī)器單緩沖流水線；

圖3：考慮休眠策略的兩機(jī)器流水線狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖；

圖4：獨(dú)立狀態(tài)空間轉(zhuǎn)移圖；

圖5：兩機(jī)器流水線示意圖；

圖6：機(jī)器m1為瓶頸機(jī)器時(shí)，休眠策略對(duì)生產(chǎn)線效率及停機(jī)率影響曲線；機(jī)器m1故障率為p1＝0.08；

圖7：機(jī)器m1為瓶頸機(jī)器時(shí)，休眠策略對(duì)生產(chǎn)線效率及停機(jī)率影響曲線；機(jī)器m1故障率為p1＝0.07；

圖8：機(jī)器m1為瓶頸機(jī)器時(shí)，休眠策略對(duì)生產(chǎn)線效率及停機(jī)率影響曲線；機(jī)器m1故障率為p1＝0.06；

圖9：機(jī)器m2為瓶頸機(jī)器時(shí)，休眠策略對(duì)生產(chǎn)線效率及停機(jī)率影響曲線；機(jī)器m1故障率為p1＝0.03；

圖10：機(jī)器m2為瓶頸機(jī)器時(shí)，休眠策略對(duì)生產(chǎn)線效率及停機(jī)率影響曲線；機(jī)器m1故障率為p1＝0.02；

圖11：機(jī)器m2為瓶頸機(jī)器時(shí)，休眠策略對(duì)生產(chǎn)線效率及停機(jī)率影響曲線；機(jī)器m1故障率為p1＝0.01；

具體實(shí)施方式

下面詳細(xì)描述本發(fā)明的實(shí)施例，所述實(shí)施例是示例性的，旨在用于解釋本發(fā)明，而不能理解為對(duì)本發(fā)明的限制。

本實(shí)施例給出申請(qǐng)人具體的研究過程：首先，給出休眠策略，針對(duì)考慮休眠策略的兩機(jī)器流水線，采用解析方法進(jìn)行建模，并對(duì)解析模型流守恒進(jìn)行了證明；其次，對(duì)所建立的考慮休眠策略的兩機(jī)器流水線解析模型進(jìn)行了求解，并求得生產(chǎn)線效率、有效效率和停機(jī)率等性能指標(biāo)；最后，通過對(duì)比試驗(yàn)對(duì)解析模型的有效性進(jìn)行了分析，驗(yàn)證了本專利方法的合理性。

(1)休眠策略定義

休眠策略：當(dāng)緩沖區(qū)上游機(jī)器故障，下游機(jī)器正常工作時(shí)，緩沖區(qū)中產(chǎn)品加工完后，下游機(jī)器發(fā)生饑餓而停機(jī)時(shí)。當(dāng)上游機(jī)器被修復(fù)，下游機(jī)器可以加工時(shí)，強(qiáng)制下游機(jī)器保持停機(jī)狀態(tài)，使其不加工零件，只有在緩沖區(qū)數(shù)量達(dá)到給定值時(shí)才開始加工零件，這種控制下游機(jī)器開機(jī)的方式稱為休眠策略。其目的是為了降低生產(chǎn)系統(tǒng)發(fā)生饑餓的頻率，進(jìn)而降低停機(jī)成本。休眠策略示意圖如圖1所示。

(2)模型定義及假設(shè)

●流水線基本定義及假設(shè)

流水線由兩臺(tái)機(jī)器和一個(gè)緩沖組成，如圖2所示。機(jī)器m1加工完成的工件運(yùn)送到緩沖中，工件再?gòu)木彌_中送到機(jī)器m2進(jìn)行加工。每臺(tái)機(jī)器都有其故障率和修復(fù)率，機(jī)器mi的故障率為pi，修復(fù)率為ri，(i＝1,2)。

[定義1]饑餓狀態(tài)(starvation)

饑餓狀態(tài)：對(duì)于生產(chǎn)線中的機(jī)器mi，上游緩沖區(qū)bi-1中的零件數(shù)量為n＝0，則機(jī)器mi處于饑餓狀態(tài)。

[定義2]阻塞狀態(tài)(blocking)

阻塞狀態(tài)：對(duì)于生產(chǎn)線中的機(jī)器mi，下游緩沖區(qū)bi中的零件數(shù)量達(dá)到緩沖區(qū)容量n＝n，則機(jī)器mi處于阻塞狀態(tài)。

[定義3]服務(wù)前阻塞(blockingbeforeservice,bbs)

服務(wù)前阻塞：生產(chǎn)線中的機(jī)器mi在加工一個(gè)零件之前，先判斷下游緩沖區(qū)bi中的零件數(shù)量是否為n＝n，若n＝n，則機(jī)器mi不加工零件，稱為服務(wù)前阻塞。

[定義4]操作相關(guān)故障(operationdependentfailures,odfs)

基于操作故障：機(jī)器在沒有加工操作的情形下(機(jī)器故障、饑餓或者阻塞)，不會(huì)發(fā)生故障，且當(dāng)一臺(tái)機(jī)器只有一種故障模式時(shí)，有如下公式

prob[α1(t+1)＝0|n(t)＝n,α1(t)＝1]＝0

prob[α1(t+1)＝1|n(t)＝n,α1(t)＝1]＝1

prob[α2(t+1)＝0|n(t)＝0,α2(t)＝1]＝0

prob[α2(t+1)＝1|n(t)＝0,α2(t)＝1]＝1

且緩沖水平n的變化為

n(t+1)＝n(t)+α1(t+1)-α2(t+1)

一般地

n(t+1)＝n(t)+τ1(t+1)-τ2(t+1)

其中τ1(t+1)是判斷機(jī)器m1上加工的零件是否能進(jìn)入到緩沖區(qū)b的判定函數(shù)

τ2(t+1)是判斷機(jī)器m2是否可以加工零件b的判定函數(shù)

●考慮休眠策略的兩機(jī)器流水線假設(shè)

考慮休眠策略的兩機(jī)器流水線解析模型假設(shè)如下：

1)物料流呈離散狀態(tài)，生產(chǎn)線中的零件數(shù)量為正整數(shù)。系統(tǒng)滿足物料守恒條件，在加工和儲(chǔ)運(yùn)過程中零件不會(huì)增加或減少。

2)緩沖區(qū)b緩沖容量有限，n＝n。當(dāng)緩沖區(qū)b中的在制品數(shù)量達(dá)到緩沖區(qū)容量時(shí)，機(jī)器m1處于阻塞狀態(tài)。當(dāng)緩沖區(qū)b中的在制品數(shù)量為0時(shí)，機(jī)器m2處于饑餓狀態(tài)。

3)αi表示機(jī)器mi所處狀態(tài)。其中αi＝0表示機(jī)器mi處于故障狀態(tài)，αi＝1表示機(jī)器mi處于非故障狀態(tài)。機(jī)器mi的狀態(tài)αi的變化發(fā)生在每一時(shí)間單位的起始時(shí)刻，緩沖區(qū)緩沖水平n的變化發(fā)生在每一時(shí)間單位的末尾時(shí)刻。

4)機(jī)器阻塞機(jī)制采用服務(wù)前阻塞(blockingbeforeservice,bbs)的方式。

5)機(jī)器m1的原材料供應(yīng)充足，即機(jī)器m1不會(huì)發(fā)生饑餓。機(jī)器m2后的庫(kù)存容量無限，即機(jī)器m2不會(huì)發(fā)生阻塞。

6)機(jī)器m1和m2具有相同的固定加工時(shí)間，以加工周期為單位時(shí)間可將時(shí)間軸分段。在制品的運(yùn)輸時(shí)間忽略不計(jì)，所有機(jī)器同時(shí)開始加工同時(shí)結(jié)束。

7)機(jī)器的故障是與操作相關(guān)的故障(operationdependentfailures,odfs)。

8)機(jī)器故障時(shí)間和修復(fù)時(shí)間均服從幾何分布。機(jī)器平均故障時(shí)間(meantimetofailure,mttf)為1/pi，平均修復(fù)時(shí)間(meantimetorepair,mttr)為1/ri。如果某一時(shí)刻機(jī)器mi處于非故障狀態(tài)，機(jī)器mi下一時(shí)刻由非故障狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)楣收蠣顟B(tài)的概率為pi；如果某一時(shí)刻機(jī)器mi處于故障狀態(tài)，機(jī)器mi在下一時(shí)刻由故障狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榉枪收蠣顟B(tài)的概率為ri，因此有以下公式：

prob[α1(t+1)＝0|n(t)＜n,α1(t)＝1]＝p1

prob[α1(t+1)＝1|n(t)＜n,α1(t)＝1]＝1-p1

prob[α2(t+1)＝1|n(t)＞0,α2(t)＝0]＝r1

prob[α2(t+1)＝0|n(t)＞0,α2(t)＝0]＝1-r1

●系統(tǒng)性能指標(biāo)構(gòu)建

考慮休眠策略的兩機(jī)器流水線解析模型所需主要性能指標(biāo)包括生產(chǎn)線的效率、有效效率及停機(jī)率。

[定義5]效率(efficiency)

效率：生產(chǎn)線處于穩(wěn)態(tài)運(yùn)行狀態(tài)時(shí)，生產(chǎn)線單位時(shí)間內(nèi)機(jī)器處于加工狀態(tài)的概率。

這里用ei表示機(jī)器mi的效率。其中，e1為機(jī)器m1的效率

e2為機(jī)器m2的效率，機(jī)器m2的效率等于生產(chǎn)線效率

[定義6]停機(jī)率(stopfrequency)

停機(jī)率：生產(chǎn)線處于穩(wěn)態(tài)運(yùn)行狀態(tài)時(shí)，機(jī)器由于自身故障停機(jī)和由于饑餓造成停機(jī)的概率之和。

機(jī)器m2由正常狀態(tài)轉(zhuǎn)移到饑餓狀態(tài)造成停機(jī)的概率，當(dāng)系統(tǒng)上一時(shí)刻處于狀態(tài)(1,0,1)且下一時(shí)刻機(jī)器m2不發(fā)生故障(不發(fā)生故障的概率為1-p2)、機(jī)器m1仍處于故障狀態(tài)(不被修復(fù)的概率為1-r1)，下一時(shí)刻機(jī)器m2將會(huì)處于饑餓狀態(tài)(0,0,1)，系統(tǒng)處于(1,0,0)和(1,1,1)與之類似，則機(jī)器m2饑餓發(fā)生率為

f^s＝(1-r1)(1-p2)p(1,0,1)+(1-r1)r2p(1,0,0)+p1(1-p2)p(1,1,1)(3)

因此，機(jī)器m2的停機(jī)率fstop的表達(dá)式為

fstop＝f^s+p2e(4)

其中，p2為機(jī)器m2的故障率，e為生產(chǎn)線的效率。

[定義7]有效效率(effectiveefficiency)

有效效率：考慮停機(jī)成本的生產(chǎn)線中，生產(chǎn)線穩(wěn)態(tài)運(yùn)行狀態(tài)時(shí)的效率與機(jī)器停機(jī)所產(chǎn)生效率損失之差。

這里考慮生產(chǎn)線的停機(jī)成本，若緩沖區(qū)下游機(jī)器每次由停機(jī)狀態(tài)轉(zhuǎn)換到正常加工狀態(tài)(包括故障停機(jī)和非故障停機(jī))開始加工的w個(gè)產(chǎn)品為不合格產(chǎn)品，由于生產(chǎn)線物料守恒，不合格產(chǎn)品會(huì)隨著產(chǎn)品流的流動(dòng)繼續(xù)進(jìn)行后續(xù)工序，直至從末尾機(jī)器流出產(chǎn)線。

因此，對(duì)于考慮停機(jī)成本的兩機(jī)器流水線，生產(chǎn)線的有效效率的表達(dá)式為

ew＝e-wfstop(5)

其中，w＜e/fstop。

(3)考慮休眠策略的兩機(jī)器流水線解析模型

●解析模型的建立

考慮休眠策略的兩機(jī)器流水線的狀態(tài)空間包括兩個(gè)獨(dú)立互補(bǔ)的馬爾科夫過程，基本操作狀態(tài)部分和受控休眠狀態(tài)部分。它們之間的相互轉(zhuǎn)化取決于緩沖區(qū)的零件數(shù)量。

1)基本操作狀態(tài)部分：系統(tǒng)正常運(yùn)行，緩沖區(qū)零件數(shù)量隨兩機(jī)器狀態(tài)的變化而變化。在緩沖區(qū)零件數(shù)量達(dá)到n＝0之前，系統(tǒng)都屬于基本操作狀態(tài)部分；一旦緩沖區(qū)零件數(shù)量達(dá)到n＝0，系統(tǒng)將轉(zhuǎn)向受控休眠狀態(tài)部分。

2)受控休眠狀態(tài)部分：由于上游機(jī)器發(fā)生故障，緩沖區(qū)零件數(shù)量達(dá)到n＝0。此時(shí)，若緩沖區(qū)上游機(jī)器被修復(fù)后，則系統(tǒng)進(jìn)入受控休眠狀態(tài)部分，緩沖區(qū)下游機(jī)器處于非故障狀態(tài)但不能加工零件，緩沖區(qū)零件數(shù)量隨之增加。當(dāng)緩沖區(qū)的零件數(shù)量達(dá)到緩沖控制水平時(shí)，緩沖區(qū)下游機(jī)器開始正常加工零件，此時(shí)，系統(tǒng)再次進(jìn)入到基本操作狀態(tài)部分。

本專利中系統(tǒng)狀態(tài)空間用p表示；系統(tǒng)狀態(tài)空間中某一具體狀態(tài)用三維向量(n,α1,α2)表示，其中n為緩沖區(qū)緩沖水平，αi表示機(jī)器mi所處狀態(tài)；某一具體狀態(tài)的概率值用p(n,α1,α2)表示。pi表示系統(tǒng)所處狀態(tài)，p1＝(n,α1,α2)表示系統(tǒng)處于基本操作狀態(tài)，p0＝(n,α1,1^*)表示系統(tǒng)處于受控休眠狀態(tài)，其中1^*表示機(jī)器m2處于被迫停機(jī)狀態(tài)。

根據(jù)機(jī)器m1和m2狀態(tài)及相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，考慮休眠策略的兩機(jī)器流水線狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如圖3所示。

根據(jù)考慮休眠策略的兩機(jī)器流水線狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖，可得對(duì)應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

其中，t¹為基本操作狀態(tài)部分內(nèi)部轉(zhuǎn)移矩陣，t^*為受控休眠狀態(tài)部分轉(zhuǎn)移矩陣，t^1-*為由基本操作狀態(tài)部分轉(zhuǎn)移到受控休眠狀態(tài)部分的轉(zhuǎn)移矩陣，t^*-1為由受控休眠狀態(tài)部分到基本操作狀態(tài)部分的轉(zhuǎn)移矩陣。

根據(jù)休眠策略的定義，系統(tǒng)在基本操作狀態(tài)部分和受控休眠狀態(tài)部分兩狀態(tài)劃分相互之間的轉(zhuǎn)移是以緩沖區(qū)緩沖水平為信號(hào)實(shí)現(xiàn)的。具體地，當(dāng)緩沖區(qū)零件數(shù)量n＝0且機(jī)器m1由故障狀態(tài)轉(zhuǎn)入加工狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)由基本操作狀態(tài)部分轉(zhuǎn)移到受控休眠狀態(tài)部分

p(0,0,1)＝r1p(0,1,1^*)(7)

同樣，當(dāng)緩沖區(qū)零件數(shù)量達(dá)到緩沖控制水平時(shí)，取n＝n-2，系統(tǒng)由受控休眠狀態(tài)部分轉(zhuǎn)移到基本操作狀態(tài)部分。因此，根據(jù)圖3，狀態(tài)(n-1,1,1)能同時(shí)由基本操作狀態(tài)部分中的(n-1,0,0)、(n-1,1,0)、(n-1,1,1)、(n,1,0)和受控休眠狀態(tài)部分中的(n-2,0,1^*)、(n-2,1,1^*)轉(zhuǎn)移得到

因此，t^1-*和t^*-1可根據(jù)公式(9)和公式(10)得

其中，矩陣中元素表示系統(tǒng)的某狀態(tài)轉(zhuǎn)移到其它狀態(tài)的概率值。例如，t^1-*僅有一個(gè)元素r1，表示系統(tǒng)從狀態(tài)(0,0,1)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)(1,1,1^*)的概率值為r1。

基本操作狀態(tài)部分內(nèi)部轉(zhuǎn)移矩陣t¹形式如下

由圖3可得

受控休眠狀態(tài)部分內(nèi)部轉(zhuǎn)移矩陣t^*為

本專利研究穩(wěn)定狀態(tài)下系統(tǒng)的馬爾科夫過程，因此，系統(tǒng)由基本操作狀態(tài)部分轉(zhuǎn)移到受控休眠狀態(tài)部分的概率值和系統(tǒng)由受控休眠狀態(tài)部分轉(zhuǎn)移到基本操作狀態(tài)部分的概率值是相等的。

系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖中相互關(guān)聯(lián)的兩個(gè)狀態(tài)劃分裂變成兩個(gè)相互獨(dú)立的狀態(tài)空間：基本狀態(tài)空間和休眠狀態(tài)空間。具體地，在基本狀態(tài)空間中，緩沖區(qū)零件數(shù)量隨兩機(jī)器狀態(tài)的變化而變化，當(dāng)緩沖區(qū)零件數(shù)量減少到n＝0時(shí)，若機(jī)器m1由故障狀態(tài)轉(zhuǎn)入加工狀態(tài)，系統(tǒng)狀態(tài)由(0,0,1)轉(zhuǎn)到(n-1,1,1)；在休眠狀態(tài)空間中，機(jī)器m2處于受控狀態(tài)，緩沖區(qū)零件數(shù)量呈現(xiàn)非減的狀態(tài)，當(dāng)緩沖區(qū)零件數(shù)量增至n＝n-2時(shí)，系統(tǒng)下一時(shí)刻轉(zhuǎn)到狀態(tài)(1,1,1^*)。相應(yīng)的狀態(tài)空間轉(zhuǎn)移圖如圖4所示。

因此，可以對(duì)系統(tǒng)原狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣t進(jìn)行變換

其中

基本狀態(tài)空間和休眠狀態(tài)空間作為原狀態(tài)空間的兩個(gè)子空間獨(dú)立互補(bǔ)。因此，在穩(wěn)定狀態(tài)下，兩狀態(tài)空間中狀態(tài)概率和須滿足歸一化條件

根據(jù)劃分后的狀態(tài)空間所對(duì)應(yīng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可寫出基本狀態(tài)空間和休眠狀態(tài)空間的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。具體地，基本狀態(tài)空間狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程包括：上邊界狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程、下邊界狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和內(nèi)部狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程；休眠狀態(tài)空間狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程包括：下邊界狀態(tài)方程和內(nèi)部狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。

基本狀態(tài)空間狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程

內(nèi)部狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：2≤n≤n-2

下邊界狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：n≤1

p(1,0,0)＝(1-r1)(1-r2)p(1,0,0)+(1-r1)p2p(1,0,1)+p1p2p(1,1,1)(26)

p(1,1,1)＝r1r2p(1,0,0)+r1(1-p2)p(1,0,1)+(1-p1)(1-p2)p(1,1,1)(28)

p(2,1,0)＝r1(1-r2)p(1,0,0)+r1p2p(1,0,1)+(1-p1)p2p(1,1,1)(29)

上邊界狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：n＞n-1

休眠狀態(tài)空間狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程

內(nèi)部狀態(tài)方程：2≤n≤n-2

p(n,1,1^*)＝r1p(n-1,0,1^*)+(1-p1)p(n-1,1,1^*)(35)

p(n,0,1^*)＝(1-r1)p(n,0,1^*)+p1p(n,1,1^*)(36)

下邊界狀態(tài)方程：n＝1

p(1,0,1^*)＝(1-r1)p(1,0,1^*)+p1p(1,1,1^*)(37)

p(1,1,1^*)＝r1p(n-2,0,1^*)+(1-p1)p(n-2,1,1^*)(38)

將n+1代入公式(35)得

p(n+1,1,1^*)＝r1p(n,0,1^*)+(1-p1)p(n,1,1^*)(39)

通過公式(39)將公式(36)中r1p(n,0,1^*)替換，可得

p(n+1,1,1^*)＝p(n,1,1^*)(40)

可以寫成

p^*(1)＝p(n,1,1^*)(41)

由上式可知，α1＝1時(shí)，休眠狀態(tài)下的概率值與n無關(guān)。

將公式(41)代入公式(36)可得

此外，變換公式(38)可得

方程(37)可變?yōu)?/p>

通過以上分析可知，休眠狀態(tài)空間中的狀態(tài)概率值僅與機(jī)器m1所處的工作/故障狀態(tài)有關(guān)，與緩沖區(qū)水平n無關(guān)。因此

p(1,0,1^*)＝p(2,0,1^*)＝…＝p(n-3,0,1^*)＝p(n-2,0,1^*)(45)

p(1,1,1^*)＝p(2,1,1^*)＝…＝p(n-3,1,1^*)＝p(n-2,1,1^*)(46)

基本狀態(tài)空間和休眠狀態(tài)空間轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)移方程

這里研究穩(wěn)定狀態(tài)下系統(tǒng)的馬爾科夫過程，根據(jù)休眠策略的定義，系統(tǒng)在基本狀態(tài)空間和休眠狀態(tài)空間兩子狀態(tài)空間之間的轉(zhuǎn)化是以緩沖區(qū)零件數(shù)量為信號(hào)來實(shí)現(xiàn)。當(dāng)緩沖區(qū)零件數(shù)量降至n＝0且機(jī)器m1由故障狀態(tài)轉(zhuǎn)入加工狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)由基本狀態(tài)空間轉(zhuǎn)移到休眠狀態(tài)空間；當(dāng)緩沖區(qū)零件數(shù)量達(dá)到n＝n-2時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)由休眠狀態(tài)空間轉(zhuǎn)移到基本狀態(tài)空間。因此，兩狀態(tài)空間之間相互轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)移方程如下

p(0,0,1)＝r1p(0,1,1^*)(47)

●解析模型流守恒證明

流守恒是指生產(chǎn)系統(tǒng)中從第一個(gè)零件進(jìn)入生產(chǎn)線到最后一個(gè)零件離開，流經(jīng)生產(chǎn)線中各機(jī)器的零件數(shù)量相等，即機(jī)器的產(chǎn)出率相等。滿足流守恒性質(zhì)是對(duì)所建立模型是否符合實(shí)際生產(chǎn)情況的有效證明，也是對(duì)更復(fù)雜流水線性質(zhì)研究的重要理論基礎(chǔ)。針對(duì)本論文所提出的考慮休眠策略的兩機(jī)器解析模型，欲證明其流守恒條件成立，只需證明機(jī)器m1和機(jī)器m2的效率相等。這是由于機(jī)器m1和m2具有相同的固定加工時(shí)間，從而機(jī)器效率e與產(chǎn)出率th相等。

[定理1]考慮休眠策略的兩機(jī)器流水線解析模型滿足物料守恒：e1＝e2。

證明：e1、e2分別為機(jī)器m1和m2的效率。是機(jī)器mi處于基本狀態(tài)空間的機(jī)器效率，是機(jī)器mi處于休眠狀態(tài)空間的機(jī)器效率，則機(jī)器m1和m2的效率表達(dá)式如下

在休眠狀態(tài)空間中，機(jī)器m2處于受控狀態(tài)，所以因此，流守恒可以通過證明以下公式來證明

整理得

基本狀態(tài)空間中系統(tǒng)狀態(tài)關(guān)系滿足

通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖可知p(0,1,1)＝0、p(n,1,1)＝0，因此

又因p(1,1,0)＝0、p(n-1,0,1)＝0，所以

在公式(56)中，令中n＝n+1，則有

將公式(30)、(31)、(33)、(34)相加可得

p(n-2,0,1)-p(n-1,1,0)＝r1p(0,0,1)(58)

令公式(22)中n＝n-1，公式(23)中n＝n+1，然后將公式(21)、(22)、(23)、(24)相加，可得

p(n,0,1)-p(n+1,1,0)＝p(n-1,0,1)-p(n,1,0),n＝2,...,n-2(59)

令δ(n)＝p(n,0,1)-p(n+1,1,0)，則則有δ(n+1)＝δ(n)，n＝2,...,n-2，因此

休眠狀態(tài)空間中系統(tǒng)狀態(tài)關(guān)系滿足

又因p(1,1,1^*)＝p(1)，根據(jù)狀態(tài)空間轉(zhuǎn)化方程(47)，從標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)空間轉(zhuǎn)移到緩沖休眠狀態(tài)空間，可得

綜上所述，則e1＝e2成立，故流守恒性質(zhì)得證。

(4)考慮休眠策略的兩機(jī)器流水線解析模型求解

●內(nèi)部狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程求解

根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)圖，基本狀態(tài)空間內(nèi)部狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程

其中，參數(shù)c1和c2是歸一化常數(shù)，并且

x1＝1

●上邊界狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程求解

通過觀察，將下邊界狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程(26)、(27)、(28)、(29)相加，可得

p(n-2,0,1)-p(n-1,1,0)＝r1p(0,0,1)(63)

令公式(21)中n＝n-1，公式(22)中n＝n+1，然后將方程(20)、(21)、(22)、(23)相加，可得

p(n,0,1)-p(n+1,1,0)＝p(n-1,0,1)-p(n,1,0),n＝2,...,n-2(64)

則有

p(1,0,1)-p(2,1,0)＝r1p(0,0,1)(65)

由上邊界方程(33)和下邊界方程(28)可知，狀態(tài)(n-1,1,0)和狀態(tài)(1,0,1)均由內(nèi)部狀態(tài)轉(zhuǎn)移得到

p(1,0,1)＝c1x1y21+c2x2y22(66)

因此，上邊界狀態(tài)(n-1,0,0)、(n-1,1,1)和(n,1,0)的表達(dá)式可以通過聯(lián)立方程(32)、(34)和(35)，求解三元一次方程組得到。

●下邊界狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程求解

同理，下邊界狀態(tài)(0,0,1)、(1,0,0)和(1,1,1)的表達(dá)式可以通過聯(lián)立方程(26)、(27)和(28)，求解三元一次方程組得到。

通過以上分析，基本狀態(tài)空間系統(tǒng)狀態(tài)解析解為

p(0,0,0)＝0

p(0,0,1)＝ω″(c1x1y21+c2x2y22)

p(0,1,0)＝0

p(1,0,0)＝ω′(c1x1y21+c2x2y22)

p(1,0,1)＝c1x1y21+c2x2y22

p(1,1,0)＝0

p(1,1,1)＝ω(c1x1y21+c2x2y22)

p(n-1,0,1)＝0

p(n,0,0)＝0

p(n,0,1)＝0

p(n,1,1)＝0

其中

首先，狀態(tài)(0,0,1)可以表示如下形式

然后，上文可得

最后，通過公式(70)，可得到歸一化參數(shù)c1和c2的關(guān)系

c1＝γc2(70)

其中：

又根據(jù)公式(70)可得未知量c2和c1的關(guān)系，所以基本狀態(tài)空間中狀態(tài)的概率值表達(dá)式中僅存在一個(gè)自由變量c1。

●休眠狀態(tài)空間求解

休眠狀態(tài)空間中的狀態(tài)概率值僅與機(jī)器m1所處的工作/故障狀態(tài)有關(guān)，與緩沖區(qū)水平n的大小無關(guān)。此外，通過公式(43)，可以假設(shè)休眠狀態(tài)空間系統(tǒng)狀態(tài)(n,α1,1^*)表達(dá)式形式為

在基本狀態(tài)空間中，通過推導(dǎo)得到了歸一化參數(shù)c1和c2的關(guān)系。為了保證本文中歸一化公式(20)可解，還需得到參數(shù)c^*和c1的關(guān)系。為此，可以從狀態(tài)空間轉(zhuǎn)化方程入手，通過公式(47)和(48)，可得

c^*＝ρc1(72)

其中ρ＝ρ1+ρ2，

(5)合理性分析

針對(duì)考慮休眠策略的兩機(jī)器流水線，分別采用本專利所提出的解析模型及仿真模型求解性能指標(biāo)，通過對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證考慮休眠策略的兩機(jī)器流水線解析模型的有效性。具體地，以仿真結(jié)果為基準(zhǔn)，計(jì)算流水線解析模型的系統(tǒng)性能指標(biāo)偏差百分比，其計(jì)算公式為

為了保證有效性分析的客觀和全面，在機(jī)器m1或m2為瓶頸機(jī)器的兩種不同情況下，共設(shè)計(jì)18組實(shí)驗(yàn)。具體地，針對(duì)每種情況，當(dāng)緩沖容量為n＝10、n＝30、n＝50時(shí)，分別選取三組不同的機(jī)器故障率和修復(fù)率，所需實(shí)驗(yàn)參數(shù)如表1所示。機(jī)器m1和機(jī)器m2分別作為瓶頸機(jī)器示意圖如圖5所示。機(jī)器m1和機(jī)器m2分別作為瓶頸的機(jī)器解析模型結(jié)果與仿真模型對(duì)比結(jié)果如表2～表7所示。

通過將機(jī)器m1和機(jī)器m2分別作為瓶頸機(jī)器的解析模型結(jié)果與仿真模型在不同緩沖水平下進(jìn)行對(duì)比，得出結(jié)論如下：

1)本文所建立的考慮休眠策略的兩機(jī)器流水線解析模型為精確解析模型，與仿真模型的結(jié)果偏差較小，吻合度好。

2)對(duì)于生產(chǎn)線效率和有效效率，解析模型所得結(jié)果與仿真模型所得結(jié)果偏差最大不超過0.3％，最大誤差為0.2175％，其中，有6組實(shí)驗(yàn)誤差為0％(精確到小數(shù)點(diǎn)后四位小數(shù))。

3)對(duì)于生產(chǎn)線停機(jī)率，最大誤差為33.3333％，最小誤差為0％(精確到小數(shù)點(diǎn)后四位小數(shù))。觀察數(shù)據(jù)可知，在18組數(shù)據(jù)中，有6組數(shù)據(jù)誤差小于1％，7組數(shù)據(jù)誤差為0％(精確到小數(shù)點(diǎn)后四位小數(shù))。誤差超過10％的兩組數(shù)據(jù)，解析模型所得結(jié)果與仿真模型實(shí)際偏差值很小。

利用所建立解析模型對(duì)考慮休眠策略流水線進(jìn)行性能分析，選取未考慮任何控制策略的兩機(jī)器解析模型為基準(zhǔn)，研究休眠策略對(duì)考慮停機(jī)成本流水線效率、有效效率及停機(jī)率等主要性能指標(biāo)的影響規(guī)律。

[定義8]瓶頸機(jī)器

瓶頸機(jī)器指生產(chǎn)線中獨(dú)立效率最低的機(jī)器。獨(dú)立效率是指機(jī)器不受生產(chǎn)線中其他機(jī)器的影響自身固有的效率，表達(dá)式如下

機(jī)器m1為瓶頸機(jī)器時(shí)，分析生產(chǎn)線效率、有效效率及停機(jī)率等三個(gè)性能指標(biāo)在不同修復(fù)率、故障率條件下隨緩沖容量改變的變化情況，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制變化曲線；機(jī)器m2為瓶頸機(jī)器時(shí)，做相似處理。緩沖區(qū)容量從10增加到30，每次增加10。假設(shè)機(jī)器m2每次停機(jī)所產(chǎn)生的不合格產(chǎn)品數(shù)量w＝2，同時(shí)將所需實(shí)驗(yàn)參數(shù)如表8所示。

休眠策略對(duì)生產(chǎn)線效率、有效效率及停機(jī)率影響曲線，如圖6～圖11所示，其中，三角實(shí)線表示未考慮任何控制策略的兩機(jī)器解析模型中緩沖區(qū)容量變化對(duì)生產(chǎn)線效率及停機(jī)率的影響，菱形實(shí)線表示休眠策略下兩機(jī)器解析模型緩沖區(qū)容量變化對(duì)生產(chǎn)線效率及停機(jī)率的影響。

根據(jù)休眠策略對(duì)生產(chǎn)線效率、有效效率及停機(jī)率影響曲線，對(duì)于考慮休眠策略的兩機(jī)器流水線，結(jié)論如下：

1)當(dāng)機(jī)器m1為瓶頸機(jī)器時(shí)，考慮休眠策略的生產(chǎn)線效率和停機(jī)率均明顯低于未考慮控制策略的情況。對(duì)于生產(chǎn)線效率，休眠策略減少了機(jī)器m2的工作時(shí)長(zhǎng)，不考慮停機(jī)成本時(shí)，必然會(huì)導(dǎo)致生產(chǎn)線效率的下降；對(duì)于停機(jī)率，根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知休眠策略能夠明顯降低機(jī)器的停機(jī)率。

2)當(dāng)機(jī)器m2為瓶頸機(jī)器時(shí)，考慮休眠策略的生產(chǎn)線效率和停機(jī)率均明顯低于未考慮控制策略的情況。對(duì)于生產(chǎn)線效率，考慮休眠策略的生產(chǎn)線效率隨著緩沖容量的增加呈現(xiàn)先增加后減少的趨勢(shì)，當(dāng)機(jī)器m2為瓶頸機(jī)器時(shí)，生產(chǎn)線更易發(fā)生阻塞停機(jī)，而生產(chǎn)線發(fā)生阻塞的可能性會(huì)隨緩沖容量的增加而降低，此時(shí)，休眠策略降低生產(chǎn)線效率的作用顯的更加明顯。

3)針對(duì)兩機(jī)器流水線有效效率，考慮休眠策略的生產(chǎn)線均高于未考慮控制策略的情況，因此休眠策略能夠提高生產(chǎn)線有效效率。對(duì)于機(jī)器m1為瓶頸機(jī)器，考慮休眠策略的生產(chǎn)線有效效率明顯高于未考慮控制策略情況；對(duì)于機(jī)器m2為瓶頸機(jī)器，考慮休眠策略的生產(chǎn)線有效效率高于未考慮控制策略的情況，但效果不明顯。分析原因，當(dāng)機(jī)器m1為瓶頸機(jī)器時(shí)，生產(chǎn)線更易發(fā)生停機(jī)，所以休眠策略對(duì)有效效率的改善效果更加明顯。此外，考慮休眠策略的生產(chǎn)線效率隨著緩沖容量的增加而增加，但增加趨勢(shì)不斷變緩。分析原因，生產(chǎn)線發(fā)生阻塞的可能性會(huì)隨緩沖容量的增加而不斷降低，因此，生產(chǎn)線有效效率會(huì)不斷增加。

表1考慮休眠策略兩機(jī)器流水線有效性分析機(jī)器實(shí)驗(yàn)參數(shù)

表2機(jī)器m1為瓶頸機(jī)器時(shí)，流水線解析模型與仿真模型對(duì)比結(jié)果(n＝10)

表3機(jī)器m1為瓶頸機(jī)器時(shí)，流水線解析模型與仿真模型對(duì)比結(jié)果(n＝30)

表4機(jī)器m1為瓶頸機(jī)器時(shí)，流水線解析模型與仿真模型對(duì)比結(jié)果(n＝50)

表5機(jī)器m2為瓶頸機(jī)器時(shí)，流水線解析模型與仿真模型對(duì)比結(jié)果(n＝10)

表6機(jī)器m2為瓶頸機(jī)器時(shí)，流水線解析模型與仿真模型對(duì)比結(jié)果(n＝30)

表7機(jī)器m2為瓶頸機(jī)器時(shí)，流水線解析模型與仿真模型對(duì)比結(jié)果(n＝50)

表8考慮休眠策略的兩機(jī)器流水線性能分析機(jī)器實(shí)驗(yàn)參數(shù)

以表2實(shí)驗(yàn)1的算例對(duì)考慮休眠策略的兩機(jī)器流水線性能評(píng)估方法進(jìn)行說明：

1)考慮休眠策略的兩機(jī)器流水線模型求解

將機(jī)器m1故障率p1＝0.07、修復(fù)率r1＝0.2和機(jī)器m2故障率p2＝0.05、修復(fù)率r2＝0.2及緩沖區(qū)容量n＝10分別代入基本狀態(tài)空間系統(tǒng)狀態(tài)解析解公式和休眠狀態(tài)解析解公式，對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率進(jìn)行求解。

2)考慮休眠策略的兩機(jī)器流水線性能指標(biāo)求解

將所得的狀態(tài)概率帶入到性能指標(biāo)計(jì)算公式中，求得相應(yīng)的性能指標(biāo)值：生產(chǎn)線效率e2＝0.6674、有效效率ew＝0.6065、停機(jī)率fstop＝0.0106。

盡管上面已經(jīng)示出和描述了本發(fā)明的實(shí)施例，可以理解的是，上述實(shí)施例是示例性的，不能理解為對(duì)本發(fā)明的限制，本領(lǐng)域的普通技術(shù)人員在不脫離本發(fā)明的原理和宗旨的情況下在本發(fā)明的范圍內(nèi)可以對(duì)上述實(shí)施例進(jìn)行變化、修改、替換和變型。