本發(fā)明針對核反應堆堆芯中子學計算領域,提出了一種針對反應堆中子擴散方程的非均勻幾何變分節(jié)塊方法。
背景技術:
核反應堆中子學計算研究以核反應堆堆芯為應用對象,其堆芯由許多不同種類的組件構成。根據(jù)堆型的不同,組件內部的幾何結構和材料布置復雜多變。因此,實際的反應堆中子學問題是一個三維非均勻幾何的中子學問題。對核反應堆進行快速、精確的中子學計算,是反應堆設計和校核的基本保障。目前在堆芯物理設計過程中,主要采用均勻幾何的擴散方程求解方法。
變分節(jié)塊法最早由美國西北大學的e.e.lewis教授提出,是中子學計算方法的杰出代表,具備扎實的工程應用背景。其主要應用作有美國阿貢國家實驗室開發(fā)的variant程序和nodal程序,法國原子能委員會的eranos程序,以及美國愛達荷國家實驗室的instant程序等等。
變分節(jié)塊法以二階偶宇稱形式的中子擴散方程為出發(fā)點,方程呈現(xiàn)橢圓方程的形式,有利于garlerkin方法的應用,且更適合有限元方法的空間離散。變分節(jié)塊法的計算思想是:首先通過變分方法在均勻幾何求解區(qū)域建立包含二階中子輸運方程和自然邊界條件的泛函;然后采用標準正交多項式進行ritz離散,同時利用球諧函數(shù)實現(xiàn)角度展開,并構造響應矩陣;最后分別在三維堆芯的各個節(jié)塊內分別求解響應矩陣方程;節(jié)塊之間以流和其高階矩耦合,最終得到問題區(qū)域的中子通量密度分布。變分節(jié)塊法消除了橫向積分,離散對象直接針對三維中子通量密度分布。因此,變分節(jié)塊法不需要精細功率重構技術,只需將最終求得的中子通量密度矩代入展開式就可以得到中子通量密度分布。然而,傳統(tǒng)的變分節(jié)塊法程序僅具備均勻節(jié)塊的處理能力,不足以精細描述節(jié)塊內部的非均勻幾何,無法避免節(jié)塊均勻化帶來的誤差。
隨著科學技術的發(fā)展和計算機水平的提高,人們已經越來越開始重視減少近似和假設,追求更高精度的中子學計算方法,消除均勻化過程是中子學發(fā)展的必然趨勢。因此,針對反應堆中子擴散方程的非均勻幾何變分節(jié)塊方法對于中子學計算具有十分重要的意義。
技術實現(xiàn)要素:
為了克服上述現(xiàn)有技術存在的問題,本發(fā)明的目的是提出一種針對反應堆中子擴散方程的非均勻幾何變分節(jié)塊方法,它能夠精細描述核反應堆的非均勻柵元結構;該方法將基于變分節(jié)塊法,采用等參有限元來處理節(jié)塊內部的精細幾何結構,實現(xiàn)非均勻幾何的中子擴散方程求解。
為了實現(xiàn)上述目的,本發(fā)明采取了以下技術方案予以實施:
一種針對反應堆中子擴散方程的非均勻幾何變分節(jié)塊方法,步驟如下:
步驟1:首先根據(jù)公式(1)中二階偶宇稱擴散方程建立包含公式(3)中子通量密度φ和中子流密度j的泛函,泛函中包含節(jié)塊內部的中子守恒關系以及節(jié)塊表面的流連續(xù)性條件:
針對某一特定能群,在擴散近似下,二階偶宇稱擴散方程為:
式中:
φ—節(jié)塊內部中子通量密度;
ω—方位角向量;
σt—中子宏觀總截面;
σa—中子宏觀吸收截面;
q—中子源項;
根據(jù)變分原理,在由若干節(jié)塊組成的整個非均勻求解區(qū)域上,對應擴散方程的泛函寫作各個節(jié)塊內部及其表面上泛函的疊加貢獻:
式中:
f[φ,j]—整個非均勻幾何求解區(qū)域內的泛函;
fv[φ,j]—單個節(jié)塊內部的泛函;
v—節(jié)塊的編號;
而擴散近似下的各節(jié)塊泛函
其中γ是外部邊界;
步驟2:有限元形狀函數(shù)g(x,y)能夠用來描述曲邊幾何結構,因此利用x‐y方向的有限元形狀函數(shù)g(x,y),分片常量多項式h(x,y),z方向的正交多項式fz(z)和f′z(z)對節(jié)塊內部中子通量密度φ、節(jié)塊表面中子流j分別展開,實現(xiàn)非均勻節(jié)塊的幾何和材料描述功能:
式中:
t—轉置符號;
fz(z)—節(jié)塊內部軸向標準正交多項式向量;
g(x,y)—x‐y方向有限元形狀函數(shù)向量;
φ—節(jié)塊內部中子通量密度的展開矩向量;
f′z(z)—節(jié)塊x‐y表面的軸向標準正交多項式向量;
fγ(γ′)—節(jié)塊x‐y表面的徑向標準正交多項式向量;
j±γ(γ′,z)—節(jié)塊x‐y表面中子流密度展開矩向量,其中展開矩代表了展開系數(shù)的值;j±γ(γ′,z)是關于徑向方向上的自變量γ′=x,y和軸向方向的自變量z的函數(shù):當γ=x時γ′=y(tǒng),j±x(y,z)代表節(jié)塊左側和右側的表面中子流密度展開矩向量;當γ=y(tǒng)時γ′=x,j±y(x,z)代表節(jié)塊下側和上側的表面中子流密度展開矩向量;
j±z(x,y)—節(jié)塊z表面中子流密度展開矩向量,它是關于徑向方向上的自變量x,y的函數(shù);
δz—節(jié)塊z方向上的高度;
h(x,y)—節(jié)塊z表面分片常量,對應于節(jié)塊內部第e個面積為ae的有限元網格,它滿足
步驟3:將公式(4)至公式(6)中的離散表達式代入各個節(jié)塊內部的泛函公式(3),得到表征中子通量密度展開系數(shù)φ和中子流密度展開系數(shù)j之間關系的響應矩陣方程公式(8)、公式(10):
將公式(4)至公式(6)代入公式(3),得節(jié)塊內部泛函的離散形式:
根據(jù)變分原理,對公式(7)取φ的一階變分為0,得擴散近似形式的矩陣方程:
其中:
其中:
-1—矩陣的求逆;
φ—節(jié)塊內部中子通量密度展開矩向量;
j—節(jié)塊表面凈中子流密度展開矩向量;
q—中子源項展開矩向量;
對公式(7)取j的一階變分為0,得節(jié)塊表面偶宇稱中子通量密度展開矩
聯(lián)立公式(8)和公式(9):
式中:
j—凈中子流密度展開矩向量;
u—中子流源項展開矩向量;
其中:
為了將響應矩陣表達成通用形式,利用變量替換關系式
將公式(10)寫為響應矩陣形式:
式中:
j+—出射中子流展開矩向量;
j-—入射中子流展開矩向量;
式中:
步驟4:對公式(14)、公式(8)所代表的響應矩陣方程,利用紅-黑迭代的方法進行迭代求解,最終得到整個非均勻幾何求解區(qū)域的中子通量密度分布φ(r)和中子流密度分布j±γ(γ′,z)、j±z(x,y),從而完成針對反應堆中子擴散方程的非均勻幾何變分節(jié)塊方法。
與現(xiàn)有技術相比,本發(fā)明具有如下突出優(yōu)點:
1.傳統(tǒng)的節(jié)塊方法絕大多數(shù)僅具備均勻節(jié)塊的描述能力,本發(fā)明通過采用等參有限元對各節(jié)塊內部的中子通量密度分布進行空間離散,可以有效地描述各個節(jié)塊的內部的非均勻曲邊幾何結構,實現(xiàn)非均勻擴散計算的能力。
2.本發(fā)明通過在節(jié)塊的軸向表面采用分片常量進行空間離散,能夠實際描述非均勻節(jié)塊表面的軸向泄漏分布,消除傳統(tǒng)節(jié)塊方法中軸向表面的均勻化過程,更加切合物理實際,同時提高計算精度。
附圖說明
圖1為等參有限元描述下的壓水堆柵元非均勻幾何。
具體實施方式
下面結合具體實施方式對本發(fā)明作進一步詳細說明。該方法采用標準的源迭代的方法進行外迭代。針對群內迭代,具體計算流程包括以下幾步:
步驟1:首先根據(jù)公式(1)中二階偶宇稱擴散方程建立包含公式(3)中子通量密度φ和中子流密度j的泛函,泛函中包含節(jié)塊內部的中子守恒關系以及節(jié)塊表面的流連續(xù)性條件:
針對某一特定能群,在擴散近似下,二階偶宇稱擴散方程為:
式中:
φ—節(jié)塊內部中子通量密度;
ω—方位角向量;
σt—中子宏觀總截面;
σa—中子宏觀吸收截面;
q—中子源項;
根據(jù)變分原理,在由若干節(jié)塊組成的整個非均勻求解區(qū)域上,對應擴散方程的泛函可以寫作各個節(jié)塊內部及其表面上泛函的疊加貢獻:
式中:
f[φ,j]—整個非均勻幾何求解區(qū)域內的泛函,其中φ代表非均勻幾何求解區(qū)域的中子角通量密度,j代表非均勻幾何求解區(qū)域的表面中子流密度;
fv[φ,j]—單個節(jié)塊內部的泛函,其中φ代表節(jié)塊內部的中子角通量密度,j代表節(jié)塊表面的中子流密度;
v—節(jié)塊的編號;
而擴散近似下的各節(jié)塊泛函
其中γ是外部邊界;
步驟2:有限元形狀函數(shù)g(x,y)能夠用來描述如圖1所示的曲邊幾何結構,因此利用x‐y方向的有限元形狀函數(shù)g(x,y),分片常量多項式h(x,y),z方向的正交多項式fz(z)和f′z(z)對節(jié)塊內部中子通量密度φ、節(jié)塊表面中子流j分別展開,實現(xiàn)非均勻節(jié)塊的幾何和材料描述功能:
式中:
t—轉置符號;
fz(z)—節(jié)塊內部軸向標準正交多項式向量;
g(x,y)—x‐y方向有限元形狀函數(shù)向量;
φ—節(jié)塊內部中子通量密度的展開矩向量;
f′z(z)—節(jié)塊x‐y表面的軸向標準正交多項式向量;
fγ(γ′)—節(jié)塊x‐y表面的徑向標準正交多項式向量;
j±γ(γ′,z)—節(jié)塊x‐y表面的中子流密度展開矩向量,其中展開矩代表了展開系數(shù)的值;它是關于徑向方向上的自變量γ′=x,y和軸向方向的自變量z的函數(shù):當γ=x時γ′=y(tǒng),j±x(y,z)代表節(jié)塊左側和右側的表面中子流密度展開矩向量;當γ=y(tǒng)時γ′=x,j±y(x,z)代表節(jié)塊下側和上側的表面中子流密度展開矩向量;
j±z(x,y)—節(jié)塊z表面的中子流密度展開矩向量,它是關于徑向方向上的自變量x,y的函數(shù),腳標±z分別對應了節(jié)塊的頂側和低側表面;
δz—節(jié)塊z方向上的高度;
h(x,y)—節(jié)塊z表面分片常量,對應于節(jié)塊內部第e個面積為ae的有限元網格,它滿足
步驟3:將公式(4)至公式(6)中的離散表達式代入各個節(jié)塊內部的泛函公式(3),得到表征中子通量密度展開系數(shù)φ和中子流密度展開系數(shù)j之間關系的響應矩陣方程公式(8)、公式(10):
將公式(4)至公式(6)代入公式(3),得節(jié)塊內部泛函的離散形式:
根據(jù)變分原理,對公式(7)取φ的一階變分為0,得擴散近似形式的矩陣方程:
其中:
其中:
-1—矩陣的求逆;
φ—節(jié)塊內部中子通量密度展開矩向量;
j—節(jié)塊表面凈中子流密度展開矩向量;
q—中子源項展開矩向量;
對公式(7)取j的一階變分為0,得節(jié)塊表面偶宇稱中子通量密度展開矩
聯(lián)立公式(8)和公式(9):
式中:
j—凈中子流密度展開矩向量;
u—中子流源項展開矩向量;
其中:
為了將響應矩陣表達成通用形式,利用變量替換關系式
將公式(10)寫為響應矩陣形式:
式中:
j+—出射中子流展開矩向量;
j-—入射中子流展開矩向量;
式中:
為使表達簡便,省略展開基函數(shù)中的x,y,z自變量,公式(8)至公式(16)中的各系數(shù)矩陣可寫作:
其中:
g|±x—g(x,y)函數(shù)在節(jié)塊+x,-x表面上的取值;
g|±y—g(x,y)函數(shù)在節(jié)塊+y,-y表面上的取值;
fz|±z—fz(z)函數(shù)在節(jié)塊+z,-z表面上的取值;
其他符號的代表意義與前文相同。
步驟4:對于求解區(qū)域內各不同種類的節(jié)塊,根據(jù)公式(11),公式(15)至公式(28)分別計算各節(jié)塊的響應矩陣;
步驟5:針對特定能群,利用紅‐黑掃描的方式對響應矩陣方程公式(14)進行迭代求解,得到出、入射偏中子流密度矩j+、j-;在求得出、入射偏中子流密度矩j+、j-后,代入公式(8),即可解得節(jié)塊內部中子通量密度矩φ,從而可由公式(4)得知節(jié)塊內部的中子通量密度分布φ(r);
步驟7:進行下一能群的計算,能夠求解整個非均勻求解區(qū)域內各群的中子通量密度分布和有效增值因子,完成針對反應堆中子擴散方程的非均勻幾何變分節(jié)塊方法。