本發(fā)明涉及土木工程領(lǐng)域的橋梁碰撞間隙設(shè)置寬度的評估，特別涉及非平穩(wěn)地震作用下橋梁系統(tǒng)碰撞間隙寬度的概率評價方法，具體地說是基于非平穩(wěn)隨機振動的虛擬激勵法、精細(xì)積分法和矩陣運算方法的橋梁系統(tǒng)概率的計算方法，可用于判斷既有橋梁碰撞間隙寬度的評估和為新建橋梁提供碰撞間隙寬度設(shè)置的理論依據(jù)和參數(shù)分析方法。

背景技術(shù)：

地震本身具有隨機性，所以采用隨機振動法進(jìn)行結(jié)構(gòu)抗震分析是未來抗震領(lǐng)域發(fā)展的方向，但是由于理論復(fù)雜，計算效率低下使其在土木工程中的應(yīng)用受到了延緩。國內(nèi)外學(xué)者運用隨機振動理論對大跨度橋梁進(jìn)行了相關(guān)研究，在隨機振動領(lǐng)域做了重大的貢獻(xiàn)，并取得相應(yīng)成果。但是，對于復(fù)雜的大跨度結(jié)構(gòu)，再加上考慮多點激勵和非平穩(wěn)性等條件，傳統(tǒng)的隨機振動方法計算結(jié)果用cqc組合計算巨大，很難用于實際工程。很多學(xué)者采用簡化的srss組合方式，但是這卻忽略了相關(guān)項的影響，對于頻率密集的大跨度復(fù)雜結(jié)構(gòu)，振型之間相互耦合，srss組合方式不能滿足工程要求。

虛擬激勵法采用矩陣表達(dá)形式概念明確，計算效率高。虛擬激勵法將非平穩(wěn)隨機振動轉(zhuǎn)化為時程分析，簡化了非平穩(wěn)隨機振動的求解方式。但通用有限元軟件沒有自帶的虛擬激勵法計算模塊，如何在通用有限元軟件中實現(xiàn)隨機振動的虛擬激勵法是推動隨機振動在工程領(lǐng)域應(yīng)用的關(guān)鍵，且國內(nèi)外研究甚少。一般情況下，需要研究人員自編程序來解決虛擬激勵法的計算以及軟件的前后處理，這樣就會導(dǎo)致大量時間耗費在編程建模上。傳統(tǒng)的虛擬激勵法很難在通用有限元中實現(xiàn)，即使能實現(xiàn)也僅限于自由度比較少的結(jié)構(gòu)。因為傳統(tǒng)的虛擬激勵法將絕對位移分解為擬靜力位移項和動力相對位移項后求解運動方程。在一維多點激勵時，求解結(jié)構(gòu)的擬靜力位移項和動力相對位移項都要先得到靜力影響矩陣，然后再根據(jù)靜力影響矩陣確定擬靜力位移和自由度方向的虛擬激勵荷載來求動力相對位移項，尤其是對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，自由度相當(dāng)多，這使得傳統(tǒng)虛擬激勵荷載加載和求解非常耗時，更不用說多點非平穩(wěn)激勵分析了。如果還需自己編寫程序計算，那么虛擬激勵法很難在實際工程中進(jìn)行推廣應(yīng)用。

眾所周知，時程分析法也是非常耗時。雖然虛擬激勵法將非平穩(wěn)隨機振動轉(zhuǎn)化為時程分析，但是在每一個離散頻率點做一次時程分析，那么離散頻率有成千上萬個，導(dǎo)致時程分析也有成千上萬次，計算量還是很大。精細(xì)積分法的引入正好解決了這個問題，只需要兩個時程分析就能完成所有的計算，這大大提高了計算效率，便于工程應(yīng)用推廣。

另外，地震災(zāi)后調(diào)查發(fā)現(xiàn)，地震作用下橋梁設(shè)計提供的梁體間隙寬度不足時，不能滿足梁體之間的相對位移需求，從而導(dǎo)致梁體發(fā)生碰撞破壞。在頻遇地震中，梁體之間的碰撞導(dǎo)致梁體局部破壞。在罕遇地震中，梁體之間的碰撞可能導(dǎo)致落梁，落梁過程中梁體可能會對橋墩有巨大沖擊，造成全橋的垮塌，進(jìn)而使得災(zāi)后橋梁修復(fù)困難。如何提供合理的間隙寬度來減輕或避免梁體在地震中的碰撞已成為橋梁抗震領(lǐng)域研究的關(guān)鍵問題。

再者，基于概率理論來研究橋梁碰撞間隙寬度的設(shè)計能表征地震動的隨機性對間隙寬度的影響。國內(nèi)外學(xué)者對碰撞間隙寬度的研究較少，研究方法基本為確定性動力時程分析和非確定性的隨機振動兩種方法。動力時程分析方法要體現(xiàn)隨機性需通過大量的時程積分運算才能得到相對位移響應(yīng)峰值均值。如要得到橋梁單個構(gòu)件破壞的條件超越概率，需要計算不同地震強度水平下的峰值響應(yīng)均值和方差，計算量巨大，更不用說考慮橋梁整個系統(tǒng)的條件超越概率；隨機振動法可方便得到相對位移響應(yīng)峰值均值，但是因其理論復(fù)雜，計算效率低下，在實際工程中應(yīng)用較少?；陔S機振動方法研究各種因素對橋梁碰撞間隙寬度設(shè)計的影響，主要因素有土層分布、地震空間性、地震非平穩(wěn)性、樁-土-結(jié)構(gòu)相互作用、支座參數(shù)(剛度和阻尼)和地震動強度等。但是，上述的研究均未涉及到橋梁系統(tǒng)碰撞超越概率。橋梁結(jié)構(gòu)是一個完整的系統(tǒng)，從系統(tǒng)可靠度角度來專門研究橋梁碰撞間隙寬度是非常必要的。

因此，如果將隨機振動的虛擬激勵法、精細(xì)積分法與矩陣系統(tǒng)可靠度結(jié)合起來研究橋梁系統(tǒng)在各設(shè)計間隙寬度下的碰撞系統(tǒng)概率分布，進(jìn)而就可以評估間隙寬度設(shè)置對橋梁系統(tǒng)安全性的影響。

技術(shù)實現(xiàn)要素：

本發(fā)明的目的是要解決現(xiàn)有技術(shù)問題，從而提供一種非平穩(wěn)地震作用下橋梁系統(tǒng)碰撞間隙寬度的概率評價方法。

為達(dá)到上述目的，本發(fā)明是按照以下技術(shù)方案實施的：

非平穩(wěn)地震作用下橋梁系統(tǒng)碰撞間隙寬度的概率評價方法，包括以下步驟：

步驟一、建立非平穩(wěn)空間地震激勵下的橋梁碰撞間隙寬度需求概率模型；

步驟二、引入精細(xì)積分法提高非平穩(wěn)隨機振動計算效率；

步驟三、建立了非平穩(wěn)地震作用下震級與梁體間隙寬度超越概率的關(guān)系；

步驟四、基于矩陣系統(tǒng)運算方法建立橋梁系統(tǒng)所有碰撞處各碰撞間隙寬度和橋梁系統(tǒng)碰撞概率關(guān)系。

具體地，所述步驟四中的所有碰撞處為梁體與梁體和梁體與橋臺之間的碰撞處。

進(jìn)一步，所述步驟二采用方法是基于apdl語言二次開發(fā)功能及matlab數(shù)據(jù)處理功能實現(xiàn)非平穩(wěn)地震多點激勵快速模擬和數(shù)據(jù)的快速處理，運用直接求解的虛擬激勵法與精細(xì)積分法來計算兩個瞬態(tài)分析得到所有頻率點下的響應(yīng)。

進(jìn)一步，所述步驟三利用matlab矩陣運算，通過矩陣迭代計算系數(shù)矩陣c和概率矩陣p，快速計算不同震級下超越橋梁設(shè)計的間隙寬度的條件概率。

進(jìn)一步，所述步驟四將單個間隙寬度超越條件概率按其事件本身的內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行組合，快速計算出系統(tǒng)條件超越概率，從而識別地震作用下任意超過間隙寬度后發(fā)展碰撞的橋梁系統(tǒng)破壞條件概率。

本發(fā)明的原理為：

運用虛擬激勵法求解非平穩(wěn)隨機振動，將其轉(zhuǎn)換為時程分析，提高了隨機振動計算效率；精細(xì)積分法將時程分析縮減為兩次，大大提高計算效率；引入矩陣運算法再次提高計算效率。系統(tǒng)可靠度計算效率的提高為其在實際工程中應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)；基于虛擬激勵法得到不同震級下隨時間變化的梁體響應(yīng)位移峰值均值和均方值，可得到不同震級下的概率分布，然后通過矩陣迭代計算得到系統(tǒng)發(fā)生碰撞的條件概率分布，進(jìn)而評估間隙寬度設(shè)置對橋梁系統(tǒng)安全性的影響

1.精細(xì)積分法將時程分析縮減為兩次，大大提高計算效率；

引入矩陣運算法再次提高計算效率。系統(tǒng)可靠度計算效率的提高為其在實際工程中應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)?；谔摂M激勵法得到不同震級下隨時間變化的梁體響應(yīng)位移峰值均值和均方值，可得到不同震級下的概率分布，然后通過矩陣迭代計算得到系統(tǒng)發(fā)生碰撞的條件概率分布，進(jìn)而評估間隙寬度設(shè)置對橋梁系統(tǒng)安全性的影響。

與現(xiàn)有技術(shù)相比，本發(fā)明具有以下有益效果：

1、本發(fā)明選擇虛擬激勵法求解隨機振動，將計算效率提高了2-4個數(shù)量級；

2、多點激勵的虛擬激勵法在通用有限元軟件中的快速模擬，不需要編制專門程序，為工程師節(jié)約了時間，贏得了效益，從而推動了隨機振動法在實際工程中的應(yīng)用；

3、運用虛擬激勵法和精細(xì)積分法在頻域-時域內(nèi)混合求解得出各強度水平非平穩(wěn)地震下結(jié)構(gòu)響應(yīng)的均值和均方差(均值和均方差隨時間變化)；

4、引入davenport理論計算結(jié)構(gòu)響應(yīng)峰值均值和均方差，迅速得到地震強度與平均需求之間的關(guān)系；

5、引入極值分布函數(shù)獲得隨時間變化的單個間隙寬度需求的條件超越概率分布；

6、運用矩陣運算方法計算各極限狀態(tài)的系統(tǒng)條件超越概率。

綜述，本發(fā)明運用虛擬激勵法、精細(xì)積分法和矩陣運算法三次提高系統(tǒng)條件概率的計算效率，克服了系統(tǒng)概率求解低下的缺點，便于在實際工程中推廣應(yīng)用；該發(fā)明可以從橋梁系統(tǒng)層面。評估橋梁各間隙寬度設(shè)置對地震作用下橋梁動力響應(yīng)的影響

附圖說明

圖1為本發(fā)明的變化場地條件下的空間分布圖。

圖2為本發(fā)明的時程分析的三角加載形式圖。

圖3為本發(fā)明的流程圖。

具體實施方式

下面結(jié)合具體實施例對本發(fā)明作進(jìn)一步描述，在此發(fā)明的示意性實施例以及說明用來解釋本發(fā)明，但并不作為對本發(fā)明的限定。

如圖3所示，本發(fā)明的非平穩(wěn)地震作用下橋梁系統(tǒng)碰撞間隙寬度的概率評價方法，包括以下步驟：

步驟一、建立非平穩(wěn)空間地震激勵下的橋梁碰撞間隙寬度需求概率模型；

步驟二、引入精細(xì)積分法提高非平穩(wěn)隨機振動計算效率；

步驟三、建立了非平穩(wěn)地震作用下震級與梁體間隙寬度超越概率的關(guān)系；

步驟四、基于矩陣系統(tǒng)運算方法建立橋梁系統(tǒng)所有碰撞處各碰撞間隙寬度和橋梁系統(tǒng)碰撞概率關(guān)系。

如下以下對本發(fā)明進(jìn)行詳細(xì)計算，如圖3所示，具體步驟如下：

1)絕對位移直接求解結(jié)構(gòu)動力方程的虛擬激勵法

運用虛擬激勵法求解式(1)可得：

式中，pe^iωt就是虛擬激勵荷載，p是由激勵功率譜分解得到，為結(jié)構(gòu)絕對位移虛擬響應(yīng)。求解方程(2)式，得到絕對位移響應(yīng)功率譜密度如下

第i階譜矩陣表示為

基于davenport理論得到峰值響應(yīng)的期望和均方差分別為

峰值期望：

峰值均方差：式(5)和式(6)中，ye和σy分別為線性響應(yīng)x(t)的峰值和標(biāo)準(zhǔn)差，并定義無量綱參數(shù)η＝y(tǒng)e/σy；平均頻率表示為e(η)為η的近似峰值期望值表示為e(η)≈(2lnvτ)^1/2+γ/(2lnvτ)^1/2；τ為地震持時，γ＝0.5772為歐拉常數(shù)。

基于式(1-6)可得到不同地震強度水平作用下橋梁梁體之間和梁體與橋臺之間的相對位移(△)的響應(yīng)峰值，從而得到地震作用下梁體間的間隙寬度需求均值和均方差，為超越碰撞間隙寬度的條件概率需求模型奠定基礎(chǔ)。

2)碰撞間隙寬度條件碰撞概率模型

據(jù)研究發(fā)現(xiàn)相對位移峰值響應(yīng)xpeak(t)為隨機過程且服從極值i型分布。xpeak(t)概率分布函數(shù)可表示為

g(xpeak(t))＝exp{-exp{-αn(xpeak(t)-un)}}(7)

式中

不同震級下的相對位移響應(yīng)峰值均值和均方差由式(5)和式(6)得到并表示為各震級條件下峰值均值和均方差分別為和那么在特定某一震級下超過間隙寬度并使得橋梁發(fā)生碰撞的概率被稱為條件碰撞概率。條件碰撞超越概率表示如下

pp/m(t)＝1-exp{-exp{-αn(xpk/m(t)-un)}}(8)式中

從式(8)中可知，震級條件下峰值均值和均方差已知情況下，xpk/m(t)的分布可以判斷任意間隙寬度時的條件碰撞超越概率。

3)基于矩陣的系統(tǒng)可靠度

假設(shè)橋梁結(jié)構(gòu)第i個碰撞點有di個設(shè)計間隙寬度，i＝1,...,n，則樣本空間被分為個窮盡互斥基本事件，且用ej表示，j＝1,...,m。c表示任意事件系數(shù)向量且由0和1組成。ej發(fā)生的概率可表示為pj＝p(ej)，j＝1,...,m。由于事件ej互斥，那么非平穩(wěn)地震作用下系統(tǒng)事件的概率esys(t)可表示為ej事件之和，則系統(tǒng)條件概率表示為兩向量的內(nèi)積

式中p為概率矩陣的列向量。

橋梁系統(tǒng)每一個碰撞點在多個設(shè)計間隙寬度的情況下，系統(tǒng)碰撞事件概率可表示為psys(t)＝c^tp(t)，psys(t)表示一個隨時間變化的概率矩陣，其中i行j列的元素表示在第j個條件下第i個事件在時間t的概率。只要確定c和p(t)中各元素，則碰撞系統(tǒng)事件概率可方便得到。系數(shù)矩陣c通過以下迭代方式得到

c[n]的第i列是第i個事件向量，記為有如下的運算關(guān)系

同理，p也可由矩陣迭代計算得到

其中，pi表示第i個事件概率，且

步驟1)中式(2)的虛擬力p由激勵功率譜分解得到且表征地震動空間性。

式中，子矩陣元素si'j'(iω,t)為3×3維矩陣，參照附圖1，相應(yīng)兩個水平向(x，y)和豎向(z)的地震動分量組成的互功率譜矩陣表示為

三維地面運動的水平向(x,y)分量取相同的功率譜密度函數(shù)，而豎向(z)的功率譜密度取其水平向的0.6倍。故式(15)的非對角線元素為

式中，si'j',xx(iω,t)，si'j',yy(iω,t)，^si'j',zz(ⁱω,t)由場地傳遞函數(shù)從基巖功率譜密度矩陣函數(shù)得到。

式中，hu,i(iω)，hv,i(iω)，hw,i(iω)和hu,j(iω)，hv,j(iω)，hw,j(iω)分別為空間點i-i′、j-j′在u，v，w方向的場地傳遞函數(shù)。i，j點x，y，z方向的自功率譜密度函數(shù)為

式中，gi,x(ω,t)為第i個空間點x向在時域和頻域內(nèi)的調(diào)制函數(shù)，sii,xx(iω)是

基巖x向自功率譜密度函數(shù)，γij(iω)為空間點i，j的相干函數(shù)，形式如下

γij(iω)＝|γij(iω)|exp[-iωdij/vapp(ω)](19)

其中，dij為空間點i，j距離在地震波傳播方向的投影，vapp(ω)表示視波速。

為了得到式(16)-(18)中的頻率傳遞函數(shù)，基于一維波動理論，假設(shè)基巖中地震波由面外sh波或者面內(nèi)p-sv波組成，場地頻率傳遞函數(shù)hu,i(iω)，hv,i(iω)，hw,i(iω)表示為

kshxsh＝psh，kp-svxp-sv＝pp-sv(20)

其中，xsh，psh和xp-sv，pp-sv是關(guān)于sh波和p-sv波的位移和荷載向量；剛度矩陣xsh和kp-sv主要由土體性質(zhì)、入射波類型、入射角和圓頻率ω確定；動力荷載向量psh和pp-sv主要依賴于基巖的特性、類型、頻率和入射波的幅值。通過式(20)可以得到在每一個離散頻率點面內(nèi)或面外的頻率傳遞函數(shù)。

為了構(gòu)造虛擬力，三維非平穩(wěn)地震激勵功率譜矩陣可分解為

式中，p是3m×r維矩陣，r是矩陣的秩，上標(biāo)*和t分別表示復(fù)數(shù)共軛和轉(zhuǎn)置。

式(20)中的w(iω)為3m×3m矩陣，表示了行波效應(yīng)和場地土條件對相位的變化，表達(dá)式如下

其中，ti,x表示地震波沿x方向到第i個支撐處所需時間，θi,x，θm,y，θm,z分別表示在第i個支撐處x，y，z方向的相位角，將由下面的公式得到

式中，θij,xx為空間點i-i′和j-j′在x方向的相位差。

式(11)中的sg(iω)表達(dá)式如下

式中，sgi,x代表空間點i的x方向上的功率譜密度函數(shù)，水平向(x,y)與豎向(z)的功率譜比值為3:2。

式(11)中的g(ω,t)為三維非平穩(wěn)地面運動非均勻調(diào)制函數(shù)，形式如下

一般認(rèn)為各個空間每一個方向上調(diào)制函數(shù)一致，故可取

gi,x(ω,t)＝gi,y(ω,t)＝gi,z(ω,t)＝g(ω,t)(27)

式(11)中，矩陣r表示多維多點地面運動的相干矩陣，一般是正定或半正定矩陣，可通過ldl^t分解如下

r＝[q]3m×r[q^t]r×3m＝[|γij|]3m×3m(當(dāng)i＝j(luò)時，|γij|＝1；當(dāng)i≠j時，0≤|γij|<1)(28)

式中，r被分解為非零特征值αj與其相應(yīng)特征向量(j＝1,2,…,r,r≤3m)的和，其形式如下

部分相干情況下，第階虛擬激勵表示為

從式(30)可知，相干效應(yīng)、行波效應(yīng)、局部場地效應(yīng)和非平穩(wěn)性分別通過虛擬激勵項中的w(iω)、sg(iω)和g(ω,t)來體現(xiàn)。

完全相干和完全不相干虛擬力可表示為

根據(jù)式(20)和式(21)可得第j個特征值下的絕對位移響應(yīng)為

式中

式中，ij(iω,t)是杜哈梅爾積分，h(t-τ)單位脈沖函數(shù)，在部分相干情況的絕對位移響應(yīng)功率譜密度函數(shù)表示為

同樣，可以得到完全相干和完全不相干情況下的響應(yīng)為

完全相干

式中

完全不相干

式中

由公式(33)、(36)、(38)可以看出，需要在每一個頻率點下做一次瞬態(tài)分析計算，雖然相對于傳統(tǒng)的隨機振動理論來說，直接求解的虛擬激勵法已經(jīng)非常節(jié)約時間了，但是如果離散的頻率點太細(xì)，那么計算的瞬態(tài)分析也就越多，這樣也就非常耗時，故下面引入精細(xì)積分方法并在通用有限元軟件實現(xiàn)，這樣只需要兩個瞬態(tài)分析就能確定結(jié)構(gòu)任意一個關(guān)注節(jié)點的響應(yīng)，這樣大大縮短了計算時間。

在有限元計算中，式(2)可另寫成如下形式

式中

為確定頻率點下的非平穩(wěn)隨機激勵時程，mb為橋梁基礎(chǔ)處附加的大質(zhì)量。

將每一個確定頻點下的動力方程式(39)寫成狀態(tài)方程形式

其中

狀態(tài)方程(41)的一般解為

式中e^ht為指數(shù)矩陣，對式(43)進(jìn)行離散積分，設(shè)時間步長為δt，由遞推法可知，在ti時刻的響應(yīng)v(ti)＝vi可用ti-1時刻的響應(yīng)v(ti-1)＝vi-1來表示如下

式中，t＝e^h△t為指數(shù)矩陣，改寫成如下形式

t＝e^h△t＝[e^h△t/m]^m(45)

令τ＝△t/m，當(dāng)取m＝2ⁿ很大的，△τ非常小，由泰勒級數(shù)展開式有

當(dāng)n＝20時，與一般計算機的舍入誤差相比較，泰勒級數(shù)的截斷誤差要小的多，不會由于截斷帶來數(shù)值誤差，故t(τ)的計算精度實際上已經(jīng)給出了計算機上的精確解。

[i+tai]≡[i+ta,i-1]²＝[i+2ta,i-1+ta,i-1×ta,i-1](i＝1,2,…,n)(47)

因此依次類推

[i+tan]＝[i+ta,n-1]²＝[i+ta,n-2]⁴＝…＝[i+ta0]^m＝t(τ)(48)

每次運算單元矩陣[i]不參與計算，因為tai很小，當(dāng)它與單位矩陣[i]相加時就成為其尾數(shù)，在計算機的舍入操作中就會自動舍去。為了避免這種情況的發(fā)生，采用下列遞推方式求解

[tai]＝2[ta，i-1]+[ta，i-1][ta，i-1](i＝1,2,…,n)(49)

假定在每一個時間積分步(ti-1,ti)中，荷載為線性變換，則非平穩(wěn)虛擬力f(ω,t)可離散為t0,t1,t2,…,tk處的隨機變量f0,f1,f2,…,fk,非平穩(wěn)虛擬力可表示為

f(ω,τ)＝r0+r1(τ-ti-1)(50)

式中，r0，r1是一個是不變向量。

將式(50)代入式(44)可得

式中h^-1的計算可根據(jù)式(42)可得

將式(51)進(jìn)一步寫成下式

令s1＝(i-t)(h^-2/△t)+th^-1,s2＝(t-i)(h^-2/△t)-h^-1(54)

式中，h^-2＝h^-1·h^-1，則式(53)簡化為

vi＝t△vi-1+s1fi-1+s2fi(i＝1,2,…,k)(55)

每一固定頻點時，v0＝0，則通過式(55)可得到固定頻率點各時刻的響應(yīng)表達(dá)式為

式中

s3＝ts2+s1(57)

若用ai,0，ai,1，…，ai,i分別表示f0，f1，…，fi前面的系數(shù)，ai,i中第^一個i表示ti時刻，第二個表示第i個荷載離散點位置，則式(56)可表示為

vi＝ai,0f0+ai,1f1+…+ai,i-1fi-1+ai,ifi(i＝1,2,…,k)(58)

式中，ai,0，ai,1，…，ai,i只與結(jié)構(gòu)本身有關(guān)，而與外荷載無關(guān)，體現(xiàn)了結(jié)構(gòu)本身在外荷載激勵下所表現(xiàn)出來的固有屬性。ai,i的計算過程是一個遞推過程，用vi-1的系數(shù)ai-1,0，ai-1,1，…，ai-1,i-1來推導(dǎo)下一步的系數(shù)為

將式(59)代入式(58)寫成矩陣的形式，則

由式(60)可知，系數(shù)矩陣中所有其他所有的元素都是第一列和第二列元素的重復(fù)，也就是說只要能得到第一列和第二列的所有元素，那么整個系數(shù)矩陣就能確定。令f0＝1，fk＝0(k>0)，進(jìn)行一個瞬態(tài)分析就可以得到系數(shù)矩陣的第一列元素。同理，令f0＝0，f1＝1，fk＝0(k>2)，進(jìn)行一個瞬態(tài)分析就可以得到系數(shù)矩陣的第二列元素，求解加載方式如附圖2。

只要得到系數(shù)矩陣，那么任意頻率點處的非平穩(wěn)時程荷載作用下的響應(yīng)就能根據(jù)式(60)得到。當(dāng)運用絕對位移直接求解時，對于多維多點激勵的非平穩(wěn)地震動荷載，需要對每一個激勵點三個方向依次進(jìn)行激勵，分別得到所需的結(jié)構(gòu)關(guān)鍵點響應(yīng)的系數(shù)矩陣a，然后將每一個方向的激勵時程與對應(yīng)的系數(shù)矩陣a相乘后疊加就得到多維多點在固定頻率點的結(jié)構(gòu)響應(yīng)。最后，將所有的頻率點下的激勵時程都對應(yīng)代入后就得到整個頻率范圍的結(jié)構(gòu)響應(yīng)。

本發(fā)明的技術(shù)方案不限于上述具體實施例的限制，凡是根據(jù)本發(fā)明的技術(shù)方案做出的技術(shù)變形，均落入本發(fā)明的保護(hù)范圍之內(nèi)。