本發(fā)明涉及變截面梁設(shè)計領(lǐng)域，具體是一種基于多尺度有限元的變截面梁設(shè)計方法。

背景技術(shù)：

1、多尺度有限元法是一種用于模擬和分析具有多個尺度的材料和結(jié)構(gòu)力學(xué)行為的數(shù)值計算方法。它的基本思想是首先將整個材料或結(jié)構(gòu)系統(tǒng)劃分為不同的尺度，然后在每個尺度上應(yīng)用有限元法，并通過一定的局部化、均勻化等耦合方法建立各尺度之間的聯(lián)系。多尺度方法按建模及計算的策略可分為兩大類：層級多尺度分析方法和并發(fā)多尺度分析方法。多尺度有限元法在許多領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用，比如在工程領(lǐng)域，多尺度有限元法可用于設(shè)計和優(yōu)化結(jié)構(gòu)，提升結(jié)構(gòu)的性能和可靠性，提高產(chǎn)品的質(zhì)量和壽命。在材料領(lǐng)域，可用于研究預(yù)測復(fù)合材料和多相材料等復(fù)雜材料的力學(xué)性能。

2、direct?fe2方法是一種并發(fā)多尺度有限元方法。direct?fe2模型從能量角度出發(fā)，將宏觀應(yīng)變場通過周期邊界條件施加給介觀代表體積單元(representative?volumeelement：rve)，實現(xiàn)宏觀到介觀的尺度轉(zhuǎn)變。然后基于hill-mandel原理，通過對rve進行剛度縮放，使宏觀單元內(nèi)高斯點處的rve總能量等于宏觀單元的總能量，從而實現(xiàn)從介觀到宏觀的尺度轉(zhuǎn)變。最后通過有限元求解同時得到宏、介觀尺度的解。該并發(fā)多尺度分析方法只需進行一次有限元求解，無需傳統(tǒng)fe2法的嵌套迭代求解，提升了計算效率。

3、變截面梁是指梁的橫截面形狀和尺寸沿著梁的軸向逐漸改變的梁結(jié)構(gòu)。變截面梁在橋梁設(shè)計、建筑工程、航空航天等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。通過改變梁截面的形狀和尺寸，可以根據(jù)梁的受力情況實現(xiàn)材料的更優(yōu)分布，從而最大化材料的利用效率。在工程應(yīng)用方面，變截面梁可以在滿足結(jié)構(gòu)剛度等要求下實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的減重，同時還節(jié)省了材料。

4、結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化是一種有效的結(jié)構(gòu)布局方法，通過對結(jié)構(gòu)布局進行優(yōu)化，可實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計。目前，拓撲優(yōu)化已在航空航天、汽車、建筑和醫(yī)療等領(lǐng)域有成功的應(yīng)用。近年來，結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化已被認為是結(jié)構(gòu)設(shè)計中最具挑戰(zhàn)性和最具經(jīng)濟效益的工作之一。

5、在非均質(zhì)梁的優(yōu)化設(shè)計中，傳統(tǒng)優(yōu)化方法主要是通過單一尺度的拓撲優(yōu)化方法進行設(shè)計。首先對一個非均質(zhì)梁進行建模，以懸臂梁為例(如圖1所示)，對梁的左端進行固定，并在梁的右端施加一個向下的力f，然后對梁模型進行體積約束(優(yōu)化時保留的質(zhì)量或體積，表示為vf)，設(shè)立目標函數(shù)(如最小化應(yīng)變能，表示為min?c(ρ))，接著進行拓撲優(yōu)化(變密度法)逐步迭代，最后得到在體積約束控制下的優(yōu)化后梁模型，優(yōu)化后的梁呈現(xiàn)桁架式結(jié)構(gòu)(如圖2所示)。這種單一尺度的拓撲優(yōu)化方法需要對梁模型進行充分的離散，為了保障有限元計算的精度，離散的單元數(shù)目越多，精度越高，但相應(yīng)的計算時間和占用內(nèi)存也越高，這顯然不滿足快速設(shè)計的初衷。而變截面梁因其較易于實現(xiàn)“等強度”原則，在保證結(jié)構(gòu)強度的前提下最大限度地節(jié)省材料，提高梁的剛度和承載能力，通過設(shè)計合理的變截面形狀，從而提高整體結(jié)構(gòu)的性能(如圖3所示)。

6、基于以上陳述，為改進非均質(zhì)梁結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化設(shè)計，本發(fā)明提出了一種通過多尺度有限元方法(direct?fe2法)對局部rve進行拓撲優(yōu)化的方法，采用對局部rve的拓撲優(yōu)化可大大減少有限元的單元數(shù)量，節(jié)約計算時間，并能實現(xiàn)變截面梁的設(shè)計，這遠遠優(yōu)于傳統(tǒng)拓撲優(yōu)化出的桁架式梁結(jié)構(gòu)。

技術(shù)實現(xiàn)思路

1、針對上述存在的問題，本發(fā)明提出一種基于多尺度有限元的變截面梁設(shè)計方法。

2、為實現(xiàn)上述目的，本發(fā)明提供如下技術(shù)方案：

3、術(shù)語解釋：

4、多尺度有限元：是指一種在結(jié)構(gòu)或材料的不同尺度上分別建立有限元模型的用于模擬材料和結(jié)構(gòu)力學(xué)行為的數(shù)值計算方法。

5、direct?fe2方法：一種并發(fā)多尺度有限元方法。direct?fe2模型從能量角度出發(fā)，將宏觀應(yīng)變場通過周期邊界條件施加給介觀代表體積單元(rve)。并基于hill-mandel原理對rve進行體積縮放，使宏觀單元內(nèi)高斯點處的rve總能量等于宏觀單元的總能量，建立介觀結(jié)構(gòu)向宏觀結(jié)構(gòu)的尺度轉(zhuǎn)變。最后通過有限元求解對宏、介觀結(jié)構(gòu)進行同時求解。這種并發(fā)多尺度分析方法只需進行一次有限元求解，無需傳統(tǒng)fe2法的嵌套迭代求解，提升了計算效率。

6、拓撲優(yōu)化：是一種在給定約束下計算材料/結(jié)構(gòu)最佳分布的方法，通過對材料/結(jié)構(gòu)的布局進行優(yōu)化，可實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計。

7、一種基于多尺度有限元的變截面梁設(shè)計方法，所述方法包括以下步驟：

8、s01、對梁模型進行宏觀尺度網(wǎng)格的劃分，以此為梁模型的宏觀單元；

9、s02、在宏觀單元的積分點處建立rve模型，并對rve進行介觀尺度網(wǎng)格的劃分，以此為梁結(jié)構(gòu)的介觀單元；

10、s03、隨后建立宏觀與介觀單元之間的周期邊界條件和平衡方程；

11、s04、在介觀單元上建立拓撲優(yōu)化的目標函數(shù)和體積約束，以便對梁結(jié)構(gòu)的介觀結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化；

12、s05、最后通過多次優(yōu)化迭代，獲得了優(yōu)化后的梁結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)滿足了設(shè)計要求和約束條件，具有良好的力學(xué)性能和經(jīng)濟性。

13、作為本發(fā)明進一步的技術(shù)方案，在步驟s01中，所述對梁模型進行宏觀尺度網(wǎng)格的劃分，以此為梁模型的宏觀單元的步驟包括：

14、首先對梁模型進行建模，并采用梁單元對梁模型進行網(wǎng)格劃分得到宏觀尺度網(wǎng)格，以此為梁模型的宏觀單元，在網(wǎng)格劃分過程中，需要選擇合適的網(wǎng)格尺寸和單元類型，以確保計算結(jié)果的準確性和可靠性。通常情況下，梁單元的尺寸越小，計算結(jié)果越準確，但同時也會增加計算的復(fù)雜度和時間成本。在對梁單元進行網(wǎng)格劃分后，需要施加相應(yīng)的邊界條件，包括梁的固定端、自由端和載荷，需要根據(jù)實際情況進行設(shè)定。對梁單元賦予預(yù)設(shè)的楊氏模量，具體為與實際材料相比可以忽略的楊氏模量，例如：1×10-9e0，其中e0為材料實際的楊氏模量。

15、作為本發(fā)明進一步的技術(shù)方案，在步驟s02中，所述在宏觀單元的積分點處建立rve模型，并對rve進行介觀尺度網(wǎng)格的劃分，以此為梁結(jié)構(gòu)的介觀單元的步驟包括：

16、在宏觀單元的積分點處建立rve模型，以捕捉梁結(jié)構(gòu)的微觀特性；對于二維rve建立平面模型，對于三維rve建立相應(yīng)的立體模型，采用相應(yīng)的二維或者三維單元對rve進行有限元網(wǎng)格劃分，得到介觀尺度網(wǎng)格，并賦予rve實際的材料參數(shù)，包括楊氏模量、泊松比等，以此為梁結(jié)構(gòu)的介觀單元，在網(wǎng)格劃分過程中，需要選擇合適的網(wǎng)格尺寸和單元類型，以確保計算結(jié)果的準確性和可靠性。

17、作為本發(fā)明進一步的技術(shù)方案，在步驟s03中，周期邊界條件如式1所示：

18、式1：

19、

20、其中，和分別表示rve右邊節(jié)點的位移向量以及相對應(yīng)的左邊節(jié)點的位移向量，和分別表示rve上邊節(jié)點的位移向量以及相對應(yīng)的下邊節(jié)點的位移向量，lx和ly分別表示rve沿x方向和y方向的長度，di表示宏觀單元的節(jié)點位移向量，ni,x和ni,t分別表示宏觀單元形函數(shù)對x坐標和y坐標的導(dǎo)數(shù)；

21、在多尺度分析中，由于無法直接獲得宏觀單元的本構(gòu)關(guān)系，根據(jù)hill-mandel原理可將宏觀單元的內(nèi)部虛功轉(zhuǎn)化為介觀單元的內(nèi)部虛功，這樣就建立起了梁的direct?fe2多尺度有限元模型；

22、式2：

23、其中，δwint為rve內(nèi)部虛功，wα和jα分別為高斯積分點α處的權(quán)重和雅可比行列式，a為梁的橫截面面積，為rve的虛應(yīng)變，為rve的應(yīng)力。

24、作為本發(fā)明進一步的技術(shù)方案，在步驟s03中，建立平衡方程過程中基于hill-mandel原理對rve的剛度進行縮放，縮放的系數(shù)根據(jù)下式確定：

25、

26、其中w為縮放的系數(shù)，wα為rve所在的高斯積分點α的權(quán)重，jα為rve所在的高斯積分點α處的雅可比行列式的值,a為梁的橫截面面積，vα為高斯積分點α處的rve的體積。可以通過對rve的體積進行縮放實現(xiàn)對rve剛度的縮放。對于二維問題，可以通過放大rve的厚度實現(xiàn)rve剛度的縮放，放大系數(shù)為w。對于三維問題，可以對rve沿三個方向進行等比例放大實現(xiàn)rve剛度的縮放，放大系數(shù)為

27、作為本發(fā)明進一步的技術(shù)方案，在步驟s04中，優(yōu)化前在介觀單元上建立拓撲優(yōu)化的目標函數(shù)和體積約束，最大化結(jié)構(gòu)剛度時目標函數(shù)為結(jié)構(gòu)的總應(yīng)變能，體積約束為結(jié)構(gòu)優(yōu)化后保留的體積占優(yōu)化前結(jié)構(gòu)總體積的百分比。體積約束的目的是限制梁結(jié)構(gòu)的材料使用量，以滿足實際工程中的成本和制造約束，體積約束由設(shè)計師根據(jù)實際問題在優(yōu)化前給定。建立目標函數(shù)和體積約束后，使用拓撲優(yōu)化算法，如simp(solid?isotropic?materialwith?penalization)或beso(bi-directional?evolutionary?structuraloptimization)，對梁結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化；拓撲優(yōu)化算法可以自動地搜索梁結(jié)構(gòu)的最佳拓撲結(jié)構(gòu)，以滿足目標函數(shù)和體積約束的要求。通過優(yōu)化，可以獲得梁結(jié)構(gòu)的最佳介觀結(jié)構(gòu)，以提高梁結(jié)構(gòu)的剛度、強度和其他性能指標。

28、與現(xiàn)有技術(shù)相比，本發(fā)明的有益效果是：

29、本發(fā)明所提出的通過并發(fā)多尺度有限元的拓撲優(yōu)化方法，從非均質(zhì)梁的介觀尺度出發(fā)，建立介觀有限元模型，通過周期邊界條件和基于hill-mandel原理的剛度縮放實現(xiàn)宏、介觀尺度的尺度轉(zhuǎn)變，同時根據(jù)目標函數(shù)和體積約束進行梁的局部結(jié)構(gòu)優(yōu)化。本發(fā)明改進了傳統(tǒng)單一尺度的非均質(zhì)梁的全有限元拓撲優(yōu)化方式帶來的單元數(shù)目多、計算時間長、優(yōu)化結(jié)果單一等問題，該方法具有設(shè)計簡單、計算時間短，優(yōu)化結(jié)果具有多元性，適用性廣等優(yōu)點。