一種基于矩陣攝動理論的復模態(tài)隨機特征值直接方差求解方法
【技術領域】
[0001] 本發(fā)明適用于復模態(tài)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的特征值分析，用W求解結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在經(jīng)受各種擾動 的情況下，其復模態(tài)特征值的統(tǒng)計學性質(zhì)和變化范圍，可為非對稱結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的復模態(tài)特征 值分析技術提供指導。
【背景技術】
[0002] 矩陣攝動方法作為一種能夠進行快速靈敏度分析和快速結(jié)構(gòu)重分析的實用工 具，已經(jīng)在基礎理論和工程應用中受到了廣泛的關注并取得了長足的發(fā)展。X.W.YANG和 S.H.C肥N將化deapproximation應用到矩陣攝動理論中，求出了特征向量和特征值變化 量的表達式。KaminskiM和SoleckaM將結(jié)構(gòu)特征值和特征向量用混濁多項式（PCE)方 法進行展開，研究了線性隨機系統(tǒng)的受迫振動響應分析。DebrajG應用基于廣義攝動理論 的隨機有限元方法，開展了巧架結(jié)構(gòu)的可靠性優(yōu)化研究。鄭兆昌等人基于攝動方法對多自 由度系統(tǒng)復模態(tài)理論開展了初步研究。關于結(jié)構(gòu)實模態(tài)特征值的統(tǒng)計特性，QiuZ.P和Qiu H.C提出了直接方差分析方法值VA方法），無需已知或假定結(jié)構(gòu)參數(shù)的相關系數(shù)矩陣，通過 矩陣攝動理論和概率理論便能直接計算得到實模態(tài)結(jié)構(gòu)的隨機特征值的方差。
[0003] 在實際工程中存在著許多非對稱系統(tǒng)。例如船舶結(jié)構(gòu)和大型液體燃料火箭中的燃 料箱都存在顯著的流固禪合問題，對其研究中采用流體壓力作為流體變量，將引起不對稱 的矩陣方程。在研究飛機旋翼、轉(zhuǎn)軸等旋轉(zhuǎn)機構(gòu)時，由科氏加速度引起的科里奧利力與一個 反對稱矩陣相聯(lián)系，而運些系統(tǒng)都是非對稱的。不僅如此，對于具有任意阻尼的系統(tǒng)、氣動 彈性顫振系統(tǒng)、非保守力作用下的動力系統(tǒng)和阻尼巧螺等控制系統(tǒng)，其有關的系數(shù)矩陣不 僅不再是實對稱矩陣，而是復非對稱矩陣。非對稱結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的含義是指質(zhì)量矩陣、剛度矩陣 和阻尼矩陣等結(jié)構(gòu)矩陣中至少有一個是不對稱的。由于系統(tǒng)的不對稱性，原系統(tǒng)與轉(zhuǎn)置系 統(tǒng)不再相同，實模態(tài)攝動理論將不再適用于該類型的問題，但仍然可W用復模態(tài)攝動理論 對運類問題進行分析研究。
[0004] 目前國內(nèi)外學者對于矩陣攝動理論的研究和應用大多集中在系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)為 實對稱矩陣時的結(jié)構(gòu)實模態(tài)矩陣攝動法，在結(jié)構(gòu)復模態(tài)理論的攝動方法、結(jié)構(gòu)復特征值及 其統(tǒng)計特性的研究方面還較少。

【發(fā)明內(nèi)容】

[0005] 本發(fā)明要解決的技術問題是：克服現(xiàn)有技術不足，提供一種計算結(jié)構(gòu)復模態(tài)特征 值變化范圍的直接方差求解方法，在進行結(jié)構(gòu)復模態(tài)特征值分析時，無需已知或者假定結(jié) 構(gòu)參數(shù)的相關系數(shù)矩陣，更容易快速準確地得到結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的復模態(tài)特征值的變化范圍，因 此極大方便了在大型結(jié)構(gòu)重分析和結(jié)構(gòu)快速靈敏度分析等領域的工程應用。
[0006] 本發(fā)明采用的技術方案為：適用于非對稱結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，所述非對稱結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的含義 是指結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣中至少有一個是不對稱的，首先根據(jù)矩 陣攝動理論，推導了結(jié)構(gòu)在剛度矩陣、阻尼矩陣和質(zhì)量矩陣等參數(shù)發(fā)生變化時，結(jié)構(gòu)振動的 復模態(tài)特征值和相應特征向量的一階攝動量，然后基于復模態(tài)結(jié)構(gòu)的特征值和特征向量的 一階攝動量，結(jié)合概率理論，從而建立計算結(jié)構(gòu)復模態(tài)特征值變化范圍的直接方差求解方 法，其實現(xiàn)步驟如下：
[0007] 第一步：根據(jù)矩陣攝動理論，在非對稱結(jié)構(gòu)經(jīng)過微擾，并且其質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣 和剛度矩陣發(fā)生變化之后，通過比較特征方程等式兩邊e的同次幕系數(shù)，并且考慮復模態(tài) 的正交關系式，得到非對稱結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的特征值和特征向量的一階攝動量的表達式；運一步 是建立復模態(tài)特征值方差求解算法的基礎，后續(xù)的推導過程均是W此展開；
[0008] 第二步：基于第一步中建立的復模態(tài)結(jié)構(gòu)特征值和相應特征向量的一階攝動量的 表達式，將特征方程中的各結(jié)構(gòu)參數(shù)（參數(shù)矩陣），包括剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣W 及特征值、特征向量都分成確定性部分和隨機擾動部分，結(jié)合概率理論，在對復特征值平方 (si)2求期望的基礎上，進一步得到復特征值S1的方差Var(s 1)的表達式，從而建立起復模 態(tài)特征值變化范圍（方差）的直接求解算法。
[0009] 所述第一步具體實現(xiàn)如下：
[0010] (11)確定非對稱系統(tǒng)結(jié)構(gòu)振動的基本方程{y，}T[M(Si+s,)+口扣} = 5i,，其中 bj}為左特征向量，IxJ為右特征向量，M為質(zhì)量矩陣，C為阻尼矩陣，Si和Sj為特征方程 中的不同階數(shù)的特征根；
[0011] (。）使用復模態(tài)的矩陣攝動方法，確定復模態(tài)特征值的一階攝動 量
，W及復模態(tài)特征向量的一階攝動量
，其中S。表示 未經(jīng)擾動的初始系統(tǒng)的復特征值，{V。}和{U。}分別表示初始系統(tǒng)的左、右狀態(tài)特征向量，與 和的;分別代表初始系統(tǒng)的復特征值和相應特征向量的一階攝動量，皆。和!為}分別表示 初始系統(tǒng)的左、右特征向量，
.Ml,Cl,Ki分別表不質(zhì)量矩 陣、阻尼矩陣和剛度矩陣的一階擾動量，式中的上角標i和S表示各參數(shù)的第i階和第S階。
[0012] 所述第二步具體實現(xiàn)如下：
[0013] (21)將特征方程中的各結(jié)構(gòu)參數(shù)矩陣包括剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣、特征 值W及特征向量均分成確定性部分和隨機擾動部分，其中下角標d表示各參數(shù)的確定性部 分，下角標r表示各參數(shù)的隨機擾動部分，e表示一個小參數(shù)K=Kd+eKf,M=Md+eMr,C =Cd+eC"A=Ad+eA"B=Bd+eB"=妓牛城;，{.V,H{乂 }十['比'.}，掉i}H-片；+s ?
[0014] 通過W上的表述，為下一步對各結(jié)構(gòu)參數(shù)矩陣的期望和方差運算作準備；
[0015] (22)結(jié)合第一步的求解方法，進行特征值的求解，得到特征值的隨機部分S巧口特 征向量的隨機部分K!:
[0016]
[0017]
[0018] (23)由上一步獲得的特征值的隨機部分4和特征向量的隨機部分始}的表達式， 結(jié)合概率理論，得到非對稱系統(tǒng)復特征值擾動量的方差：
[0019]
[0020] (24)根據(jù)上一步獲得的復特征值擾動量4的方差，進一步整理，得到復特征值si 的方差Var(si)的表達式：
[0021]
[002引其中
下角標di和d2分別表 示各參數(shù)的實數(shù)部分和復數(shù)部分。
[0023] 本發(fā)明與現(xiàn)有技術相比的優(yōu)點在于：
[0024] (1)本發(fā)明克服了在非對稱結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，實模態(tài)矩陣攝動理論不再適用的困難，采 用復模態(tài)矩陣攝動理論對該類特征值問題進行分析研究；
[0025] (2)與W往的復模態(tài)特征值分析方法相比，本發(fā)明無需假定或者已知各結(jié)構(gòu)參數(shù) 的相關系數(shù)矩陣，就可W快速準確地得到結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的復模態(tài)特征值的變化范圍，應用更加 廣泛。
【附圖說明】
[0026] 圖1為本發(fā)明方法實現(xiàn)流程圖；
[0027] 圖2為本發(fā)明方法的實施例示意圖。
【具體實施方式】
[0028] 本發(fā)明提出了一種基于矩陣攝動理論的復模態(tài)隨機特征值直接方差求解方法，其 具體實施步驟是：
[0029] 第一步：根據(jù)矩陣攝動理論，在非對稱結(jié)構(gòu)經(jīng)過微擾，并且其質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣 和剛度矩陣發(fā)生變化之后，通過比較特征方程等式兩邊e的同次幕系數(shù)，并且考慮復模態(tài) 的正交關系式，得到非對稱結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的特征值和特征向量的一階攝動量的表達式；運一步 是建立復模態(tài)特征值方差求解算法的基礎，后續(xù)的推導過程均是W此展開，下面給出具體 的過程：
[0030] (1)確定非對稱系統(tǒng)結(jié)構(gòu)振動的基本方程
[0031] 具有N個自由度的線性系統(tǒng)的振動方程為：
[0032] Mij+Ci! +Kq二Q{l)，
[0033] 對于非對稱系統(tǒng)，其自由振動方程為：
[0034] 雜錢+C| +《|f'二々.
[0035] 令q= {x}est，將其代入上式，得到相應的右特征值問題為：
[0036] (Ms"+Cs+K) {x} = 0,
[0037] 相應的伴隨特征值問題為（Ms2+Cs+K)T{y} = 0,轉(zhuǎn)置上式得到：
[0038] {y}T(Ms2+Cs+K) = 0.
[003引將向量W和W分別稱為右特征向量和左特征向量。
[0040] 引入狀態(tài)向量：
[0041]
[0042] 其中[T]為狀態(tài)變換矩陣，并且有：
[0043]
[0044] 相似地引入狀態(tài)向量：
[0045]
[004引上面的{u}和{v}為對應復模態(tài)向量{x}和{y}的狀態(tài)特征向量。從而得到： [0047] (As+B) {u} = 0,
[004引 W及：
[0049] {v}T(As+B) = 0，
[0050] 其中：
[0051]
[005引特征問題（As+B) {u} = 0和其伴隨特征問題{v}T(As+B) = 0有相同的特征值，其 特征方程為：
[0053] det(As+B) = 0.
[0054] 上式特征方程為2N次的代數(shù)方程，在復數(shù)域中有2N個特征根Si(i= 1，2，...，2腳，對于每個31，其左、右模態(tài)向量{乂1}和{111}應滿足：
[005引（ASi+B)扣} = 0,
[0056] 和
[0057] (Vi}T(ASi+B)=0.
[0058] 根據(jù)正交關系有：
[0059] {Vj}TA{uJ=5ij,
[0060]{v.j}TB{uJ=-Si5u.
[0061] 綜合W上各式得到：
[0062] (y.j}T[Tj]TA[Ti]{xj= 5 …
[0063] {yi}T[Ti]TB[Ti]{xJ=-Si5ii
[0064] 將
代入上式可得：
[006引{y.i}T[M(Si+Si)+C]{xj= 5。，
[006引{y.j}T[-MSiS.j+K]{xj=-SiS。.
[0067] (2)確定復模態(tài)特征值和特征向量的一階攝動量
[0068] 結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化是通過描述系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣的改變而實現(xiàn)的，故設 結(jié)構(gòu)在經(jīng)過微擾之后的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣分別為：
[0069]
[0070] 由上式結(jié)合
，可得：
[0071]
[007引式中e是一個小參數(shù)，而e= 0對應的系統(tǒng)稱為原系統(tǒng)。Md、C。和K。是原系統(tǒng)的 質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣。eMl、eCi和eKi表示各矩陣相應微小的變化，而且滿足：
[0073]
[0074] 本發(fā)明中討論原系統(tǒng)的特征值詩是特征方程為單根的情形。
[00巧]根據(jù)矩陣攝動理論，將特征值和特征向量按小參數(shù)e展開為如下的幕級數(shù)形式：

[0084] 將
展開并 略去〇(e3)項之后，比較e的同次幕系數(shù)可得：
[0088] 同理，睪
屋 開并略去〇(e3)項之后，比較e的同次幕系數(shù)可得：
[0092] 由此可W求出特征值的一階攝動量為和二階攝動量為，W及左、右特征向量的一階 攝動量和二階攝動量。