一種基于有限單元法的固體連續(xù)介質(zhì)變形的數(shù)值模擬方法
【技術(shù)領(lǐng)域】
[0001] 本發(fā)明涉及固體連續(xù)介質(zhì)變形分析技術(shù)領(lǐng)域，尤其涉及一種基于有限單元法的固 體連續(xù)介質(zhì)變形的數(shù)值模擬方法。
【背景技術(shù)】
[0002] 有限單元法（FEM)產(chǎn)生于上個(gè)世紀(jì)50年代，當(dāng)結(jié)構(gòu)力學(xué)和彈性力學(xué)中的其他近似 方法不適合求解連續(xù)結(jié)構(gòu)時(shí)被提出。在隨后的數(shù)十年，有限單元法獲得廣泛認(rèn)可，受到密集 研究，并取得豐碩成果，已發(fā)展成為高度成功的一般連續(xù)介質(zhì)問題的近似求解技術(shù)。有限單 元法將連續(xù)介質(zhì)劃分為有限單元組成的離散體系，基于變分原理或加權(quán)余量法，將連續(xù)域 上的偏微分支配方程轉(zhuǎn)換為線性代數(shù)方程組，求解線性代數(shù)方程組得到域變量的近似數(shù)值 解。其中，有限單元（finiteelement)是指連續(xù)介質(zhì)離散后具有一定尺寸的組成元件，有 三角形、四邊形、四面體、八面體單元等。固體連續(xù)介質(zhì)（solidcontinuum)是指在空間中 連續(xù)無間斷無空隙的兩維或三維固體，指自然界的土體和巖體，如土木工程結(jié)構(gòu)的地基和 地下洞室圍巖等；也包括人造的固體，如人工填筑的土石體，混凝土體，金屬體和塑料體等。
[0003] 在多種工程問題中，比如土木、水利工程設(shè)計(jì)中，建筑物巖土地基變形和穩(wěn)定性分 析，地下空間巖土介質(zhì)變形和穩(wěn)定性分析，土石壩、混凝土壩變形、強(qiáng)度和穩(wěn)定性分析，建筑 物地基和地下洞室?guī)r土介質(zhì)流變分析；材料工程中材料大變形和材料蠕變分析等，現(xiàn)有的 有限單元方法只給出平衡狀態(tài)下的結(jié)果，不能給出變形和應(yīng)力的演化過程，不能夠追蹤介 質(zhì)的準(zhǔn)靜態(tài)力學(xué)運(yùn)動過程。

【發(fā)明內(nèi)容】

[0004] 為了解決現(xiàn)有技術(shù)的缺點(diǎn)，本發(fā)明提供一種基于有限單元法的固體連續(xù)介質(zhì)變形 的數(shù)值模擬方法。該方法將固體連續(xù)介質(zhì)離散成有限單元網(wǎng)格，在準(zhǔn)靜態(tài)荷載作用下，固體 連續(xù)介質(zhì)按運(yùn)動步運(yùn)動，從而追蹤固體介質(zhì)運(yùn)動、變形和應(yīng)力發(fā)展的過程。
[0005] 本發(fā)明采用以下技術(shù)方案：
[0006] -種基于有限單元法的固體連續(xù)介質(zhì)變形的數(shù)值模擬方法，包括：
[0007] 步驟（1):將固體連續(xù)介質(zhì)離散成有限單元網(wǎng)格，建立固體連續(xù)介質(zhì)的有限元離 散模型；
[0008] 步驟⑵：在對固體連續(xù)介質(zhì)施加預(yù)設(shè)邊界條件的情況下，根據(jù)介質(zhì)應(yīng)力和外部 荷載計(jì)算獲得有限元離散模型的每個(gè)結(jié)點(diǎn)的不平衡力；根據(jù)有限元模型幾何特性和介質(zhì)彈 性常數(shù)計(jì)算獲得有限元離散模型的每個(gè)結(jié)點(diǎn)的局部剛度系數(shù)；
[0009] 步驟（3):篩選出有限元離散模型的最大結(jié)點(diǎn)不平衡力，將有限元離散模型最大 結(jié)點(diǎn)不平衡力與預(yù)設(shè)收斂標(biāo)準(zhǔn)比較，判斷固體連續(xù)介質(zhì)是否達(dá)到平衡狀態(tài)或處于不平衡流 動狀態(tài)，以決定進(jìn)入下一步繼續(xù)計(jì)算或停止計(jì)算；
[0010]步驟（4):根據(jù)有限元離散模型中每個(gè)結(jié)點(diǎn)的不平衡力與結(jié)點(diǎn)局部剛度系數(shù)的比 值，計(jì)算固體連續(xù)介質(zhì)有限元離散模型中每個(gè)結(jié)點(diǎn)的位移；根據(jù)每個(gè)結(jié)點(diǎn)的位移，計(jì)算有限 單元網(wǎng)格每個(gè)單元的應(yīng)力；
[0011] 步驟（5):重復(fù)步驟（2)~步驟（4)，直到有限元離散模型最大結(jié)點(diǎn)不平衡力小于 等于預(yù)設(shè)收斂標(biāo)準(zhǔn)，介質(zhì)達(dá)到平衡狀態(tài)，結(jié)束計(jì)算，并獲得介質(zhì)的變形和應(yīng)力狀態(tài)；或有限 元離散模型的最大結(jié)點(diǎn)不平衡力不再減小且保持大于預(yù)設(shè)收斂標(biāo)準(zhǔn)的某一非零數(shù)值，則固 體連續(xù)介質(zhì)處于不平衡流動狀態(tài)，結(jié)束計(jì)算或繼續(xù)計(jì)算以追蹤介質(zhì)的流動過程。
[0012] 所述步驟（2)中，固體連續(xù)介質(zhì)有限元離散模型中結(jié)點(diǎn)不平衡力為有限元離散模 型的外荷載等效結(jié)點(diǎn)力和介質(zhì)應(yīng)力等效結(jié)點(diǎn)力的合力。
[0013] 所述步驟（2)中，固體連續(xù)介質(zhì)有限元離散模型中結(jié)點(diǎn)的局部剛度系數(shù)為圍繞該 結(jié)點(diǎn)的所有單元的結(jié)點(diǎn)剛度系數(shù)之和。
[0014] 所述步驟（4)中，固體連續(xù)介質(zhì)的有限元離散模型中每個(gè)結(jié)點(diǎn)的位移，與有限元 離散模型中每個(gè)結(jié)點(diǎn)的不平衡力與結(jié)點(diǎn)局部剛度系數(shù)的比值成正比例關(guān)系。
[0015] 所述步驟（4)中，固體連續(xù)介質(zhì)有限元離散模型中結(jié)點(diǎn)位移，等于結(jié)點(diǎn)的不平衡 力與結(jié)點(diǎn)局部剛度系數(shù)的比值乘以折減系數(shù)。
[0016] 所述折減系數(shù)的取值范圍為大于等于0小于等于1.0。
[0017]本發(fā)明的有益效果為：
[0018] (1)本發(fā)明作為一種基于介質(zhì)運(yùn)動的求解方法，能夠追蹤介質(zhì)的準(zhǔn)靜態(tài)力學(xué)運(yùn)動 過程，而現(xiàn)有的有限單元法只給出平衡狀態(tài)下的結(jié)果，不能給出變形和應(yīng)力演化的過程，而 在科學(xué)和工程領(lǐng)域中，有時(shí)需要知道介質(zhì)運(yùn)動或變形的過程，在這些問題求解中本方法具 有價(jià)值。
[0019] (2)本發(fā)明的方法求解高度材料非線性和幾何非線性問題的能力較強(qiáng)，對于這類 問題的求解，現(xiàn)有的有限單元法常常遇到計(jì)算收斂困難或更耗費(fèi)計(jì)算時(shí)間。
[0020] (3)本發(fā)明的方法不需要建立線性代數(shù)方程組和整體剛度矩陣，需要的計(jì)算機(jī)內(nèi) 存相對較小，適合求解大規(guī)模問題。
[0021] (4)本發(fā)明的方法在計(jì)算模擬固體連續(xù)介質(zhì)運(yùn)動和變形方面具有重要價(jià)值。該方 法可應(yīng)用于工程領(lǐng)域中的多種問題，如土木、水利工程中，建筑物巖土地基的變形和穩(wěn)定性 分析，地下空間巖土介質(zhì)的變形和穩(wěn)定性分析，土石壩混凝土壩變形、強(qiáng)度和穩(wěn)定性分析， 建筑物地基和地下空間巖土介質(zhì)流變分析，材料工程中材料大變形和蠕變分析等。
【附圖說明】
[0022] 圖1是本發(fā)明的基于有限單元法的固體連續(xù)介質(zhì)變形的數(shù)值模擬方法流程圖；
[0023] 圖2是半無限大介質(zhì)表面受矩形均布荷載作用及計(jì)算范圍示意圖；
[0024]圖3是巖體中開挖的地下洞室尺寸和介質(zhì)計(jì)算范圍示意圖；
[0025] 圖4是金屬圓柱體壓縮示意圖；
[0026] 圖5是金屬圓柱體有限單元網(wǎng)格示意圖；
[0027] 圖6a)是金屬圓柱體在第5000運(yùn)動步，壓縮量為26. 2772cm的一徑向剖面變形示 意圖；
[0028] 圖6b)是金屬圓柱體在第10000運(yùn)動步，壓縮量為38. 5205cm的該徑向剖面變形 示意圖；
[0029] 圖6c)是金屬圓柱體在第20000運(yùn)動步，壓縮量為50. 2398cm的該徑向剖面變形 示意圖；
[0030] 圖6d)是金屬圓柱體在第30000運(yùn)動步，壓縮量為54. 8277cm的該徑向剖面變形 示意圖；
[0031] 圖6e)是金屬圓柱體在第140343運(yùn)動步，壓縮量為58. 4678cm的該徑向剖面變形 示意圖；
[0032] 圖7是地表空間開挖示意圖；
[0033] 圖8是地表空間開挖后豎向剖面麗結(jié)點(diǎn)位移矢量示意圖。
【具體實(shí)施方式】
[0034] 下面結(jié)合附圖與實(shí)施例對本發(fā)明做進(jìn)一步說明：
[0035] 如圖1所示，本發(fā)明的基于有限單元法的固體連續(xù)介質(zhì)變形的數(shù)值模擬方法，包 括：
[0036] 步驟（1):將固體連續(xù)介質(zhì)離散成有限單元網(wǎng)格，建立固體連續(xù)介質(zhì)的有限元離 散模型；
[0037] 步驟（2):在對固體連續(xù)介質(zhì)施加預(yù)設(shè)邊界條件的情況下，根據(jù)介質(zhì)應(yīng)力和外部 荷載計(jì)算獲得有限元離散模型的每個(gè)結(jié)點(diǎn)的不平衡力；根據(jù)有限元模型幾何特性和介質(zhì)彈 性常數(shù)計(jì)算獲得有限元離散模型的每個(gè)結(jié)點(diǎn)的局部剛度系數(shù)；
[0038] 步驟（3):篩選出有限元離散模型的最大結(jié)點(diǎn)不平衡力，將有限元離散模型最大 結(jié)點(diǎn)不平衡力與預(yù)設(shè)收斂標(biāo)準(zhǔn)比較，判斷固體連續(xù)介質(zhì)是否達(dá)到平衡狀態(tài)或處于不平衡流 動狀態(tài)，以決定進(jìn)入下一步繼續(xù)計(jì)算或停止計(jì)算；
[0039] 步驟（4):根據(jù)有限元離散模型中每個(gè)結(jié)點(diǎn)的不平衡力與結(jié)點(diǎn)局部剛度系數(shù)的比 值，計(jì)算固體連續(xù)介質(zhì)有限元離散模型中每個(gè)結(jié)點(diǎn)的位移；根據(jù)每個(gè)結(jié)點(diǎn)的位移，計(jì)算有限 元網(wǎng)格每個(gè)單元的應(yīng)力；
[0040] 步驟（5):重復(fù)步驟（2)~步驟（4)，直到有限元離散模型最大結(jié)點(diǎn)不平衡力小于 等于預(yù)設(shè)收斂標(biāo)準(zhǔn)，介質(zhì)達(dá)到平衡狀態(tài)，結(jié)束計(jì)算，并獲得介質(zhì)的變形和應(yīng)力狀態(tài)；或有限 元離散模型的最大結(jié)點(diǎn)不平衡力不再減小且保持大于預(yù)設(shè)收斂標(biāo)準(zhǔn)的某一非零數(shù)值，則固 體連續(xù)介質(zhì)處于不平衡流動狀態(tài)，結(jié)束計(jì)算或繼續(xù)計(jì)算以追蹤介質(zhì)的流動過程。
[0041] 在對固體連續(xù)介質(zhì)施加預(yù)設(shè)邊界條件的情況下，連續(xù)介質(zhì)有限元離散模型的外荷 載等效結(jié)點(diǎn)力設(shè)為fF/，其中，下標(biāo)i= 1，2, 3,代表三個(gè)空間坐標(biāo)軸的方向；上標(biāo)1表示結(jié) 點(diǎn)編號；上標(biāo)f表示外部荷載。
[0042] 有限單元法中，基于虛功原理或加權(quán)余量法，給出外荷載產(chǎn)生的單元等效結(jié)點(diǎn)力 計(jì)算公式。對于三維等參單元，計(jì)算公式為：
[0045]公式⑴和⑵分別給出單元邊界面力{p}和體積力{fb}產(chǎn)生的單元等效結(jié)點(diǎn) 力。式中，ξ，n，和ζ為單元局部坐標(biāo)；[N]為單元形函數(shù)矩陣；|j|是雅可比行列式；A 是一個(gè)系數(shù)，定義為：
[0047] 式中，X，y和z為空間整體坐標(biāo)。
[0048] 連續(xù)介質(zhì)有限元離散模型的外荷載等效結(jié)點(diǎn)力fF/，是單元外荷載等效結(jié)點(diǎn)力的 疊加。
[0049] 在步驟（2)中，連續(xù)介質(zhì)有限元離散模型的介質(zhì)應(yīng)力等效結(jié)點(diǎn)力設(shè)為ΤΛ其中， 下標(biāo)i和上標(biāo)1的意義同前面；上標(biāo)s表示介質(zhì)應(yīng)力。
[0050] 有限單元法中，基于虛功原理或加權(quán)余量法，給出單元應(yīng)力對應(yīng)的單元等效結(jié)點(diǎn) 力計(jì)算公式。對于三維等參單元，計(jì)算公式為：
[0051]
[0052] 公式中，[B]是單元應(yīng)變矩陣；其余各量的意義同前面。
[0053] 連續(xù)介質(zhì)有限元模型的介質(zhì)應(yīng)力等效結(jié)點(diǎn)力SF/，是單元應(yīng)力對應(yīng)的單元等效結(jié) 點(diǎn)力的疊加。
[0054] 介質(zhì)有限元模型的結(jié)點(diǎn)不平衡力F/，是外荷載等效結(jié)點(diǎn)力fF/和介質(zhì)應(yīng)力等效結(jié) 點(diǎn)力SF/的合力：
[0055]F/= (4)
[0056] 在步驟（2)中，介質(zhì)有限元模型中結(jié)點(diǎn)的局部剛度系數(shù)，為圍繞該結(jié)點(diǎn)的所有單 元的結(jié)點(diǎn)剛度系數(shù)之和。
[0057] 有限單元體系結(jié)點(diǎn)局部剛度系數(shù)尤定義為：
[0059] 式中，V為結(jié)點(diǎn)1在單元e中在i方向的結(jié)點(diǎn)單元剛度系數(shù)，其為單元剛度矩陣