本發(fā)明涉及一種控制器，具體涉及一種具有控制輸入約束的電機(jī)伺服系統(tǒng)非線性魯棒位置控制器，屬于機(jī)電伺服控制領(lǐng)域。

背景技術(shù)：

電機(jī)伺服系統(tǒng)由于具有響應(yīng)快、傳動效率高、維護(hù)方便以及能源獲取方便等突出優(yōu)點，廣泛應(yīng)用于工業(yè)及國防等重要領(lǐng)域，如機(jī)床進(jìn)給、火箭炮隨動系統(tǒng)、機(jī)器人等。隨著這些領(lǐng)域的發(fā)展和技術(shù)水平的不斷進(jìn)步，迫切需要高性能的電機(jī)伺服系統(tǒng)作為支撐，傳統(tǒng)基于線性化方法得到的控制性能逐漸不能滿足系統(tǒng)需求。電機(jī)伺服系統(tǒng)存在諸多模型不確定性，包括參數(shù)不確定性(如負(fù)載質(zhì)量的變化、隨溫度及磨損而變化的粘性摩擦系數(shù)等)以及不確定性非線性(如外干擾等)，這些不確定性的存在可能會嚴(yán)重惡化期望的控制性能，甚至使基于系統(tǒng)名義模型所設(shè)計的控制器不穩(wěn)定，同時系統(tǒng)的控制輸入可能遭受飽和行為，因此成為發(fā)展先進(jìn)控制器的主要障礙。而且對于現(xiàn)有電機(jī)伺服系統(tǒng)的建模往往不夠充分比如忽略摩擦的影響或者簡單的把摩擦模型建立為線性的，然而存在于電機(jī)伺服系統(tǒng)中的摩擦對系統(tǒng)的高精度運(yùn)動控制有著重要的影響，會引起極限環(huán)振蕩、粘滑運(yùn)動等現(xiàn)象，因此需要對電機(jī)伺服系統(tǒng)的建模作進(jìn)一步研究。

為了處理以上存在的問題，有學(xué)者提出了連續(xù)的飽和自適應(yīng)魯棒控制算法(SARC)能對系統(tǒng)中存在的模型不確定性以及執(zhí)行器中固有的飽和行為進(jìn)行有效地控制，并獲得了一致有界跟蹤(即跟蹤誤差有界)的結(jié)果，這樣的性能可能會在實際高精度需求的場合難以滿足要求。為了獲得漸近跟蹤性能， 有學(xué)者針對一類具有模型不確定性的二階系統(tǒng)提出了飽和的基于誤差符號積分魯棒的控制算法，然而這種算法只能保證整個系統(tǒng)半全局漸近穩(wěn)定，并且設(shè)計控制器及證明穩(wěn)定性時相對復(fù)雜。如何恰當(dāng)?shù)脑O(shè)計出能保證整個系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定同時使控制輸入具有約束性以避免控制輸入飽和行為的發(fā)生并且簡單的控制器仍是目前研究的焦點。

總結(jié)來說，現(xiàn)有考慮電機(jī)伺服系統(tǒng)飽和的控制策略的不足之處主要有以下幾點：

1.對電機(jī)伺服系統(tǒng)建模不充分。電機(jī)伺服系統(tǒng)的建模不確定性主要有非線性摩擦和未建模擾動等。存在于電機(jī)伺服系統(tǒng)中的摩擦?xí)饦O限環(huán)振蕩、粘滑運(yùn)動等不利因素，對系統(tǒng)的高精度運(yùn)動控制有著重要的影響。同時，實際的電機(jī)伺服系統(tǒng)不可避免的會受到外界負(fù)載的干擾，若忽略將會降低系統(tǒng)的跟蹤性能；

2.飽和自適應(yīng)魯棒控制算法(SARC)對同時存在參數(shù)不確定性和不確定性非線性的系統(tǒng)只能保證跟蹤誤差有界(即保證跟蹤誤差在一個有界的范圍內(nèi)，并不能確保跟蹤誤差趨于零)，這樣的性能可能會在實際高精度需求的場合難以滿足要求；

3.飽和的基于誤差符號積分的魯棒控制器設(shè)計及穩(wěn)定性證明相對復(fù)雜并且只能保證整個系統(tǒng)半全局漸近穩(wěn)定。

技術(shù)實現(xiàn)要素：

本發(fā)明為解決現(xiàn)有電機(jī)伺服系統(tǒng)的建模不夠充分、飽和自適應(yīng)魯棒控制算法(SARC)對同時存在參數(shù)不確定性和不確定性非線性的系統(tǒng)只能保證跟蹤誤差有界(即保證跟蹤誤差在一個有界的范圍內(nèi)，并不能確保跟蹤誤差趨于零)，同時飽和的基于誤差符號積分的魯棒控制器設(shè)計及穩(wěn)定性證明相對復(fù) 雜并且只能保證整個系統(tǒng)半全局漸近穩(wěn)定的問題，提出一種具有控制輸入約束的電機(jī)伺服系統(tǒng)非線性魯棒位置控制器。

本發(fā)明為解決上述問題采取的技術(shù)方案是：

1、一種具有輸入約束的電機(jī)伺服系統(tǒng)魯棒位置控制器的實現(xiàn)方法，其特征在于，該方法包括以下步驟：

步驟一、建立電機(jī)位置伺服系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，根據(jù)牛頓第二定律可得系統(tǒng)的運(yùn)動學(xué)方程為：

公式(1)中，m為慣性負(fù)載參數(shù)，y為慣性負(fù)載角位移，k_f為與輸入電壓有關(guān)的力矩常數(shù)，u為系統(tǒng)的控制輸入，B為粘性摩擦系數(shù)，為可建模的非線性摩擦模型，為不確定性項，包括外干擾及未建模的摩擦。

選取連續(xù)靜態(tài)非線性摩擦模型為：

公式(2)中a₁、a₂、a₃、b₁、b₂均為已知常數(shù)，tanh函數(shù)為雙曲正切函數(shù)；此連續(xù)靜態(tài)摩擦模型的特征如下：①此摩擦模型是關(guān)于時間連續(xù)可微并且關(guān)于原點對稱的；②庫倫摩擦特性可用表達(dá)式表征；③靜態(tài)摩擦系數(shù)可用b₁+b₂的值來近似表示；④表達(dá)式表征Stribeck效應(yīng)；

公式(2)中的連續(xù)可微tanh(v₁)函數(shù)關(guān)于它的變量v₁滿足：

選取狀態(tài)變量為：則電機(jī)位置伺服系統(tǒng)的運(yùn)動學(xué)方程轉(zhuǎn)化為如下狀態(tài)方程形式：

y＝x₁

公式(4)中θ₁＝m/k_f，θ₂＝b₁/k_f，θ₃＝b₂/k_f，θ₄＝B/k_f，定義參數(shù)集θ＝[θ₁,θ₂,θ₃,θ₄]^T；S_f(x₂)＝tanh(a₁x₂)，P_f(x₂)＝tanh(a₂x₂)-tanh(a₃x₂)，其中參數(shù)θ₁、θ₂、θ₃、θ₄均為名義值且已知，任何參數(shù)偏差造成的不確定性以及模型不確定性影響都可歸結(jié)到系統(tǒng)的總干擾Δ(x,t)＝d(x,t)/m中；

假設(shè)1：系統(tǒng)狀態(tài)x₁、x₂可測；

假設(shè)2：總擾動Δ(x,t)足夠光滑并且其中η₁為已知常數(shù)；

步驟二、針對公式(4)中的狀態(tài)方程，設(shè)計具有控制輸入約束的電機(jī)伺服系統(tǒng)非線性魯棒位置控制器，其具體步驟如下：

步驟二(一)、定義一組類似開關(guān)函數(shù)的變量為：

公式(5)中z₁＝x₁-x_1d為系統(tǒng)的跟蹤誤差，k₁、k₂為正反饋增益；在公式(5)中引入了一個擴(kuò)張的誤差信號z₃來獲得額外的設(shè)計自由；

步驟二(二)、設(shè)計具有約束且基于期望指令補(bǔ)償?shù)姆蔷€性魯棒控制器輸入u，使得電機(jī)伺服系統(tǒng)具有全局漸近跟蹤性能

根據(jù)公式(5)，擴(kuò)張誤差信號z₃變換為：

基于系統(tǒng)狀態(tài)方程(4)，可以得到：

其中：

根據(jù)公式(7)的結(jié)構(gòu)，具有控制輸入約束的電機(jī)伺服系統(tǒng)非線性魯棒位置控制器可以設(shè)計為：

q_s＝k₂z₂(θ₁k₁+θ₁k₂-θ₄)-k₁(θ₄-θ₁k₁)(z₂-k₁z₁),

q_n＝-η₂sign(z₃)

公式(9)中ω為正常數(shù)，同時還可以看出控制輸入u具有約束性，并且u的上界為ω，即u≤ω，可通過調(diào)節(jié)ω來控制u的大??；q_a為基于模型的前饋補(bǔ)償控制律；q_s為魯棒控制律用來保證名義系統(tǒng)的穩(wěn)定性；q_n為基于擴(kuò)張誤差符號z₃的魯棒控制律，其用來處理時變的擾動；其中sign(z₃)定義為：

由于信號z₃未知，為了計算sign(z₃)，定義函數(shù)g₀(t)為：

由于z₃(t)＝lim_τ→0(g₀(t)-g₀(t-τ))/τ，τ可以選取為采樣時間，根據(jù)(9)，只需要知道z₃的符號sign(z₃)即可，因此只需要知道g(t)增加還是減小就可以獲得sign(z₃)，其中sign(z₃)＝sign(g₀(t)-g₀(t-τ))；

對公式(7)進(jìn)行微分并經(jīng)過轉(zhuǎn)化可以得到：

根據(jù)公式(3)以及中值定理可以推出：

從而可以進(jìn)一步得到：

公式(14)中γ₁、γ₂、γ₃為正常數(shù)；

把(9)中的控制律帶入到(12)中，可以得到：

步驟三、選取恰當(dāng)?shù)恼?shù)τ(τ＞0)、ω(ω＞0)、k₁(k₁＞0)、k₂(k₂＞0)以及η₂(η₂＞0)，從而來確保整個系統(tǒng)穩(wěn)定，并使電機(jī)位置伺服系統(tǒng)的控制輸入u具有約束性同時位置輸出y(t)能準(zhǔn)確地跟蹤期望的位置指令y_d(t)。

本發(fā)明的有益效果是：本發(fā)明選取直流旋轉(zhuǎn)電機(jī)位置伺服系統(tǒng)作為研究對象，建立了充分考慮系統(tǒng)的摩擦以及其它擾動的非線性模型；所設(shè)計的控制器通過引入基于期望指令軌跡的連續(xù)摩擦模型前饋補(bǔ)償項針對系統(tǒng)存在的摩擦具有良好的補(bǔ)償效果；所設(shè)計的控制器通過引入基于擴(kuò)張誤差信號積分的魯棒項針對系統(tǒng)存在的外部干擾以及其它未建模動態(tài)等不確定性具有良好的魯棒性；所設(shè)計的控制器的控制輸入具有約束性，并能通過調(diào)節(jié)控制輸入的大小來避免控制輸入飽和行為的發(fā)生；所設(shè)計的控制器為全狀態(tài)反饋控制器，并能使電機(jī)伺服系統(tǒng)的位置輸出具有全局漸近跟蹤性能，即當(dāng)時間趨于無窮時跟蹤誤差為零；所設(shè)計的控制器參數(shù)容易調(diào)節(jié)并且控制輸入電壓連續(xù)，更利于在工程實際中應(yīng)用。仿真結(jié)果驗證了其有效性。

附圖說明

圖1是本發(fā)明所考慮的直流旋轉(zhuǎn)電機(jī)位置伺服系統(tǒng)示意圖。

圖2是具有控制輸入約束的電機(jī)伺服系統(tǒng)非線性魯棒位置控制器原理示意及流程圖。

圖3是本發(fā)明所設(shè)計的控制器(圖中以CRISEE標(biāo)識，其控制輸入約束 幅值為2.5V)和傳統(tǒng)PID控制器(圖中以PID標(biāo)識)分別作用下系統(tǒng)的跟蹤誤差隨時間變化的曲線。

圖4是電機(jī)位置伺服系統(tǒng)的實際控制輸入u隨時間變化的曲線。

具體實施方式

結(jié)合圖1至圖2說明本實施方式，本實施方式所述一種具有控制輸入約束的電機(jī)伺服系統(tǒng)非線性魯棒位置控制器的設(shè)計方法具體步驟如下：

步驟一、建立電機(jī)位置伺服系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，本發(fā)明以直流旋轉(zhuǎn)電機(jī)(如圖1所示)為例，根據(jù)牛頓第二定律可得系統(tǒng)的運(yùn)動學(xué)方程為：

公式(1)中m為慣性負(fù)載參數(shù)，y為慣性負(fù)載角位移，k_f為與輸入電壓有關(guān)的力矩常數(shù)，u為系統(tǒng)的控制輸入，B為粘性摩擦系數(shù)，為可建模的非線性摩擦模型，為外干擾及未建模的摩擦等不確定性項。

選取連續(xù)靜態(tài)非線性摩擦模型為：

公式(2)中a₁、a₂、a₃、b₁、b₂均為已知常數(shù)，tanh函數(shù)為雙曲正切函數(shù)。此連續(xù)靜態(tài)摩擦模型的主要特征如下：①此摩擦模型是關(guān)于時間連續(xù)可微并且關(guān)于原點對稱的；②庫倫摩擦特性可用表達(dá)式表征；③靜態(tài)摩擦系數(shù)可用b₁+b₂的值來近似表示；④表達(dá)式可以表征Stribeck效應(yīng)。

公式(2)中的連續(xù)可微tanh(v₁)函數(shù)關(guān)于它的變量v₁具有以下特點：

選取狀態(tài)變量為：則電機(jī)位置伺服系統(tǒng)的運(yùn)動學(xué)方程 可以轉(zhuǎn)化為如下狀態(tài)方程形式：

y＝x₁

公式(4)中θ₁＝m/k_f，θ₂＝b₁/k_f，θ₃＝b₂/k_f，θ₄＝B/k_f，定義參數(shù)集S_f(x₂)＝tanh(a₁x₂)，P_f(x₂)＝tanh(a₂x₂)-tanh(a₃x₂)。其中參數(shù)θ₁、θ₂、θ₃、θ₄均為名義值且已知，任何參數(shù)偏差造成的不確定性以及模型不確定性影響都可歸結(jié)到系統(tǒng)的總干擾Δ(x,t)＝d(x,t)/m中。

假設(shè)1：系統(tǒng)狀態(tài)x₁、x₂可測；

假設(shè)2：總擾動Δ(x,t)足夠光滑并且其中η₁為已知常數(shù)。

在以下的控制器設(shè)計中，假設(shè)2給未建模擾動施加了一些約束。雖然摩擦一般被建模為不連續(xù)函數(shù)會導(dǎo)致假設(shè)2有點保守，但是沒有哪個執(zhí)行器可以產(chǎn)生不連續(xù)的力來補(bǔ)償不連續(xù)摩擦力的影響。本發(fā)明在進(jìn)行基于模型的控制器設(shè)計時采用連續(xù)的摩擦模型，因而假設(shè)2符合實際情況?？刂破鞯脑O(shè)計目標(biāo)是使位置輸出x₁盡可能地跟蹤期望跟蹤的軌跡x_1d＝y(tǒng)_d(t)。

步驟二、針對公式(4)中的狀態(tài)方程，設(shè)計具有控制輸入約束的電機(jī)伺服系統(tǒng)非線性魯棒位置控制器，其具體步驟如下：

步驟二(一)、定義一組類似開關(guān)函數(shù)的變量為：

公式(5)中z₁＝x₁-x_1d為系統(tǒng)的跟蹤誤差，k₁、k₂為正反饋增益。我們在公式(5)中引入了一個擴(kuò)張的誤差信號z₃來獲得額外的設(shè)計自由。但是，由于擴(kuò)張的誤差信號z₃依賴于加速度的信息從而使得它不可測，這里僅僅用來協(xié)助以下的控制器設(shè)計。

步驟二(二)、設(shè)計具有約束且基于期望指令補(bǔ)償?shù)姆蔷€性魯棒控制器輸 入u，使得電機(jī)伺服系統(tǒng)具有全局漸近跟蹤性能。

根據(jù)公式(5)，擴(kuò)張誤差信號z₃可以整理為：

基于系統(tǒng)狀態(tài)方程(4)，我們可以得到：

其中：

根據(jù)公式(7)的結(jié)構(gòu)，具有控制輸入約束的電機(jī)伺服系統(tǒng)非線性魯棒位置控制器可以設(shè)計為：

q_s＝k₂z₂(θ₁k₁+θ₁k₂-θ₄)-k₁(θ₄-θ₁k₁)(z₂-k₁z₁),

q_n＝-η₂sign(z₃)

公式(9)中ω為正常數(shù)，同時還可以看出控制輸入u具有約束性，并且u的上界為ω，即u≤ω，我們可以通過調(diào)節(jié)ω來控制u的大??；q_a為基于模型的前饋補(bǔ)償控制律；q_s為魯棒控制律用來保證名義系統(tǒng)的穩(wěn)定性；q_n為基于擴(kuò)張誤差符號z₃的魯棒控制律，其用來處理時變的擾動；其中sign(z₃)定義為：

由于信號z₃未知，為了計算sign(z₃)，定義函數(shù)g₀(t)為：

由于z₃(t)＝lim_τ→0(g₀(t)-g₀(t-τ))/τ，τ可以選取為采樣時間，根據(jù)(9)可以看出我們只需要知道z₃的符號sign(z₃)即可，因此我們只需要知道g(t)增 加還是減小就可以獲得sign(z₃)，其中sign(z₃)＝sign(g₀(t)-g₀(t-τ))，這樣看來，獲得sign(z₃)并不需要加速度的信息，從而比獲得z₃容易多了。

對公式(7)進(jìn)行微分并經(jīng)過轉(zhuǎn)化可以得到：

為了下面的穩(wěn)定性分析，根據(jù)公式(3)以及中值定理可以推出：

從而可以進(jìn)一步得到：

公式(14)中γ₁、γ₂、γ₃為正常數(shù)。

把(9)中的控制律帶入到(12)中，我們可以得到：

步驟三、選取恰當(dāng)?shù)恼?shù)τ(τ＞0)、ω(ω＞0)、k₁(k₁＞0)、k₂(k₂＞0)以及η₂(η₂＞0)，從而來確保整個系統(tǒng)穩(wěn)定，并使電機(jī)位置伺服系統(tǒng)的控制輸入u具有約束性同時位置輸出y(t)能準(zhǔn)確地跟蹤期望的位置指令y_d(t)。

本例子中，還基于Lyapunov方程分析了基于控制器(9)作用下的電機(jī)位置伺服系統(tǒng)的穩(wěn)定性：

理論1：選取足夠大的反饋增益k₁、k₂，使得以下定義的矩陣Λ正定，同時確保ωη₂≥η₁，那么提出的控制律(9)能夠確保整個閉環(huán)電機(jī)伺服系統(tǒng)的所有信號有界，并且能獲得全局漸近跟蹤性能，即當(dāng)t→∞時z₁→0。Λ定義為：

其中k₃為：

k₃＝θ₄-θ₁k₁-θ₁k₂ (17)

選取Lyapunov方程為：

對公式(18)關(guān)于時間進(jìn)行求導(dǎo)可得：

把公式(5)和(15)代入公式(19)，可得：

由于ωη₂≥η₁，可得：

再根據(jù)公式(14)，可對公式(20)進(jìn)一步轉(zhuǎn)化得：

根據(jù)公式(16)中定義的Λ為正定矩陣，對公式(22)進(jìn)一步轉(zhuǎn)換可得：

公式(23)中z定義為z＝[z₁,z₂,z₃]^T；λ_min(Λ)為矩陣Λ的最小特征值。

根據(jù)公式(23)可以得到V∈L_∞以及W∈L₂，同時信號z有界。因此，可以得出x以及控制輸入u有界?；趜₁、z₂以及z₃的動態(tài)方程，可以得到W的時間導(dǎo)數(shù)有界，因此W一致連續(xù)。從而，根據(jù)Barbalat引理可以得到當(dāng)t→∞時W→0，理論1即得到證明。

具有控制輸入約束的電機(jī)伺服系統(tǒng)非線性魯棒位置控制器原理示意及流程如圖2所示。

下面結(jié)合一個具體的例子來說明前述實施例的實現(xiàn)：

電機(jī)伺服系統(tǒng)參數(shù)為：慣性負(fù)載參數(shù)m＝0.4kg·m²；力矩放大系數(shù)k_f＝4N·m/V；粘性摩擦系數(shù)B＝1.6N·m·s/rad；連續(xù)摩擦模型中的參數(shù)：a₁＝700、a₂＝15、a₃＝1.5、b₁＝0.1、b₂＝0.05；時變外干擾d(t)＝2sin(t)N·m，因此選取η₁＝2；系統(tǒng)期望跟蹤的位置指令為曲線x_1d(t)＝sin(πt)[1-exp(-t³)]rad。

本發(fā)明所設(shè)計的控制器的參數(shù)選取為:τ＝0.2ms、k₁＝250、k₂＝10以及η₂＝1,控制輸入約束幅值選取為w＝2.5；PID控制器參數(shù)選取為：P增益k_P＝1500,I增益k_I＝800,D增益k_D＝10。

控制器作用效果：圖3是本發(fā)明所設(shè)計的控制器(圖中以CRISEE標(biāo)識)和傳統(tǒng)PID控制器(圖中以PID標(biāo)識)分別作用下系統(tǒng)的跟蹤誤差隨時間變化的曲線，從圖中可以看出，本發(fā)明所設(shè)計的控制器作用下系統(tǒng)的跟蹤誤差明顯小于PID控制器作用下系統(tǒng)的跟蹤誤差并且穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差趨近于0，從而使其跟蹤性能獲得很大的提高。

圖4是電機(jī)位置伺服系統(tǒng)的控制輸入u隨時間變化的曲線，從圖中可以看出，本發(fā)明所得到的控制輸入信號連續(xù)而且有規(guī)律，同時控制輸入幅值約束在2.5V內(nèi)，能有效避免控制輸入飽和行為的發(fā)生，有利于在工程實際中應(yīng)用。