本發(fā)明涉及一種基于壓縮感知的二次內(nèi)積正交匹配追蹤算法，屬于壓縮感知信號處理領(lǐng)域。

背景技術(shù)：

壓縮感知指出，對于一個稀疏信號或者可以通過變換在其它域稀疏表達的信號，能夠以遠低于奈奎斯特采樣定理要求的頻率采樣，并準(zhǔn)確重構(gòu)出原始信號。壓縮感知拋棄了信號的冗余信息，使得信號的壓縮和采樣可以同時以低速率進行，極大地降低了采樣和傳輸環(huán)節(jié)的硬件要求和能量消耗。因而該理論一經(jīng)提出，立刻引起了國內(nèi)外相關(guān)領(lǐng)域?qū)W者的廣泛關(guān)注。

壓縮感知重構(gòu)問題的準(zhǔn)確方法需要求解零范數(shù)最小的問題，也就是讓非零系數(shù)個數(shù)最少。但這是不現(xiàn)實的。一個解決方案是用1范數(shù)代替零范數(shù)，比如基追蹤算法。另一類算法叫做貪婪算法，比如正交匹配追蹤算法(OMP)、子空間追蹤算法(SP)、壓縮采樣匹配追蹤算法(CoSaMP)和廣義正交匹配追蹤算法(GOMP)等。貪婪算法選入原子(也就是測量矩陣的列)主要考察該原子與上次迭代殘差的內(nèi)積值的幅度。例如OMP算法每次迭代將內(nèi)積幅度最大的原子選入估計支撐集，而SP算法則選入內(nèi)積幅度最大的K個原子。GOMP算法則通過選入S個原子，來克服OMP每次迭代只選一個原子的弊端。隨著原始信號中的非零元素增加，許多跟多個真實支撐集原子有較大相關(guān)性的非支撐集原子就會因為與殘差有較大內(nèi)積幅度，而被選入估計支撐集，最終導(dǎo)致算法失敗。許多算法通過加入后向刪除的策略來緩解這一問題，比如SP和CoSaMP。但是對于僅僅依據(jù)相關(guān)性選入原子的OMP和GOMP算法，這一問題始終存在。

本發(fā)明針對傳統(tǒng)相關(guān)性步驟在信號稀疏度K較大時誤判原子的問題，提出了一種篩選原子的輔助方法。一個錯誤原子能夠被選入估計支撐集，是因為該原子與真實支撐集的多個原子有較大相關(guān)性。這一優(yōu)勢使得該錯誤原子與殘差做內(nèi)積時，可以借用真實原子與殘差的內(nèi)積。從而出現(xiàn)該錯誤原子跟殘差內(nèi)積幅度較大的假象。如果能夠破壞錯誤原子的這一優(yōu)勢，則錯誤原子與殘差的內(nèi)積幅度則會發(fā)生很大變化。本發(fā)明利用入選錯誤原子跟多個正確原子均有較大相關(guān)性的特點，提出了二次內(nèi)積的方法，不需要其他先驗信息，有效地改善了算法的重構(gòu)性能。

技術(shù)實現(xiàn)要素：

本發(fā)明的目的解決了傳統(tǒng)壓縮感知貪婪算法中的相關(guān)性步驟在信號稀疏度K較大時誤判原子的問題，提出了一種基于壓縮感知的二次內(nèi)積正交匹配追蹤算法。

本發(fā)明的目的是通過下述技術(shù)方案實現(xiàn)的：

(1)輸入：感知矩陣Φ^M×N，測量值y，稀疏度K，選入步長S，候選步長S′，終止參數(shù)ε，隨機元素個數(shù)n_S；

(2)初始化：迭代次數(shù)k＝0，輔助標(biāo)志位k′＝0，初始支撐集初始殘差r⁰＝y(tǒng)，最大迭代次數(shù)k_max＝min(K，M/S)；

(3)k＝k+1，如果k′＝0，則轉(zhuǎn)到(4)，否則轉(zhuǎn)到(5)；

(4)將殘差r^k-1與感知矩陣Φ的每一列做內(nèi)積，選出其中內(nèi)積最大的S個原子存入集合Λ^k中，即Λ^k＝arg max_{Λ：|Λ|＝S}||(Φ^*r^k-1)_Λ||₁，轉(zhuǎn)到(8)；

(5)將殘差r^k-1與感知矩陣Φ的每一列做內(nèi)積，選出其中內(nèi)積最大的S′個原子存入集合Ω^k中，即Ω^k＝arg max_{Ω：|Ω|＝S′}||(Φ^*r^k-1)_Ω||₁；

(6)對集合Ω^k中的每一個原子φ_i，隨機選取φ_i中的n_S個元素并將其取反后得到新原子φ′_i，即，令集合T_n為1到M個數(shù)中隨機選取的n_S個元素組成的集合，

(7)對集合Ω^k中的每一個原子φ_i，計算φ_i、φ′_i和r^k-1三者之間的三個內(nèi)積值，即η＝φ_i^*φ′_i，并計算三個內(nèi)積值之間的匹配性，即q_i＝|p′_i/p_i-η|，從中選取匹配性最好的S個原子存入集合Λ^k中，即Λ^k＝arg min_{Λ：|Λ|＝S}||q_Λ||₁；

(8)將集合Λ^k與上次迭代估計支撐集T^k-1進行合并得到本次迭代估計支撐集T^k，即T^k＝T^k-1∪Λ^k，用最小二乘法計算出T^k對應(yīng)的逼近值并計算出本次迭代的殘差

(9)如果迭代次數(shù)k＞k_max，則轉(zhuǎn)到(10)，否則轉(zhuǎn)到(12)；

(10)如果輔助標(biāo)志位k′＝0，則令k′＝1，保留估計支撐集T_t^k＝T^k，保留當(dāng)前殘差Res_t＝||r^k||₂，保留估計值令迭代次數(shù)k＝0，轉(zhuǎn)到(3)，否則轉(zhuǎn)到(11)；

(11)如果Res_t＜||r^k||₂，則令估計支撐集T^k＝T_t^k，估計值轉(zhuǎn)到(13)，否則直接轉(zhuǎn)到(13)；

(12)如果殘差||r^k||₂≤ε||y||₂，則轉(zhuǎn)到(13)，否則轉(zhuǎn)到(3)；

(13)最終估計支撐集最終估計信號輸出

本發(fā)明提出了一種選入原子的輔助方法，即利用候選原子、殘差和跟該候選原子有關(guān)的新原子這三者之間的三個內(nèi)積值的匹配程度來判定是否選入該候選原子。

本發(fā)明提出了一種與候選原子有關(guān)的新原子的生成方式，即隨機地將候選原子的部分元素取反，既保證了新原子的二范數(shù)沒有發(fā)生變化，又可以有效調(diào)控新原子與候選原子之間的相關(guān)性。

【本發(fā)明的優(yōu)點和積極效果】

與現(xiàn)有技術(shù)相比，本發(fā)明具有如下優(yōu)點和積極效果：

第一，本發(fā)明不需要其他額外信息，僅僅利用候選原子、殘差和跟該候選原子有關(guān)的新原子這三者之間的三個內(nèi)積值的匹配程度，就可以為候選原子的判斷提供有效信息。

第二，本發(fā)明提出的與候選原子有關(guān)的新原子的生成方式操作簡便，效果明顯，既保證了新原子的二范數(shù)沒有發(fā)生變化，又可以有效調(diào)控新原子與候選原子之間的相關(guān)性。

【附圖說明】

圖1是本發(fā)明提出的基于壓縮感知的二次內(nèi)積正交匹配追蹤算法流程圖；

圖2是本發(fā)明與OMP、SP、GOMP算法對高斯稀疏信號在準(zhǔn)確重構(gòu)概率上的比較圖；

圖3是本發(fā)明與OMP、SP、GOMP算法對高斯稀疏信號在平均重構(gòu)誤差上的比較圖。

【具體實施方式】

為使本發(fā)明的實施方案與意義優(yōu)勢表述得更為清楚，下面結(jié)合附圖及重構(gòu)效果比較圖，以及理論分析，對本發(fā)明進行更為詳細的說明。

圖1是本發(fā)明提出的一種基于壓縮感知的二次內(nèi)積正交匹配追蹤算法流程圖，算法具體流程如下：

(1)輸入：感知矩陣Φ^M×N，測量值y，稀疏度K，選入步長S，候選步長S′，終止參數(shù)ε，隨機元素個數(shù)n_S；

(2)初始化：迭代次數(shù)k＝0，輔助標(biāo)志位k′＝0，初始支撐集初始殘差r⁰＝y(tǒng)，最大迭代次數(shù)k_max＝min(K，M/S)；

(3)k＝k+1，如果k′＝0，則轉(zhuǎn)到(4)，否則轉(zhuǎn)到(5)；

(4)將殘差r^k-1與感知矩陣Φ的每一列做內(nèi)積，選出其中內(nèi)積最大的S個原子存入集合Λ^k中，即Λ^k＝arg max_{Λ：|Λ|＝S}||(Φ^*r^k-1)_Λ||₁，轉(zhuǎn)到(8)；

(5)將殘差r^k-1與感知矩陣Φ的每一列做內(nèi)積，選出其中內(nèi)積最大的S′個原子存入集合Ω^k中，即Ω^k＝arg max_{Ω：|Ω|＝S′}||(Φ^*r^k-1)_Ω||₁；

(6)對集合Ω^k中的每一個原子φ_i，隨機選取φ_i中的n_S個元素并將其取反后得到新原子φ′_i，即，令集合T_n為1到M個數(shù)中隨機選取的n_S個元素組成的集合，

(7)對集合Ω^k中的每一個原子φ_i，計算φ_i、φ′_i和r^k-1三者之間的三個內(nèi)積值，即η＝φ_i^*φ′_i，并計算三個內(nèi)積值之間的匹配性，即q_i＝|p′_i/p_i-η|，從中選取匹配性最好的S個原子存入集合Λ^k中，即Λ^k＝arg min_{Λ：|Λ|＝S}||q_Λ||₁；

(8)將集合Λ^k與上次迭代估計支撐集T^k-1進行合并得到本次迭代估計支撐集T^k，即T^k＝T^k-1∪Λ^k，用最小二乘法計算出T^k對應(yīng)的逼近值并計算出本次迭代的殘差

(9)如果迭代次數(shù)k＞k_max，則轉(zhuǎn)到(10)，否則轉(zhuǎn)到(12)；

(10)如果輔助標(biāo)志位k′＝0，則令k′＝1，保留估計支撐集T_t^k＝T^k，保留當(dāng)前殘差Res_t＝||r^k||₂，保留估計值令迭代次數(shù)k＝0，轉(zhuǎn)到(3)，否則轉(zhuǎn)到(11)；

(11)如果Res_t＜||r^k||₂，則令估計支撐集T^k＝T_t^k，估計值轉(zhuǎn)到(13)，否則直接轉(zhuǎn)到(13)；

(12)如果殘差||r^k||₂≤ε||y||₂，則轉(zhuǎn)到(13)，否則轉(zhuǎn)到(3)；

(13)最終估計支撐集最終估計信號輸出

下面給出本發(fā)明的理論分析：

首先介紹感知矩陣的相關(guān)性參數(shù)其中它表示矩陣中任意兩列φ_i，φ_j之間的相關(guān)性。在下面的證明中，我們假定感知矩陣的每一列都是歸一化的，且μ(Φ)≤η。用x_max＝max_k|x_k|和x_min＝min_k|x_k|分別表示原始信號系數(shù)幅度的最大值和最小值。

不失一般性，假定原始信號真實支撐集為supp(x)＝{J₁，J₂，...J_K}。假定當(dāng)前為第k次迭代，在本次迭代開始前已經(jīng)有p個原子被選入估計支撐集，下標(biāo)分別為I₁，I₂，...I_p。其中有q個為真實支撐集原子，下標(biāo)分別為J₁，J₂，...J_q。首先我們利用殘差跟已經(jīng)選入估計支撐集原子的性質(zhì)來估算估計支撐集原子在殘差中的對應(yīng)系數(shù)：

其中

對于已經(jīng)選入估計支撐集的原子i∈{I₁，I₂，...，I_p}有<r^k-1，φ_i>＝0。可得

化簡上式得其中

進一步化簡得c_max≤(K-q)ηx_max+(p-1)ηc_max。

最終得到c_max的一個上界便于后面進一步分析。

假定Ω^k中存在真實支撐集原子，用J_i∈Ω^k∩{J_q+1，J_q+2，...，J_K}表示，則

令表示利用本算法中步驟(6)生成的跟有關(guān)的新原子。令表示兩者之間的內(nèi)積，令表示跟感知矩陣中其他所有原子內(nèi)積的最大幅值。新原子與殘差的內(nèi)積可以表示為

令

我們可以得到和殘差r^k-1三者的三個內(nèi)積之間的匹配程度，

考慮到

令φ′_i表示利用本算法中步驟(6)生成的跟φ_i有關(guān)的新原子。則在下面的證明中我們用如下的表示形式：

所以我們可以進一步得到真實支撐集原子對應(yīng)的匹配誤差的上界：

而對于Ω^k中的非支撐集原子l∈Ω\supp(x)，可得

令φ′_l表示利用本算法中步驟(6)生成的跟φ_l有關(guān)的新原子。令η₃＝<φ_l，φ′_l>表示兩者之間的內(nèi)積，可以有

令

我們得到非支撐集原子對應(yīng)的匹配誤差的下界：

如果非支撐集原子匹配誤差的下界大于真實支撐集原子匹配誤差的上界，那么本算法步驟(7)中得到的集合Λ^k必然包含真實支撐集原子。

也就是說如果上式滿足，并且本發(fā)明算法步驟(5)中生成的Ω^k中至少包含一個正確原子，那么步驟(7)中得到的集合Λ^k也必然存在一個正確原子。而步驟(5)中Ω^k至少包含一個正確原子的理論證明可以直接由步長為S′的GOMP算法的理論證明得到。這樣如果本發(fā)明算法進入過步驟(5)，也就是本發(fā)明算法退出迭代時k′＝1，那么本發(fā)明算法因為每次迭代均能選入至少一個正確原子，所以經(jīng)過最多K次迭代必然能夠找到所有的正確原子。如果本發(fā)明算法沒有進入過步驟(5)就已經(jīng)退出迭代，那么其理論性就可以直接由步長為S的GOMP算法的理論分析所保證。

圖2和圖3分別是本發(fā)明與OMP，SP和GOMP算法對高斯稀疏信號在準(zhǔn)確重構(gòu)概率和平均重構(gòu)誤差上的比較圖。信號x為256×1的高斯稀疏信號。感知矩陣Φ為高斯隨機矩陣，維度為128×256。K為信號稀疏度，以間隔為3分別選取27到42中的個點。對每個稀疏度，所有算法均重復(fù)500次。終止參數(shù)ε＝10^-6。實驗中若則認(rèn)定準(zhǔn)確恢復(fù)出測試信號。用準(zhǔn)確恢復(fù)的測試信號和整個測試數(shù)據(jù)的比值，即準(zhǔn)確重構(gòu)概率作為圖2的評價標(biāo)準(zhǔn)。而圖3所用的評價標(biāo)準(zhǔn)為平均重構(gòu)誤差，它用平均歸一化最小均方誤差(Average Normalized Mean-Squared-Error，ANMSE)進行衡量，定義為其中表示第i個測量向量x_i的重構(gòu)向量。為了體現(xiàn)本發(fā)明的優(yōu)勢，在實驗中與僅依賴相關(guān)性步驟選入原子的貪婪算法OMP和GOMP進行對比。其中對于OMP，實驗中采用S＝1，S′＝2的本發(fā)明算法(簡稱SIP1)作為對比算法。對于步長為3的GOMP算法(簡稱G3)，實驗中采用S＝3，S′＝5的本發(fā)明算法(簡稱SIP3)作為對比算法。而對于步長為5的GOMP算法(簡稱G5)，實驗中采用S＝5，S′＝8的本發(fā)明算法(簡稱SIP5)作為對比算法。這樣的設(shè)定保證了本發(fā)明算法與對比算法在每次迭代中選入的原子個數(shù)相同。對于所有參數(shù)的本發(fā)明算法，其參數(shù)n_S＝0.15M。

從圖2中可以看出，對于所有的稀疏度K，本發(fā)明算法的準(zhǔn)確重構(gòu)概率均優(yōu)于對應(yīng)參數(shù)的OMP和GOMP算法。而SIP3的準(zhǔn)確重構(gòu)概率是最高的?？梢姳景l(fā)明的策略使得以原子與殘差相關(guān)性為主要原則的貪婪算法的重構(gòu)性能得到了提升。此外，SIP3和SIP5的準(zhǔn)確重構(gòu)概率均優(yōu)于SP算法。從圖3中可以看出，所有的本發(fā)明算法均優(yōu)于其他所有算法。本發(fā)明算法的平均重構(gòu)誤差是所有算法中最低的。

綜上所述，本發(fā)明有效得解決了傳統(tǒng)壓縮感知貪婪算法中的相關(guān)性步驟在信號稀疏度K較大時誤判原子的問題，提升了算法的重構(gòu)性能，為壓縮感知在實際中的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。