本發(fā)明屬于信號處理領(lǐng)域，具體為一種基于混沌的結(jié)構(gòu)化壓縮感知循環(huán)觀測矩陣的構(gòu)造。

背景技術(shù)：

根據(jù)傳統(tǒng)的Nyquist采樣定理，要想無失真的恢復(fù)原始信號，信號的采樣頻率必須不小于信號最高頻率的兩倍。因此，當采樣頻率很高時，硬件系統(tǒng)面臨著很大的采樣速率壓力，硬件設(shè)備已經(jīng)不能滿足如此高的采樣需求。另一方面，由于采集到的數(shù)據(jù)信息包含大量的冗余信息，故在對信號進行處理、傳輸和存儲之前需要進行壓縮處理，這種先采樣后壓縮的處理模式浪費了大量的采樣資源。2006年，Candès與Emmanuel、Terence Tao等人共同提出了一種嶄新的理論——壓縮感知(Compressive Sensing，CS)信號采樣理論。壓縮感知理論突破傳統(tǒng)Nyquist采樣定理的限制，基于信號的稀疏性、觀測矩陣的隨機性和非線性優(yōu)化算法完成對信號的采樣壓縮和重構(gòu)。這種全新的信號處理理論以遠低于Nyquist頻率的采樣率在采樣的同時完成壓縮，不僅可以降低硬件復(fù)雜度和成本，也避免了不必要的資源浪費，最重要的是可以實現(xiàn)信號的完全重構(gòu)。CS理論主要包括三方面研究內(nèi)容，即信號稀疏表示、觀測矩陣的構(gòu)造以及重構(gòu)算法設(shè)計。

本發(fā)明要研究壓縮感知中觀測矩陣的設(shè)計，觀測矩陣是壓縮感知中信號采樣質(zhì)量的保障，也是壓縮采樣過程能否硬件實現(xiàn)的關(guān)鍵。壓縮感知觀測矩陣主要分為三類，一類是隨機觀測矩陣。隨機觀測矩陣包括高斯隨機觀測矩陣、伯努利隨機觀測矩陣、局部傅里葉隨機觀測矩陣等。這些矩陣是完全隨機矩陣，雖然能夠精確的重構(gòu)原始信號，但在實際應(yīng)用中很難用硬件實現(xiàn)，而且需要大量的存儲空間；另一類是確定性觀測矩陣，此類矩陣隨著系統(tǒng)和構(gòu)造的參數(shù)的確定，矩陣元素也隨之確定。此類矩陣相對于隨機矩陣更加易于硬件實現(xiàn)。Devore提出了通過有限域中多項式的取值來構(gòu)造矩陣，Li shuxing提出了利用代數(shù)曲線構(gòu)造觀測矩陣。這些方法存在一個共同的缺點：矩陣的大小必須是2的整數(shù)倍，故無法構(gòu)造任意大小的觀測矩陣，普適性較差。循環(huán)矩陣由于其對應(yīng)離散卷積且具有專門的快速算法而被廣泛應(yīng)用于壓縮測量矩陣。為了滿足壓縮感知觀測矩陣必須滿足RIP準則的要求，傳統(tǒng)循環(huán)矩陣的矩陣元素多由隨機分布函數(shù)產(chǎn)生，文獻“Yin W.Practical compressive sensing with Toeplitz and circulant matrices[J].Proceedings of SPIE-The International Society for Optical Engineering,2010,7744.”對傳統(tǒng)循環(huán)矩陣的構(gòu)造方法和其適用的快速算法做了總結(jié)分析，并指出傳統(tǒng)循環(huán)矩陣不能在常用的DCT稀疏基下有效地重構(gòu)原始信號，普適性有待提高，仍然存在隨機觀測矩陣存儲空間大、不易于硬件實現(xiàn)的缺點。文獻“Do T T,Gan L,Nguyen N H,et al.Fast and Efficient Compressive Sensing Using Structurally Random Matrices[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2011,60(1):139-154.”提出了一種具有良好結(jié)構(gòu)特性的結(jié)構(gòu)化壓縮感知觀測矩陣，其中使用的隨機算子可以增強矩陣的元素的隨機性，提高感知性能和普適性。

混沌理論在80年代末開始得到現(xiàn)代密碼學(xué)界的高度重視?；煦邕\動是非線性確定性動力系統(tǒng)內(nèi)在隨機性的一種表現(xiàn),可以由十分簡單的確定性動力系統(tǒng)產(chǎn)生異常復(fù)雜的隨機行為。具有以下優(yōu)點：①混沌理論揭示了確定性與隨機性的統(tǒng)一，混沌系統(tǒng)與隨機系統(tǒng)相比，是一種確定性系統(tǒng)表現(xiàn)出來的類隨機行為，實現(xiàn)起來要簡單高效；②混沌系統(tǒng)所產(chǎn)生的偽隨機序列由系統(tǒng)參數(shù)和初始值決定，一旦初始參數(shù)固定，其值也相對固定，可以重現(xiàn)混沌序列，穩(wěn)定性比較好；③由于僅需存儲和傳輸少量的參數(shù)，可大大的減少存儲空間和傳輸帶寬的壓力。文獻“凌聰,孫松庚.Logistic映射擴頻序列的相關(guān)分布[J].電子學(xué)報,1999(1):140- 141.”詳細介紹了混沌系統(tǒng)中Logistic映射的優(yōu)點，具有良好的偽隨機性，易于硬件實現(xiàn)的優(yōu)點，產(chǎn)生的混沌序列簡單，僅由-1和1組成，Logistic映射是比較常用的混沌系統(tǒng)。

本發(fā)明力圖將混沌系統(tǒng)應(yīng)用于循環(huán)矩陣，并結(jié)合結(jié)構(gòu)化隨機算子的優(yōu)點，以克服傳統(tǒng)循環(huán)觀測矩陣在實際應(yīng)用中的缺點為目的，提出基于混沌序列的壓縮感知循環(huán)觀測矩陣?；煦缪h(huán)測量矩陣元素的產(chǎn)生僅需要利用混沌的內(nèi)在確定性，即利用混沌映射公式、初始值以及一定的采樣間隔就可以產(chǎn)生獨立同分布的隨機序列；同時混沌序列的外在隨機性可以滿足壓縮測量矩陣對隨機性的要求。

附圖說明

圖1產(chǎn)生Logistic映射混沌序列的算法流程圖；

圖2分段函數(shù)在Logistic映射的概率密度函數(shù)上的分布示意圖；

圖3基于混沌的結(jié)構(gòu)化壓縮感知循環(huán)觀測矩陣的構(gòu)造流程圖；

圖4在DCT稀疏基下的不同觀測矩陣的重構(gòu)成功率比較；

圖5在DWT稀疏基下的不同觀測矩陣的重構(gòu)成功率比較。

技術(shù)實現(xiàn)要素：

本發(fā)明針對當前壓縮感知循環(huán)觀測矩陣存在的復(fù)雜度高、不易于硬件實現(xiàn)和普適性較差的問題，基于混沌系統(tǒng)提出一種改進的構(gòu)造方法以降低其復(fù)雜度、提高感知性能，使該類型矩陣更加利于硬件實現(xiàn)，并結(jié)合結(jié)構(gòu)化隨機算子使改進型的觀測矩陣具有較強的普適性，提高其適用范圍。

本發(fā)明的技術(shù)方案：基于混沌的結(jié)構(gòu)化壓縮感知循環(huán)觀測矩陣的構(gòu)造。傳統(tǒng)循環(huán)矩陣采用高斯或伯努利分布函數(shù)隨機產(chǎn)生矩陣的第一列的元素，然后依次移位產(chǎn)生的矩陣。采用該方法構(gòu)造的壓縮感知循環(huán)矩陣元素隨機性較強，雖然感知性能較高但十分不利于硬件實現(xiàn)。本方案針對傳統(tǒng)的壓縮感知循環(huán)矩陣在實際應(yīng)用中存在的問題，結(jié)合混沌系統(tǒng)，提出了一種改進方法。首先對混沌系統(tǒng)中的Logistic映射函數(shù)進行改進，使得其可以產(chǎn)生更加稀疏的混沌序列，該函數(shù)產(chǎn)生序列的稀疏性使最終構(gòu)造的矩陣更加有利于硬件實現(xiàn)，易于實際應(yīng)用。然后使用改進型的Logistic映射函數(shù)代替隨機伯努利和高斯分布函數(shù)產(chǎn)生循環(huán)矩陣的第一行的矩陣元素，然后依次移位產(chǎn)生其余的行構(gòu)造出稀疏混沌循環(huán)矩陣，最后從稀疏混沌循環(huán)矩陣中隨機的選取m行構(gòu)成一個子矩陣作為壓縮感知的觀測矩陣。其中，Logistic映射函數(shù)產(chǎn)生的序列具有偽隨機性，相比高斯和伯努利分布函數(shù)更加易于硬件實現(xiàn)。理論上，稀疏性更高的矩陣的感知性能會隨稀疏性的增加而降低，同時，循環(huán)觀測矩陣的普適性也有待提高，例如在壓縮感知中最常用的DCT稀疏基下的感知性能太差，甚至無法有效地重構(gòu)出原始信號。因此，在上述方法基礎(chǔ)上結(jié)合結(jié)構(gòu)化隨機算子以提高矩陣元素的隨機性，如此就提高了矩陣的感知性能和普適性。注意，由于是采用另外一個矩陣與循環(huán)矩陣相乘的形式，而且該隨機算子特別容易硬件實現(xiàn)，故結(jié)構(gòu)化隨機算子的加入并不會加大硬件實現(xiàn)的難度。

具體實施方式

以下給出基于混沌的結(jié)構(gòu)化壓縮感知循環(huán)觀測矩陣的具體的構(gòu)造方法，對本發(fā)明的實施做進一步的說明。

定義1托普利茲和循環(huán)矩陣

由定義1可知托普利茲和循環(huán)矩陣具有很強的結(jié)構(gòu)特點，托普利茲矩陣從左到右的斜對角都是相同的元素，即T_(i,j)＝T_(i+1,j+1)。而循環(huán)矩陣是托普利茲矩陣的特殊形式，如果滿那么托普利茲矩陣就變換為循環(huán)矩陣。循環(huán)矩陣的每一行都是由上一行向右循環(huán)移動一位得到的。

根據(jù)循環(huán)矩陣的定義可以發(fā)現(xiàn)，只需要構(gòu)造出循環(huán)矩陣的第一行就可以由上一行向右循環(huán)移動一位得到下一行，最終循環(huán)移位n次就可以得到一個循環(huán)矩陣，然后隨機的抽取該矩陣的m行構(gòu)成的子矩陣作為壓縮感知的觀測矩陣，稱之為壓縮感知循環(huán)觀測矩陣，簡稱循環(huán)觀測矩陣。根據(jù)以上定義和方法，傳統(tǒng)的循環(huán)觀測矩陣一般采用高斯或者伯努利分布函數(shù)進行構(gòu)造，矩陣的元素具有較強隨機性，因此具有較優(yōu)異的感知性能，但也存在一定的不足，例如由于高斯和伯努利分布的完全隨機性導(dǎo)致計算和存儲復(fù)雜度太高，不易于硬件實現(xiàn)。

混沌序列函數(shù)有多種，其中多使用Logistic映射函數(shù)來產(chǎn)生偽隨機序列。本發(fā)明即采用Logistic映射函數(shù)來產(chǎn)生混沌序列。Logistic映射的函數(shù)形式由以下的公式給出

該映射函數(shù)的元素的概率密度函數(shù)是

混沌序列碼的產(chǎn)生公式是

a_n＝agn(x_n) n＝0,1,2,…,N-1 (3)上式中agn(.)是符號函數(shù)，根據(jù)初始值的不同x_0m(m＝1,2,…,M)可以產(chǎn)生不同的混沌序列。圖1是Logistic映射產(chǎn)生混沌序列的算法流程圖，算法十分簡單，因此在實際應(yīng)用中具有速度快、效率高的優(yōu)點。混沌序列的隨機性體現(xiàn)在初值的敏感性，確定性體現(xiàn)在選定初值后的混沌序列的確定性，總的即混沌序列的偽隨機性。壓縮感知理論表明，要想無失真重構(gòu)出原始信號，CS觀測矩陣必須滿足RIP性質(zhì)或互相關(guān)性準則。如果一個矩陣的元素服從某一獨立同一隨機分布，其矩陣元素就具有較強的隨機性，那么該矩陣就高概率滿足RIP準則。已經(jīng)證明Logistic映射產(chǎn)生的混沌序列{a_n}是伯努利隨機序列，保證了使用該混沌映射構(gòu)造的循環(huán)矩陣可以滿足壓縮感知對觀測矩陣的隨機性的要求。

由上述Logistic映射函數(shù)構(gòu)造循環(huán)矩陣的矩陣元素為-1或1，本發(fā)明對混沌序列產(chǎn)生函數(shù)做進一步改進，在不改變Logistic系統(tǒng)的前提下，使產(chǎn)生的混沌序列更加稀疏，可以有效地減少信號采樣數(shù)，降低計算復(fù)雜度。具體的改進方式如下：

首先本發(fā)明定義了一個新的分段函數(shù)，該分段函數(shù)在Logistic映射的概率密度函數(shù)上的分布示意圖如圖2所示。該分段函數(shù)會將位于選定區(qū)間的值轉(zhuǎn)變?yōu)?1、1和0，產(chǎn)生1和-1的概率都為1/6，產(chǎn)生0的概率為2/3，即：

根據(jù)上式，可以通過下式計算出x的取值區(qū)間：

由上式可得：

由上式可得那么改進型的混沌序列碼產(chǎn)生函數(shù)如下：

使用改進型Logistic映射函數(shù)構(gòu)造循環(huán)觀測矩陣的具體方法：

步驟一：隨機選定[-1,1]之間的一個常數(shù)作為Logistic映射函數(shù)的初值，初值選定后根據(jù)式(7)中Logistic映射混沌序列的產(chǎn)生方法，產(chǎn)生足夠的稀疏混沌序列；步驟二：在步驟一中產(chǎn)生的一系列稀疏混沌序列中采取一定的間隔取N個元素作為一個集合a＝{a₁,a₂,…a_N}。

步驟三：根據(jù)集合a構(gòu)造一個大小為N×N的循環(huán)矩陣，如下所示：

上述方法構(gòu)造的矩陣F稱為混沌循環(huán)矩陣，相比于傳統(tǒng)的循環(huán)矩陣，由以上方法構(gòu)造的循環(huán)矩陣具有偽隨機性的優(yōu)點，而且矩陣元素為-1、1或0，矩陣元素更加簡單，復(fù)雜度低。

由于本發(fā)明采取了混沌系統(tǒng)來產(chǎn)生循環(huán)矩陣的元素，矩陣元素過于簡單和稀疏會影響到其感知性能。同時混沌系統(tǒng)的加入并沒有增強循環(huán)矩陣的普適性，基于混沌系統(tǒng)的循環(huán)矩陣仍然無法在常用的DCT稀疏基下有效地重構(gòu)原始信號。因此，本發(fā)明結(jié)合結(jié)構(gòu)化矩陣(SRM)的原理，加入隨機算子，隨機算子可以對矩陣進行隨機化處理，增強矩陣元素的隨機性，理論上會有更加優(yōu)異的感知性能。此外，原矩陣會隨著隨機化算子的加入使得其適用更廣泛的稀疏基條件，同時保留了原始矩陣的結(jié)構(gòu)特性，基于此原理，本發(fā)明構(gòu)造出具有更強普適性和結(jié)構(gòu)特性的壓縮感知觀測矩陣。

針對傳統(tǒng)壓縮感知循環(huán)觀測矩陣計算和存儲復(fù)雜度較高，不易于硬件實現(xiàn)，普適性較差的缺點，結(jié)合結(jié)構(gòu)化隨機矩陣(SRM)的構(gòu)造方法，發(fā)明提出了基于混沌的結(jié)構(gòu)化壓縮感知循環(huán)觀測矩陣，該矩陣的數(shù)學(xué)模型如下：

其中，

(1)歸一化系數(shù)，對Φ_Ω進行列單位化，使得Φ_Ω^TΦ_Ω＝I_N，保證在使該矩陣對信號進行觀測時，觀測值與原始信號具有大致相近的能量。

(2)Ω：表示隨機抽取集合{1,2,...,N}的M個元素構(gòu)成的集合。

(3)D_Ω：D_Ω∈R^M×N表示以Ω為下標集從一個N×N單位矩陣I_N中抽取M行構(gòu)成的子矩陣。D_Ω實際上表示按照下標集Ω從FR中抽取行向量。

(4)F：F∈R^N×N表示混沌循環(huán)矩陣，其構(gòu)造方法已經(jīng)在前面的部分做了具體介紹。

(5)R：R∈R^N×N表示隨機算子，R為全局隨機算子，實際上表示對矩陣F的列進行隨機置亂操作。

本文將利用(8)式構(gòu)造的壓縮感知觀察矩陣稱為基于混沌的結(jié)構(gòu)化壓縮感知循環(huán)觀測矩陣，具體的構(gòu)造流程如圖3所示，該矩陣結(jié)合采用了SRM中的隨機算子R，其目的也是增加矩陣元素的隨機性，從而提高矩陣的恢復(fù)性能。使用本發(fā)明構(gòu)造的觀測矩陣Φ_Ω對原始信號f進行壓縮采樣的過程可以表示為：

其中f^*＝Rf。根據(jù)上式可知，實際中使用本發(fā)明構(gòu)造的觀測矩陣對原始信號進行壓縮采樣的過程是：首先使用隨機算子對原始信號進行隨機化處理，然后使用循環(huán)矩陣對隨機化處理后的原始信號f*進行變換，最后從變換系數(shù)中隨機地抽取M(M＜＜N)個元素作為采樣值以完成整個信號采樣的過程。

為了直觀地說明構(gòu)造的矩陣的可行性和有效性，本發(fā)明通過實驗仿真進行了驗證。為了仿真的目的設(shè)輸入的一維輸入信號x長度為N＝256，且x在某個確定正交稀疏基Ψ下是K稀疏的，即：x＝Ψαψ，其中Ψ為正交稀疏基，信號變換系數(shù)α是K稀疏的。信號x的構(gòu)造方法具體為：首先生成K個滿足獨立同一高斯分布的非零元素，然后向K個非零元素中在隨機位置插入N-K個0元素構(gòu)成變換系數(shù)α，最后選擇確定的正交基矩陣Ψ與α相乘得到信號。對于信號x，選擇大小為M×N的觀測矩陣Φ對其進行觀測獲得長度為M的觀測向量y＝Φx，實驗中采用OMP算法對原始信號進行重構(gòu)。圖4和圖5分別是在不同的稀疏基下信號的重構(gòu)成功率隨采樣率的變。這兩張圖表明本發(fā)明構(gòu)造的基于混沌的結(jié)構(gòu)化循環(huán)觀測矩陣可以有效地重構(gòu)信號，相比于傳統(tǒng)的循環(huán)矩陣能適用較多的稀疏基，同時具有更加優(yōu)異的重構(gòu)性能。

以上對本發(fā)明提出的基于混沌的結(jié)構(gòu)化壓縮感知循環(huán)觀測矩陣進行了詳細的介紹和說明，上述的具體實施方式有助于理解本發(fā)明的核心思想。本發(fā)明基于混沌系統(tǒng)的偽隨機性可以滿足壓縮感知對觀測矩陣的要求，同時混沌系統(tǒng)相較于純隨機系統(tǒng)又更容易在硬件上實現(xiàn)。此外，隨機化算子可以對矩陣的元素進行隨機化處理，提高了矩陣重構(gòu)性能和其普適性。