多觀測(cè)值向量稀疏度自適應(yīng)壓縮采樣匹配追蹤方法
【技術(shù)領(lǐng)域】
[0001] 本發(fā)明涉及信息與通信技術(shù)領(lǐng)域，具體涉及基于Xampling的模擬信號(hào)壓縮感知 重構(gòu)方法。
【背景技術(shù)】
[0002] 當(dāng)今社會(huì)，隨著信息需求量的飛速增長(zhǎng)，信號(hào)載頻越來(lái)越高。依照傳統(tǒng)的信號(hào)或圖 像的采樣方法，只有采樣速率不少于信號(hào)最高頻率的兩倍（即所謂的奈奎斯特率），才能保 證從樣本點(diǎn)精確恢復(fù)出原始信號(hào)。這一條件使得信號(hào)處理時(shí)需要越來(lái)越高的采樣頻率，處 理的難度越來(lái)越大。與此同時(shí)，實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常通過(guò)壓縮的方式在不丟失有用信息的前提 下通過(guò)對(duì)信號(hào)進(jìn)行重組來(lái)降低其冗余度，提高信號(hào)處理、傳輸和存儲(chǔ)的效率，其間拋棄了大 量的非重要數(shù)據(jù)，實(shí)際上造成了采樣資源的浪費(fèi)。很自然的，可以想到能否根據(jù)信號(hào)的一些 特征，利用其它變換空間描述信號(hào)，以實(shí)現(xiàn)低于奈奎斯特采樣頻率的采樣，同時(shí)又不影響信 號(hào)的恢復(fù)。如果能實(shí)現(xiàn)這一設(shè)想，毫無(wú)疑問(wèn)將大大降低信號(hào)采樣和存儲(chǔ)的代價(jià)，顯著減少其 處理時(shí)間，為信號(hào)處理帶來(lái)新的曙光。
[0003] 早在上個(gè)世紀(jì)，許多科學(xué)家就開(kāi)始研究如何從噪聲中提取正弦信號(hào)，但是基于信 號(hào)可壓縮性的數(shù)據(jù)采集仍是一個(gè)新的研究方向。它起源于對(duì)有限信息率信號(hào)（即單位時(shí)間 內(nèi)自由度有限的信號(hào)）利用結(jié)構(gòu)性奇函數(shù)以兩倍于新信率而非奈奎斯特采樣頻率的速率 對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣的研究。而近年來(lái)，D.Donoho、E.Cand6s和T.Tao等人又提出來(lái)一種新穎 的理論一一壓縮感知，與傳統(tǒng)香農(nóng)-奈奎斯特采樣定理不同，壓縮感知理論指出：對(duì)于可壓 縮或可以進(jìn)行稀疏化處理的信號(hào)，可以用一個(gè)與變換基（變換矩陣，稀疏化矩陣）不相關(guān)的 觀測(cè)矩陣對(duì)其進(jìn)行降維處理，得到數(shù)量遠(yuǎn)少于原始信號(hào)的觀測(cè)值，然后將重構(gòu)信號(hào)問(wèn)題轉(zhuǎn) 化為求解優(yōu)化問(wèn)題再將原始信號(hào)從觀測(cè)值中重構(gòu)出來(lái)。根據(jù)這一理論，采樣的不是信號(hào)而 是信息，采樣速率由信號(hào)的特性決定，而不是兩倍的信號(hào)最高頻率。因?yàn)樵摲椒@著減少了 傳感器的數(shù)目和采集到的數(shù)據(jù)的冗余度，所以一經(jīng)提出就影響廣泛，目前在信息論、圖像處 理、醫(yī)學(xué)成像、無(wú)線通信等領(lǐng)域已有相當(dāng)大的進(jìn)展，我國(guó)關(guān)于壓縮感知的研究已經(jīng)起步并迅 速發(fā)展，且在未來(lái)仍有很大的發(fā)展空間。
[0004] 針對(duì)離散信號(hào)的壓縮感知理論經(jīng)過(guò)近十年來(lái)科學(xué)家們的不斷研究，目前已形成了 比較完善的理論體系。但是，想要真正為信號(hào)采樣帶來(lái)大的變革，還需將壓縮感知理論運(yùn)用 到模擬信號(hào)領(lǐng)域。S.Kirolos和J.Laska在2006年提出的模擬信息轉(zhuǎn)換器是目前比較成 熟的針對(duì)模擬有限速率信號(hào)的數(shù)據(jù)采集技術(shù)。實(shí)質(zhì)上，AIC中輸入信號(hào)的模型是有限多個(gè) 單頻信號(hào)的疊加，而許多實(shí)際信號(hào)，如窄帶信號(hào)，是定義在連續(xù)的頻率區(qū)間上的，并不是模 擬稀疏信號(hào)。針對(duì)這一情況，M.Mishali和Y.C.Eldar提出了Xampling的概念，它是針對(duì) 多頻帶信號(hào)的采樣和重構(gòu)方法。輸入模擬信號(hào)首先與周期一定服從相同分布的不同偽隨機(jī) 序列相乘，每個(gè)偽隨機(jī)序列對(duì)應(yīng)一個(gè)通道，然后每一通道得到的結(jié)果經(jīng)過(guò)一個(gè)低通濾波器 后進(jìn)行低速采樣，將其組合得到多通道的測(cè)量結(jié)果，最后從觀測(cè)值中重構(gòu)出原始的信號(hào)。其 中，采樣系統(tǒng)被稱為調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器，其觀測(cè)值是無(wú)限觀測(cè)值向量，不能通過(guò)傳統(tǒng)的壓縮感 知重構(gòu)算法直接求解。針對(duì)這一問(wèn)題，可通過(guò)連續(xù)-有限模塊尋找信號(hào)的支持集，并通過(guò)聯(lián) 合稀疏的方式把無(wú)限觀測(cè)值向量轉(zhuǎn)化為多觀測(cè)值向量問(wèn)題再重構(gòu)原信號(hào)。但這仍然不能使 用傳統(tǒng)的壓縮感知重構(gòu)算法，需要把原有算法進(jìn)行調(diào)整和擴(kuò)展，使其能夠解決多觀測(cè)值向 量問(wèn)題，目前連續(xù)-有限模塊中利用的重構(gòu)算法主要為多觀測(cè)值向量正交匹配追蹤算法， 該算法存在許多缺點(diǎn)，如每次僅能篩選出一個(gè)原子，收斂速度較慢；由于沒(méi)有修正能力，重 構(gòu)精度不夠高；此外還必須直到原始信號(hào)的聯(lián)合稀疏度才能精確重構(gòu)出信號(hào)。

【發(fā)明內(nèi)容】

[0005] 本發(fā)明是為了解決現(xiàn)有基于Xampling系統(tǒng)的多觀測(cè)值向量正交匹配追蹤算法的 以下問(wèn)題：
[0006] 1、每次迭代僅能從觀測(cè)矩陣中篩選出一個(gè)與原始信號(hào)匹配的原子，收斂速度較 慢；
[0007] 2、沒(méi)有修正能力，一旦將錯(cuò)誤原子選入支撐集就無(wú)法再改變，重構(gòu)精度不高；
[0008] 3、必須已知原始信號(hào)的聯(lián)合稀疏度才能精確重構(gòu)，這在實(shí)際中不易實(shí)現(xiàn)；
[0009] 從而提供一種解決多觀測(cè)值向量問(wèn)題的稀疏度自適應(yīng)壓縮采樣匹配追蹤方法。
[0010] 多觀測(cè)值向量稀疏度自適應(yīng)壓縮采樣匹配追蹤方法，它由以下步驟實(shí)現(xiàn)：
[0011] 步驟一、輸入觀測(cè)矩陣A、框架矩陣V、殘差閾值Θ和階段數(shù)閾值σ ;
[0012] 步驟二、初始化：令支撐集S=0、殘差R=V、支撐集候選集J=0、J0: 階段數(shù) stage= 1、步長(zhǎng)step= 2,對(duì)觀測(cè)矩陣A的列向量求2-范數(shù)，所得值構(gòu)成向量q;
[0013] 步驟三、利用公式：
[0014] s = stage X step (1)
[0015] 計(jì)算每次迭代的估計(jì)稀疏度s ;
[0016] 步驟四、利用公式：
[0017] P = ATR (2)
[0018] 計(jì)算衡量觀測(cè)矩陣與殘差矩陣相關(guān)關(guān)系的矩陣P ;
[0019] 步驟五、利用公式：
[0020]
(3)
[0021] 計(jì)算反映觀測(cè)矩陣各原子歸一化后與殘差矩陣相關(guān)關(guān)系的向量Z，其中Pk，qk分別 是矩陣P的第k行和向量q的第k個(gè)元素，k稱為索引值；
[0022] 所述觀測(cè)矩陣各原子為列向量；
[0023] 步驟六、找出向量Z中最大的前4s項(xiàng)，對(duì)應(yīng)的觀測(cè)矩陣A中原子的索引值k加入 支撐集候選集J;
[0024] 步驟七、利用公式：
[0025] J〇= S U J (4)
[0026] 求出支撐集候選集J。；
[0027] 步驟八、利用最小二乘法估計(jì)：
[0028]
[0029] 找出令b最大的前2s項(xiàng)原子，對(duì)應(yīng)的觀測(cè)矩陣A中原子的索引值加入支撐集S;
[0030] 步驟九、將支撐集S中索引值k所對(duì)應(yīng)的觀測(cè)矩陣A的原子構(gòu)成一個(gè)向量集合As;
[0031] 步驟十、利用公式：
[0032] (J)
[0033]估計(jì)U;
[0034] 步驟^^一、利用公式：
[0035]
.(?
[0036] 更新信號(hào)殘差；
[0037]步驟十二、如果 ||Rnew| |2彡I|R|I2,則令stage=stage+Ι，否則，令R=Rnew;
[0038] 步驟十三、如果
$或階段數(shù)stage彡σ則停止迭代，得到最終支撐集S;否 則返回執(zhí)行步驟三；
[0039] 步驟十四、通過(guò)支撐集S中元素對(duì)應(yīng)的矩陣Α中原子構(gòu)成矩陣^，利用公式：
[0040] (8)
[0041 ]
[0042] 重構(gòu)出稀疏頻譜a(f)。
[0043] 本發(fā)明面對(duì)多頻帶信號(hào)x(t)，它是L2空間的連續(xù)實(shí)信號(hào)，滿足模平方可積條件， 即：
[0044]
(9)
[0045] 則其可以傅里葉變換表示為：
[0046]
(1§>
[0047]如果X(f)是帶限的，其頻譜范圍為[-1/2T，1/2T]，則其奈奎斯特頻率為f_= 1/ T。如果又有X(f)又滿足如圖1所示的結(jié)構(gòu)，即其在[-1/2T，1/2T]范圍內(nèi)包含N個(gè)（圖1 中N= 6)不相交的子頻帶，且每個(gè)子頻帶帶寬小于B，則x(t)是一個(gè)多頻帶信號(hào)。
[0048] 重構(gòu)方法中出現(xiàn)的觀測(cè)矩陣A和框架矩陣V是多頻帶信號(hào)X(t)經(jīng)過(guò)調(diào)制寬帶轉(zhuǎn) 換器和連續(xù)-有限模塊處理得到的。針對(duì)多頻帶信號(hào)的采樣器是調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器，它不需 要知道原信號(hào)的載頻，采樣速率不取決于信號(hào)帶寬并且遠(yuǎn)低于奈奎斯特頻率，可以用現(xiàn)有 的ADC實(shí)現(xiàn)。其系統(tǒng)示意圖2至圖4所示。
[0049]其中，m是采樣通道數(shù)，Tp是混頻函數(shù)pi(t)的周期，Ts是采樣間隔，Μ是每個(gè)周期 RPl(t)的脈沖數(shù)，alk是在第k個(gè)間隔RPl(t)的取值。信號(hào)同時(shí)進(jìn)入m個(gè)通道，與每個(gè) 支路中周期一定服從相同分布的不同偽隨機(jī)序列相乘，然后每一通道得到的結(jié)果經(jīng)過(guò)一個(gè) 截止頻率為1/2TS的低通濾波器后再以Ts為速率進(jìn)行低速采樣，最終得到多通道的測(cè)量結(jié) 果。對(duì)調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器進(jìn)行頻域分析?？紤]第i通道，混頻函數(shù)P1(t)是一個(gè)偽隨機(jī)序列， 表示為：
[0050]
(11)
[0051] 其中，aike{+l，-l}，Pi(t)的傅里葉級(jí)數(shù)為
[0052]
(12)
[0053] 令％坊=