本發(fā)明涉及弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)，具體涉及弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面控制方法。

背景技術(shù)：

微型機(jī)電系統(tǒng)是在微型電子技術(shù)(半導(dǎo)體制造技術(shù))基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，融合了光刻、腐蝕、薄膜、LIGA、硅微型加工、非硅微型加工和精密機(jī)械加工等技術(shù)制作的高科技電子機(jī)械器件。微型機(jī)電系統(tǒng)是集微型傳感器、微型執(zhí)行器、微型機(jī)械結(jié)構(gòu)、微型電源微型能源、信號(hào)處理和控制電路、高性能電子集成器件、接口、通信等于一體的微型器件或系統(tǒng)。微型機(jī)電系統(tǒng)是一項(xiàng)革命性的新技術(shù)，廣泛應(yīng)用于高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)，是一項(xiàng)關(guān)系到國(guó)家的科技發(fā)展、經(jīng)濟(jì)繁榮和國(guó)防安全的關(guān)鍵技術(shù)。微型機(jī)電系統(tǒng)側(cè)重于超精密機(jī)械加工，涉及微型電子、材料、力學(xué)、化學(xué)、機(jī)械學(xué)諸多學(xué)科領(lǐng)域。它的學(xué)科面涵蓋微型尺度下的力、電、光、磁、聲、表面等物理、化學(xué)、機(jī)械學(xué)的各分支。

弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)對(duì)外部環(huán)境下的初始條件具有敏感性，能呈現(xiàn)非常豐富的動(dòng)態(tài)行為，即工作過(guò)程中易產(chǎn)生不規(guī)則的混沌振蕩。混沌行為極大地影響弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定性和安全性，必須要采取措施來(lái)改善弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)的性能。

不同激勵(lì)幅值R下的弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)相圖和時(shí)序圖如圖3和圖4所示，很顯然，系統(tǒng)存在混沌振蕩?；⌒挝⑿蜋C(jī)電混沌系統(tǒng)龐加萊截面圖如圖5所示。在圖5(a)，(c)，(e)和(f)中存在一些固定的點(diǎn)。當(dāng)R減小時(shí)，吸引不變的軌道開(kāi)始擴(kuò)張，如圖5(i)和(h)所示。當(dāng)R進(jìn)一步減小時(shí)，軌道開(kāi)始變形，如圖5(g)和(d)所示。當(dāng)R等于0.02時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)不穩(wěn)定與混沌狀態(tài)，如圖5(b)所示。

利用分岔圖來(lái)分析弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)周期振動(dòng)狀態(tài)和混沌運(yùn)動(dòng)，x₁相對(duì)于激勵(lì)幅值R的分岔圖如圖6所示。在一定范圍內(nèi)可以清楚的知道從規(guī)則運(yùn)動(dòng)到混沌運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為，即混沌振蕩發(fā)生在區(qū)域B，D，F(xiàn)和I，四周期運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)在區(qū)域H上和二周期運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)在區(qū)域G上。

同時(shí)，在實(shí)際應(yīng)用中，由于執(zhí)行器物理限制、元器件老化以及外界環(huán)境影響等因素使得執(zhí)行器輸入輸出呈現(xiàn)扇形非線性輸入特征。這種特征不可避免地存在于實(shí)際控制系統(tǒng)中，并且會(huì)造成閉環(huán)控制系統(tǒng)的性能下降，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定?；诎踩蚝铜h(huán)境保護(hù)等方面的考慮，控制系統(tǒng)中的狀態(tài)約束和輸出約束不可忽視。研究發(fā)現(xiàn)，弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)中的非線性補(bǔ)償問(wèn)題涉及位置信號(hào)及其高階導(dǎo)數(shù)的觀測(cè)問(wèn)題，觀測(cè)器能夠在系統(tǒng)狀態(tài)不完全可測(cè)的情況實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的閉環(huán)控制，解決系統(tǒng)狀態(tài)在線估計(jì)問(wèn)題。

微型機(jī)電系統(tǒng)具有高度非線性、參數(shù)未知、混沌振蕩和多變量等特征。目前微型機(jī)電系統(tǒng)研究大部分側(cè)重于動(dòng)力學(xué)分析和生產(chǎn)制造，很少?gòu)淖赃m應(yīng)控制方法上去解決其混沌控制問(wèn)題。另外，通用的控制方法沒(méi)有考慮弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)的特征與特點(diǎn)，未能有效解決系統(tǒng)存在扇形非線性輸入、混沌振蕩、未知控制方向、難測(cè)量狀態(tài)和狀態(tài)約束特征等的控制問(wèn)題。因此，針對(duì)弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)控制問(wèn)題，迫切地需要提出一些有效的控制方法，從而降低各種因素對(duì)系統(tǒng)造成的不利影響，改善其性能，提高可靠性和安全性。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

發(fā)明目的：為了解決現(xiàn)有技術(shù)存在的問(wèn)題，解決弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)在分布式靜電激勵(lì)下具有扇形非線性輸入、混沌振蕩、未知控制方向、難測(cè)量狀態(tài)和狀態(tài)約束特征等的自適應(yīng)控制問(wèn)題，本發(fā)明提供一種弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面控制方法。

技術(shù)方案：一種弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面控制方法，包括以下步驟：

(1)建立基于Euler-Bernoull梁的弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，確定系統(tǒng)輸出約束條件和扇形非線性輸入條件；根據(jù)動(dòng)力學(xué)模型列出弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)非標(biāo)量方程，定義狀態(tài)變量；

(2)設(shè)計(jì)控制器，通過(guò)比較弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)的輸出信號(hào)與理想信號(hào)進(jìn)而輸出跟蹤誤差e₁；設(shè)計(jì)障礙李亞譜諾夫函數(shù)，所述障礙李亞譜諾夫函數(shù)用于保證輸出信號(hào)滿足系統(tǒng)的輸出約束條件，誤差e₁經(jīng)障礙李亞譜諾夫函數(shù)處理后結(jié)合Levant微分跟蹤器構(gòu)成虛擬控制輸入，虛擬控制輸入經(jīng)一階濾波器濾波后得到濾波器輸出信號(hào)α_2f；狀態(tài)變量經(jīng)過(guò)擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器得到變量將濾波器輸出信號(hào)α_2f與變量通過(guò)比較進(jìn)而輸出誤差對(duì)濾波器輸出信號(hào)α_2f求導(dǎo)得到濾波器輸出信號(hào)導(dǎo)數(shù)

(3)根據(jù)步驟(2)得到的誤差e₁和濾波器輸出信號(hào)導(dǎo)數(shù)構(gòu)建Nussbaum函數(shù)；在backstepping的框架中構(gòu)建自適應(yīng)控制律，根據(jù)狀態(tài)變量x₁和x₂構(gòu)建帶有自適應(yīng)控制律的Chebyshev神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；將Nussbaum函數(shù)與Chebyshev神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)耦合得到實(shí)際控制輸入，所述實(shí)際控制輸入在滿足扇形非線性輸入條件下輸入弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)；

(4)調(diào)節(jié)控制器中Levant微分跟蹤器、一階濾波器、擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器、Chebyshev神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)，檢測(cè)跟蹤誤差e₁和控制器輸出u的大??；設(shè)定一個(gè)誤差閾值，當(dāng)跟蹤誤差e₁小于誤差閾值時(shí)，且輸出信號(hào)值滿足約束條件時(shí)，完成參數(shù)的調(diào)節(jié)。

有益效果：相比較現(xiàn)有技術(shù)，本發(fā)明提供的一種弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面控制方法，以在分布式靜電激勵(lì)下具有扇形非線性輸入、混沌振蕩、未知控制方向、難測(cè)量狀態(tài)和狀態(tài)約束特征等弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)為對(duì)象，基于Euler-Bernoull梁構(gòu)造動(dòng)力學(xué)模型，設(shè)計(jì)相應(yīng)的障礙李亞譜諾夫函數(shù)來(lái)保證輸出信號(hào)嚴(yán)格滿足輸出約束條件，結(jié)合Levant微分跟蹤器估計(jì)理想微分信號(hào)的優(yōu)點(diǎn)，利用Chebyshev神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以任意小的誤差逼近非線性函數(shù)的特性和擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器來(lái)在線預(yù)估不可測(cè)的狀態(tài)變量，降低了對(duì)物理傳感器的限制，取消了對(duì)系統(tǒng)精確數(shù)學(xué)模型與精準(zhǔn)參數(shù)的要求，避免了傳統(tǒng)backstepping中對(duì)虛擬控制反復(fù)求導(dǎo)導(dǎo)致的系數(shù)膨脹問(wèn)題，利用Nussbaum函數(shù)處理未知控制方向問(wèn)題，在backstepping的框架中構(gòu)造自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面控制器。本發(fā)明實(shí)現(xiàn)了保證系統(tǒng)瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能的自適應(yīng)控制，放松了對(duì)系統(tǒng)全狀態(tài)已知的假設(shè)條件，可以降低弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)不確定性因素對(duì)閉環(huán)控制性能的影響。

附圖說(shuō)明

圖1為弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面控制方法的框圖；

圖2為弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)示意圖；

圖3為不同激勵(lì)幅值R下的弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)相圖；

圖4為不同激勵(lì)幅值R下的弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)時(shí)序圖；

圖5為弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)龐加萊截面圖；

圖6為弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)周期振動(dòng)狀態(tài)和混沌運(yùn)動(dòng)的分岔圖；

圖7為系統(tǒng)扇形非線性輸入示意圖；

圖8為系統(tǒng)輸出約束條件示意圖；

圖9為和間的微分跟蹤器性能；

圖10為x₁和間的觀測(cè)器性能；

圖11為x₂和間的觀測(cè)器性能；

圖12為不同激勵(lì)幅值R下的跟蹤性能；

圖13為不同激勵(lì)幅值R下的Nussbaum函數(shù)；

圖14為不同激勵(lì)幅值R下的實(shí)際控制輸入。

具體實(shí)施方式

下面結(jié)合附圖和具體實(shí)施方式，對(duì)本發(fā)明做進(jìn)一步說(shuō)明。

如圖1所示，弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面控制方法，包括以下步驟：

(1)建立基于Euler-Bernoull梁的弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，確定系統(tǒng)輸出約束條件和扇形非線性輸入條件；根據(jù)動(dòng)力學(xué)模型列出弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)非標(biāo)量方程，定義狀態(tài)變量；

(2)設(shè)計(jì)控制器，通過(guò)比較弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)的輸出信號(hào)與理想信號(hào)進(jìn)而輸出跟蹤誤差e₁；設(shè)計(jì)障礙李亞譜諾夫函數(shù)，所述障礙李亞譜諾夫函數(shù)用于保證輸出信號(hào)滿足系統(tǒng)的輸出約束條件，誤差e₁經(jīng)障礙李亞譜諾夫函數(shù)處理后結(jié)合Levant微分跟蹤器構(gòu)成虛擬控制輸入，虛擬控制輸入經(jīng)一階濾波器濾波后得到濾波器輸出信號(hào)α_2f；狀態(tài)變量經(jīng)過(guò)擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器得到變量將濾波器輸出信號(hào)α_2f與變量通過(guò)比較進(jìn)而輸出誤差對(duì)濾波器輸出信號(hào)α_2f求導(dǎo)得到濾波器輸出信號(hào)導(dǎo)數(shù)

(3)根據(jù)步驟(2)得到的誤差e₁和濾波器輸出信號(hào)導(dǎo)數(shù)構(gòu)建Nussbaum函數(shù)；同時(shí)根據(jù)狀態(tài)變量x₁和x₂構(gòu)建帶有自適應(yīng)控制律的Chebyshev神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；將Nussbaum函數(shù)與Chebyshev神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)耦合得到實(shí)際控制輸入，所述實(shí)際控制輸入在滿足扇形非線性輸入條件下輸入弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)；

(4)調(diào)節(jié)控制器中Levant微分跟蹤器、一階濾波器、擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器、Chebyshev神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)，檢測(cè)跟蹤誤差e1和控制器輸出u的大??；設(shè)定一個(gè)誤差閾值，當(dāng)跟蹤誤差e1小于誤差閾值時(shí)，且輸出信號(hào)值滿足約束條件時(shí)，完成參數(shù)的調(diào)節(jié)。

在步驟(1)中，基于Euler-Bernoull梁的弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為：

式中L為細(xì)梁長(zhǎng)度，A為橫截面積，b為細(xì)梁寬度，C_v為粘性阻尼系統(tǒng)，d為細(xì)梁厚度，為楊氏模量，I_y為慣性矩，ρ為密度，Ω₀為簡(jiǎn)諧荷載頻率，ε_a0為真空電容率，V_DC為直流電壓，V_AC為交流電壓；

弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)的邊界約束條件為：

假設(shè)簡(jiǎn)諧載荷小于直流靜態(tài)載荷，通過(guò)坐標(biāo)變換，利用Galerkin分解法，根據(jù)弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程列出弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)非標(biāo)量方程：

式中系統(tǒng)變量定義為：

h＝h₀/g₀；

式中

定義狀態(tài)變量x1、x2，

x₁＝q，

考慮扇形非線性輸入特征，并將變量代入弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)非標(biāo)量方程中得：

其中N(u)表示扇形非線性輸入，其特征關(guān)系表示為式(1.6)；y表示系統(tǒng)輸出信號(hào)；s_l1＞0和s_l2＞0為斜線l₁和l₂的斜率，斜線l₁和l₂為扇形的兩個(gè)邊界，s_M＝max(s_l1,s_l2)。系統(tǒng)輸出y要求滿足一定的約束條件，輸出約束條件是|y|≤k_c1，其中，k_c1表示設(shè)定的閾值。

下面詳細(xì)介紹自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面控制器：

(一)、Chebyshev神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)

Chebyshev神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由一系列的正交多項(xiàng)式構(gòu)成，具有二項(xiàng)遞推公式：

T_i+1(X)＝2XT_i(X)-T_i-1(X),T₀(X)＝1 (1.7)

式中X∈R和T₁(X)通常定義為X，2X，2X-1或2X+1。

Chebyshev神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有在一個(gè)緊湊集上以任意小的精度誤差逼近任意非線性連續(xù)函數(shù)的能力。同多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比，Chebyshev神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有較小的計(jì)算量。Chebyshev多項(xiàng)式增強(qiáng)模式X＝[x₁,…,x_m]^T∈R^m可以定義為：

ξ(X)＝[1,T₁(x₁),…,T_n(x₁),…,T₁(x_m),…,T_n(x_m)] (1.8)

式中T_i(x_j),i＝1,…,n,j＝1,…,m表示Chebyshev多項(xiàng)式，n表示Chebyshev多項(xiàng)式的除數(shù)，ξ(X)表示Chebyshev多項(xiàng)式基函數(shù)。

由于Chebyshev神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有萬(wàn)能逼近能力，未知非線性函數(shù)f_CNN(X)可以估計(jì)：

f_CNN(X)＝θ^*Tξ(X)+δ (1.9)

式中δ表示有界的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近誤差，θ*表示最優(yōu)權(quán)值矢量，并滿足

式中Ω_θ和D_X表示緊湊集的界限θ和X。另外，對(duì)任意正定常數(shù)δ₀，|δ|≤δ₀滿足。

(二)、控制器設(shè)計(jì)

a)設(shè)計(jì)擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器

利用擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器觀測(cè)變量

式中z₀表示參考信號(hào)f_r(τ)的估計(jì)值，z_i,i＝1,…,n表示其導(dǎo)數(shù)和k_i,i＝1,…,n表示設(shè)計(jì)常數(shù)。

從前面可知，如果n等于3，設(shè)計(jì)如下擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器

觀測(cè)器誤差滿足

式中和表示x_i,i＝1，2，3的估計(jì)值。k_o、k₁、k₂為設(shè)計(jì)常數(shù)。

b)定義有界誤差變量

式中表示x₂的估計(jì)值，間接虛擬控制α_2f將在接下來(lái)的內(nèi)容中給出。

連續(xù)函數(shù)N(η)：R→R被稱(chēng)為是一個(gè)Nussbaum增益函數(shù)，具有如下特性：

Nussbaum增益函數(shù)定義為：若V(.)和η(.)在區(qū)間[0∞)是光滑函數(shù)，同時(shí)V(t)≥0，那么N(.)為光滑的Nussbaum增益函數(shù)。此時(shí)有：

式中常數(shù)c₁＞0，g(t)是非零常數(shù)，c₀表示某個(gè)合理的常數(shù)，同時(shí)V(t)，η(t)和在區(qū)間[0∞)上必定有界。

變量x₂受到物理傳感器和交叉耦合極小化的影響，通常不可測(cè)。為了解決這個(gè)問(wèn)題，利用擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器來(lái)精確估計(jì)它的值，即觀測(cè)誤差為

選擇障礙李亞譜諾夫函數(shù)

其中d_b表示理想信號(hào)的上限值，和約束關(guān)系不違反。

對(duì)V₁求導(dǎo)

式中y₂表示一階濾波誤差且等于α_2f-α₂。

基于Levant微分跟蹤器，可以替代則

其中r₁₁與r₁₂表示常量，表示設(shè)定的閾值；為L(zhǎng)evant微分跟蹤器的變量，為L(zhǎng)evant微分跟蹤器的輸出值。

結(jié)合障礙李亞譜諾夫函數(shù)及Levant微分跟蹤器，構(gòu)成虛擬控制輸入：

式中c₁表示常量；

把(1.21)代入(1.19)，則

c)在backstepping的框架中構(gòu)建自適應(yīng)控制律，根據(jù)狀態(tài)變量x₁和x₂構(gòu)建帶有自適應(yīng)控制律的Chebyshev神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其自適應(yīng)控制律的具體設(shè)計(jì)方法為：

設(shè)一階濾波器濾波時(shí)間常數(shù)為τ₂，虛擬控制輸入為α₂，可得

存在

對(duì)y₂求導(dǎo)得

式中為連續(xù)函數(shù)，

根據(jù)Young’s不等式，得到不等式：

進(jìn)而得到誤差的公式為：

其中為觀測(cè)誤差的導(dǎo)數(shù)，觀測(cè)誤差所以

f₂(·)為復(fù)雜的非線性項(xiàng)，α₂的導(dǎo)數(shù)會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)膨脹和計(jì)算負(fù)擔(dān)。由于制造誤差，環(huán)境擾動(dòng)和建模誤差的影響，系統(tǒng)參數(shù)諸如μ,h,α₁,β,ω₀,R,b₁₁是不確定的。系統(tǒng)參數(shù)擾動(dòng)會(huì)引發(fā)弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)的混沌振蕩。因此，控制設(shè)計(jì)過(guò)程中要考慮這些非線性特征和因素。鑒于Chebyshev神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有萬(wàn)能逼近特性，利用它來(lái)估計(jì)f₂(·)。即，存在

式中δ₂為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近誤差。

引入變量

式中表示λ₂的估計(jì)值；

選擇李亞譜諾夫函數(shù)

式中γ₂表示設(shè)計(jì)常數(shù)。

對(duì)V₂求導(dǎo)得

由(1.21)可知

結(jié)合公式(1.22)、(1.28)、(1.32)、(1.31)得不等式：

式中a₂表示設(shè)計(jì)常數(shù)；

實(shí)際控制律設(shè)計(jì)為：

自適應(yīng)控制律設(shè)計(jì)為

式中c₂和m₂表示設(shè)計(jì)常數(shù)；且有

存在關(guān)系把(1.34)-(1.36)代入(1.33)，得到

式中

選擇參數(shù)τ₂滿足關(guān)系利用楊氏不等式，(1.37)重寫(xiě)為

針對(duì)弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)在分布式靜電激勵(lì)下具有扇形非線性輸入，混沌振蕩，難測(cè)量狀態(tài)和狀態(tài)約束特征，融合擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器(1.21)和微分跟蹤器(1.20)到控制器中，設(shè)計(jì)帶有自適應(yīng)控制律(1.35)-(1.36)和濾波器(1.23)的自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面控制器如(1.34)所示，那么系統(tǒng)所有信號(hào)諸如e₁，保持全局一致有界，且輸出約束不被違反，跟蹤誤差快速收斂到零附近。

利用Lyapunov理論證明閉環(huán)系統(tǒng)所有閉環(huán)信號(hào)全局一致有界：

對(duì)V求導(dǎo)：

式中C₀＝min{2×c₁,2×(c₂-0.5),m₂}＞0和

對(duì)(1.39)兩邊同時(shí)乘以得到

給定對(duì)通過(guò)對(duì)(1.40)積分，得到

因此，e₁,和屬于緊湊集

由上面可知，弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)所有信號(hào)有界。特別是，有不等式

由于y(τ)＝e₁+x_d，和|x_d|≤d_b，很容易得到因此，所提控制方案保證了y滿足約束條件。

根據(jù)(1.5)描述的弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)，Chebyshev多項(xiàng)式階數(shù)為3，根據(jù)弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)非標(biāo)量方程，將Chebyshev多項(xiàng)式基函數(shù)設(shè)計(jì)如下：

雖然RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為一種逼近器可以解決動(dòng)態(tài)面系數(shù)膨脹問(wèn)題和具有以任意精度逼近非線性函數(shù)的能力，但應(yīng)用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時(shí)需要事先知道高斯基函數(shù)的中心與權(quán)值，而Chebyshev神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)僅僅只需要輸入變量信息。

調(diào)節(jié)參數(shù)c₁，c₂，k₀，k₁，k₂，r₁₁，r₁₂，γ₂，a₂和m₂保證跟蹤誤差趨于無(wú)窮小，并確保了閉環(huán)系統(tǒng)滿足一定的輸出約束條件，使自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面控制技術(shù)具有對(duì)系統(tǒng)參數(shù)擾動(dòng)的魯棒性以及混沌行為的抑制能力。

弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)如圖2所示，參數(shù)取值為α₁＝7.993，β＝119.9883，h＝0.3，R＝0.02，μ＝0.1和ω₀＝0.4706。為了求解常微分方程，采用四階龍格庫(kù)塔算法求解，同時(shí)積分時(shí)間設(shè)置為2000以上。

給定時(shí)變參考信號(hào)x_d＝0.35sin(3τ)?？刂戚敵鰸M足約束條件|y|＜k_c1＝0.39，可以得到扇形非線性輸入可以表達(dá)為N(u)＝(0.75+0.25sin(u))u，如圖7所示。根據(jù)弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面控制方法，各參數(shù)選擇如下：將一階濾波器的時(shí)間常數(shù)τ₂設(shè)置為0.01，擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器的參數(shù)選擇為k₀＝k₁＝20，k₂＝19?？刂破髟鲆媾c參數(shù)選擇為c₁＝c₂＝10，γ₂＝1，m₂＝15，a₂＝5。二階微分跟蹤器參數(shù)選擇為r₁₁＝r₁₂＝6，初始值設(shè)定為0.01。

設(shè)計(jì)二階微分跟蹤器在線估計(jì)圖9展示了和間的性能，兩條線基本重合且相對(duì)誤差小于0.05。圖10-11展示了高階擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器的優(yōu)越性能。從圖可知，擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器能夠精確估計(jì)狀態(tài)變量，同時(shí)放寬對(duì)物理傳感器的限制。盡管弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)具有扇形非線性輸入，狀態(tài)約束和混沌振蕩等特征，觀測(cè)器還是以很小的誤差精確估計(jì)狀態(tài)變量。

為了對(duì)比方便，不同參數(shù)下的性能曲線放在一張圖中。圖12展示了e1在不同參數(shù)下的跟蹤性能(也可以看出x₁的跟蹤性能)。很明顯，4種工況(即R＝0.01,0.02,0.15,0.25)的實(shí)際軌跡與參考軌跡基本吻合，且實(shí)際與理論性能曲線間的差值為±0.01。

另外，應(yīng)用障礙李亞譜夫函數(shù)后|y|＜k_c1約束條件得以保證。同圖3的相圖和圖4的時(shí)序圖對(duì)比，應(yīng)用所提方案后弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)在極短時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)狀態(tài)穩(wěn)定，同時(shí)與之相關(guān)的混沌振蕩得到徹底抑制。

由于扇形非線性輸入和控制輸入方向未知，如不采取有效措施必定會(huì)導(dǎo)致控制器失效。圖13表示不同R值的弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)Nussbaum函數(shù)曲線。盡管系統(tǒng)參數(shù)遭受到外界干擾，4條Nussbaum function曲線基本保持一致。

扇形非線性輸入存在于弧形微型機(jī)電混沌系統(tǒng)的控制輸入中。它的存在影響控制性能甚至導(dǎo)致控制器出現(xiàn)顫抖現(xiàn)象。圖14揭示了不同R值下的控制輸入。由圖可知，顫抖現(xiàn)象極大地被弱化，同時(shí)所設(shè)的控制器具有一定的魯棒性。