本發(fā)明涉及一種計算橋梁變彎矩及彎曲變形的方法，特別是一種計算移動車載作用下橋梁時變彎矩及彎曲變形的方法。

背景技術(shù)：

車載作用下橋梁的變形及振動是影響橋梁使用與安全的重要因素，特別是大跨度橋梁在移動載荷作用下的變形與振動的問題工程界尤為關(guān)注。

橋梁的彎曲變形受橋梁支座數(shù)目、通過橋梁的車載數(shù)目以及車載移動方向等的影響。經(jīng)典材料力學求解單跨梁在集中載荷作用下的彎矩及變形比較方便，一般采用積分法。而多跨橋梁屬于超靜定梁，該種梁的變形及支座約束反力的求解相對于靜定梁本身就復(fù)雜得多。即使是在位置不變的車輛載荷作用下，經(jīng)典材料力學對多跨橋梁變形的求解過程也十分復(fù)雜。首先需要根據(jù)集中力的作用點先進行分段，每一段分別寫彎矩方程，代入撓曲線近似微分方程，再對每一段梁的撓曲線近似微分方程積分兩次得到撓度方程，同時出現(xiàn)兩個積分常數(shù)。如果分成n段，就有2n個未知的積分常數(shù)，再加上未知的支座反力，需聯(lián)立梁的邊界條件及分段處的位移及力的連續(xù)性條件求解，方程數(shù)目繁多。而在移動載荷作用下的多跨橋梁，如果按經(jīng)典方法求解就更復(fù)雜，因力作用位置的時變性，分段點無法確定，再加上多余支座約束的存在，使得其內(nèi)力及變形的計算十分繁瑣，甚至無法求解。此外，對橋梁彎曲變形及彎矩的時變分析，現(xiàn)有文獻有的通過Ansys軟件進行求解，但Ansys軟件涉及范圍廣、操作較為復(fù)雜，要想熟練運用，需先花費一到數(shù)月的時間學習軟件各模塊的功能及操作。

技術(shù)實現(xiàn)要素：

本發(fā)明的目的是提供一種計算移動車載作用下橋梁時變彎矩及彎曲變形的方法，解決現(xiàn)有橋梁彎曲變形的計算方法在移動載荷作用下的多跨橋梁，按現(xiàn)有經(jīng)典方法求解復(fù)雜，甚至無法求解的問題。

本發(fā)明的目的是這樣實現(xiàn)的：計算移動車載作用下橋梁時變彎矩及彎曲變形的方法的具體步驟如下：

(1)應(yīng)用奇異廣義函數(shù)，列出橋梁在移動車載作用下的彎矩方程，該彎矩方程中每個截面的彎矩含有待定的、隨車載移動時間變化的支座約束反力；

(2)將彎矩代入梁的撓曲線近似微分方程，利用奇異廣義函數(shù)的積分法則將該微分方程積分一次得到轉(zhuǎn)角方程，再積分一次得到撓曲線方程，該轉(zhuǎn)角方程及撓曲線方程中含有待定的、隨車載移動時間變化的支座約束力及2個積分常數(shù)；

(3)根據(jù)約束條件補充方程用以求解撓曲線方程中的未知量，即列出橋梁在支座處的撓度方程及最右邊界支座的力邊界方程，得到相應(yīng)的補充方程組，該補充方程組中的待定未知量包括橋梁的支座約束反力及積分常數(shù)；

(4)借助Mathcad軟件求解補充方程，得到隨車載移動時間變化的支座約束反力及積分常數(shù)；

(5)在Mathcad中將第四步所求得的約束反力及積分常數(shù)代回到彎矩方程及撓曲線方程，所得的方程即為梁各截面關(guān)于車輛移動速度v和移動時間t的彎矩函數(shù)和撓度函數(shù)；

(6)根據(jù)撓度函數(shù)可以得到相應(yīng)車載作用下：(A)同一時刻橋梁各截面的彎矩及彎曲變形或撓度；(B)任意指定截面其彎曲變形及彎矩隨時間的變化規(guī)律；(C)不同車載移動速度及移動方向時梁各截面的彎曲變形。

所述的奇異廣義函數(shù)，為如下函數(shù)族：

其中，x為自變量，a為任意變量或常數(shù)，n為整數(shù)；

基于奇異廣義函數(shù)列出的彎矩方程如下：

其中：M(x)為橋梁x截面處的彎矩；n為橋梁的跨數(shù)、m為運行車輛的個數(shù)；

R_i為橋梁的支座反力(R₀為最左端的支座反力)，L_i為R_i到橋梁最左端的距離；P_2j-2,P_2j-1為第j個車載的重力通過兩個車輪傳遞給橋梁的壓力；b_j為第j個車輛左方車輪的作用位置到橋梁最左端的距離；a_j為第j個車的兩個車輪之間的距離；<x-L_i>¹、＜x-b_j＞¹、＜x-b_j-a_j＞¹均為奇異廣義函數(shù)。

所述的撓曲線近似微分方程為

EIy″(x)＝M(x)

其中，EI為梁的抗彎剛度，y(x)為x截面處的彎曲變形(撓度)；

對上式微分方程積分一次，得到轉(zhuǎn)角方程y′(x)及一個積分常數(shù)C₁：

EIy′(x)＝∫M(x)dx+C₁

再對上述轉(zhuǎn)角方程積分一次，得到撓曲線方程y(x)及有一個積分常數(shù)C₂：

EIy(x)＝∫[∫M(x)dx]dx+C₁x+C₂。

其中，EI為抗彎剛度，C₁、C₂為積分常數(shù)；

所述的奇異廣義函數(shù)的積分法則：

其中，x為自變量，a為任意變量或常數(shù)，n為整數(shù)；

所述的補充方程包括：橋梁在支座處的撓度方程及最右邊界支座的力邊界方程；

由于n跨橋梁有n+1個支座，對應(yīng)n+1個未知約束反力，實際上前面列出的彎矩方程中只涉及前n個未知的支座反力，再加上2個未知積分常數(shù)，故撓曲線方程中共涉及n+2個未知數(shù)；即總共需要列出n+2個補充方程才能求解所需未知數(shù)；由n+1個鉸鏈支座，可列出n+1個撓度方程，再補充最右邊支座的1個力邊界方程，即可得到由n+2個補充方程構(gòu)成的方程組；

其中：

第i個鉸鏈支座處的撓度方程形式為：i＝0,1,…n-1；

最右端支座處的彎矩M(x)|_x＝L＝0，其中L為橋長；

由撓曲線近似微分方程

M(x)＝EIy″(x)

得到

y″(L)＝0

即最右端支座的力邊界條件方程轉(zhuǎn)化為

y″(L)＝0

其中，L為橋長，y″(L)為y″(x)在x＝L處的二階導數(shù)；

聯(lián)立求解補充方程組，是利用Mathcad軟件求解方程組，得到待定未知量關(guān)于移動速度v和移動時間t的函數(shù)，待定未知量包括橋梁的支座反力及積分常數(shù)。

將待定未知量關(guān)于移動速度和時間的函數(shù)回代到彎矩方程和撓曲線方程中，根據(jù)撓度函數(shù)可以進行如下分析：(1)固定某一時刻，計算梁各截面的彎曲變形，并計較不同車載速度下的彎曲變形，可以得到某一時刻橋梁的變形場；(2)觀察分析某一固定截面的彎曲變形隨時間的變化規(guī)律，即時變規(guī)律，并比較不同車載速度下該截面的變形時變規(guī)律。

有益效果及優(yōu)點：

(1)本發(fā)明給出了一種計算移動車載作用下橋梁時變彎矩及彎曲變形的方法，計算時無需分段寫彎矩方程，使得通過積分法求解時大大減少了未知量數(shù)目；(2)根據(jù)推導出的彎矩函數(shù)及撓度函數(shù)可以得到相應(yīng)車載作用下：①同一時刻橋梁各截面的彎矩及彎曲變形(撓度)；②任意指定截面其彎曲變形及彎矩隨時間的變化規(guī)律；③不同車載移動速度及移動方向時梁各截面的彎曲變形；(3)本發(fā)明適合于不同跨度、不同車載數(shù)量、不同車載移動速度、車輛不同移動方向時橋梁時變彎曲變形及彎矩的計算。

本發(fā)明運用奇異廣義函數(shù)法求解梁的彎曲變形，可以直接列出整段梁的彎矩方程和撓度方程，無需分段寫彎矩方程，通過積分法求解，大大減少了積分常數(shù)，使得整個計算過程中的未知量顯著減少。再將方程輸入到軟件Mathcad中，通過其數(shù)值計算和圖形處理的功能模塊，可以方便快捷求解彎矩及彎曲變形，繪制任一橫截面的撓度及彎矩時變曲線、同一時刻不同截面的撓度及彎矩分布曲線，進而確定橋梁的最大變形及最大彎矩所在位置。此外，Mathcad軟件擁有直觀的“所見即所得”的類似于word的操作界面，易于學習，對操作技能沒有太高的要求，即使是剛接觸該軟件，通過幾天的學習也能很快的熟練運用，極大地提高了工作效率。

本發(fā)明給出了一種求解車載作用下橋梁時變彎矩及彎曲變形的計算方法，下面以一個三跨橋梁為例，給出了相向移動車載作用下橋梁的彎矩方程和撓曲線方程，并利用Mathcad軟件進行計算求解，快速得到不同移動速度的車載作用下橋梁的時變彎曲變形圖、彎矩分布圖，計算結(jié)果便于推廣到多個不同速度的同向車載、多個不同速度的反向車載作用的變形及內(nèi)力計算，適用于不同車載、不同車載速度、不同移動時間及不同跨度橋梁的彎曲變形及支座反力、橋梁彎矩的求解，并確定彎矩最大的危險截面及變形最大的位置。

解決了現(xiàn)有橋梁彎曲變形的計算方法在移動載荷作用下的多跨橋梁，按現(xiàn)有經(jīng)典方法求解復(fù)雜，甚至無法求解的問題。

附圖說明：

圖1是本發(fā)明的多跨橋梁示意圖結(jié)構(gòu)圖。

圖2是本發(fā)明同一時刻不同車載移動速度下橋梁各截面的彎矩分布圖。

圖3為本發(fā)明同一時刻不同車載移動速度下橋梁的撓曲線分布圖。

圖4為本發(fā)明不同車載移動速度下最大撓度的變化曲線圖。

圖5為本發(fā)明給定截面處撓度隨時間的變化曲線圖。

圖6為本發(fā)明給定的不同截面處最大撓度的變化曲線圖。

圖7為本發(fā)明正向單車載A作用下橋梁的彎矩分布圖。

圖8為本發(fā)明正向單車載A作用時不同移動速度下橋梁的撓曲線分布圖。

圖9為本發(fā)明正向單車載A作用下橋梁最大撓度的變化曲線圖。

圖10為本發(fā)明單車載A作用下橋梁在給定截面處撓度隨時間的變化曲線圖。

圖11為本發(fā)明單車載A作用下橋梁在給定截面處最大撓度的變化曲線圖。

圖12為本發(fā)明雙車載作同向正向移動圖。

圖13為本發(fā)明正向雙車載作用下橋梁的彎矩分布圖。

圖14為本發(fā)明正向雙車載作用時不同移動速度下橋梁的撓曲線分布圖。

圖15為本發(fā)明正向雙車載作用下橋梁最大撓度的變化曲線圖。

圖16為本發(fā)明正向雙車載作用下橋梁在給定截面處的時變彎曲變形圖。

圖17為本發(fā)明正向雙車載作用下橋梁給定截面處最大撓度的變化曲線圖。

圖18為本發(fā)明反向單車載作用下橋梁的彎矩分布圖。

圖19為本發(fā)明反向單車載B作用下橋梁隨速度變化的撓曲線分布場圖。

圖20為本發(fā)明反向單車載B作用下橋梁最大撓度的變化曲線圖。

圖21為本發(fā)明反向單車載作用下橋梁在給定截面處的撓度隨時間的變化曲線圖。

圖22為本發(fā)明反向單車載B作用下橋梁在給定截面處最大撓度的變化曲線圖。

圖23為本發(fā)明雙車載作同向反向移動示意圖。

圖24為本發(fā)明反向雙車載作用下橋梁的彎矩分布圖。

圖25為本發(fā)明反向雙車載作用下橋梁的撓曲線分布場圖。

圖26為本發(fā)明反向雙車載作用下橋梁最大撓度的變化曲線圖。

圖27為本發(fā)明反向雙車載作用下橋梁的撓曲線分布場圖。

圖28為本發(fā)明反向雙車載作用下橋梁最大撓度的變化曲線圖。

圖29為本發(fā)明三跨橋梁上同時作用兩個正向車載和兩個反向車載圖。

圖30為本發(fā)明多車載作用下橋梁的彎矩分布圖。

圖31為本發(fā)明多車載作用下橋梁隨速度變化的撓曲線分布場圖。

圖32為本發(fā)明多車載作用下橋梁在給定截面處撓度隨時間的變化曲線。

具體實施方式

計算移動車載作用下橋梁時變彎矩及彎曲變形的方法的具體步驟如下：

(1)應(yīng)用奇異廣義函數(shù)，列出橋梁在移動車載作用下的彎矩方程，該彎矩方程中每個截面的彎矩含有待定的、隨車載移動時間變化的支座約束反力；

(2)將彎矩代入梁的撓曲線近似微分方程，利用奇異廣義函數(shù)的積分法則將該微分方程積分一次得到轉(zhuǎn)角方程，再積分一次得到撓曲線方程，該轉(zhuǎn)角方程及撓曲線方程中含有待定的、隨車載移動時間變化的支座約束力及2個積分常數(shù)；

(3)根據(jù)約束條件補充方程用以求解撓曲線方程中的未知量，即列出橋梁在支座處的撓度方程及最右邊界支座的力邊界方程，得到相應(yīng)的補充方程組，該補充方程組中的待定未知量包括橋梁的支座約束反力及積分常數(shù)；

(4)借助Mathcad軟件求解補充方程，得到隨車載移動時間變化的支座約束反力及積分常數(shù)；

(5)在Mathcad中將第四步所求得的約束反力及積分常數(shù)代回到彎矩方程及撓曲線方程，所得的方程即為梁各截面關(guān)于車輛移動速度v和移動時間t的彎矩函數(shù)和撓度函數(shù)；

(6)根據(jù)撓度函數(shù)可以得到相應(yīng)車載作用下：(A)同一時刻橋梁各截面的彎矩及彎曲變形或撓度；(B)任意指定截面其彎曲變形及彎矩隨時間的變化規(guī)律；(C)不同車載移動速度及移動方向時梁各截面的彎曲變形。

所述的奇異廣義函數(shù)，為如下函數(shù)族：

其中，x為自變量，a為任意變量或常數(shù)，n為整數(shù)；

基于奇異廣義函數(shù)列出的彎矩方程如下：

其中：M(x)為橋梁x截面處的彎矩；n為橋梁的跨數(shù)、m為運行車輛的個數(shù)；

R_i為橋梁的支座反力(R₀為最左端的支座反力)，L_i為R_i到橋梁最左端的距離；P_2j-2,P_2j-1為第j個車載的重力通過兩個車輪傳遞給橋梁的壓力；b_j為第j個車輛左方車輪的作用位置到橋梁最左端的距離；a_j為第j個車的兩個車輪之間的距離；<x-L_i>¹、＜x-b_j＞¹、＜x-b_j-a_j＞¹均為奇異廣義函數(shù)。

所述的撓曲線近似微分方程為

EIy″(x)＝M(x)

其中，EI為梁的抗彎剛度，y(x)為x截面處的彎曲變形(撓度)；

對上式微分方程積分一次，得到轉(zhuǎn)角方程y′(x)及一個積分常數(shù)C₁：

EIy′(x)＝∫M(x)dx+C₁

再對上述轉(zhuǎn)角方程積分一次，得到撓曲線方程y(x)及有一個積分常數(shù)C₂：

EIy(x)＝∫[∫M(x)dx]dx+C₁x+C₂。

其中，EI為抗彎剛度，C₁、C₂為積分常數(shù)；

所述的奇異廣義函數(shù)的積分法則：

其中，x為自變量，a為任意變量或常數(shù)，n為整數(shù)；

所述的補充方程包括：橋梁在支座處的撓度方程及最右邊界支座的力邊界方程；

由于n跨橋梁有n+1個支座，對應(yīng)n+1個未知約束反力，實際上前面列出的彎矩方程中只涉及前n個未知的支座反力，再加上2個未知積分常數(shù)，故撓曲線方程中共涉及n+2個未知數(shù)；即總共需要列出n+2個補充方程才能求解所需未知數(shù)；由n+1個鉸鏈支座，可列出n+1個撓度方程，再補充最右邊支座的1個力邊界方程，即可得到由n+2個補充方程構(gòu)成的方程組；

其中：

第i個鉸鏈支座處的撓度方程形式為：i＝0,1,…n-1；

最右端支座處的彎矩M(x)|_x＝L＝0,其中L為橋長；

由撓曲線近似微分方程

M(x)＝EIy″(x)

得到

y″(L)＝0

即最右端支座的力邊界條件方程轉(zhuǎn)化為

y″(L)＝0。

其中，L為橋長，y″(L)為y″(x)在x＝L處的二階導數(shù)；

聯(lián)立求解補充方程組，是利用Mathcad軟件求解方程組，得到待定未知量關(guān)于移動速度v和移動時間t的函數(shù)，待定未知量包括橋梁的支座反力及積分常數(shù)。

將待定未知量關(guān)于移動速度和時間的函數(shù)回代到彎矩方程和撓曲線方程中，根據(jù)撓度函數(shù)可以進行如下分析：(1)固定某一時刻，計算梁各截面的彎曲變形，并計較不同車載速度下的彎曲變形，可以得到某一時刻橋梁的變形場；(2)觀察分析某一固定截面的彎曲變形隨時間的變化規(guī)律，即時變規(guī)律，并比較不同車載速度下該截面的變形時變規(guī)律。

實施例1：由于橋梁的時變彎曲變形受車載數(shù)量、車載移動方向等多種因素的影響，故先給出兩個車載相向移動時的簡例，由該例題可直接推廣得到單一車載分別在正向(向右)、反向(向左)方向移動時的解答，對于多個車載作用下的變形及彎矩求解，在Mathcad中只要套用單一車載作用下的解答并更換相應(yīng)的速度進行疊加即可。

以如圖1所示的兩個車載在三跨橋梁上作相向移動為例，給出了橋梁關(guān)于移動速度和移動時間的彎矩函數(shù)和撓度函數(shù)。

如圖1所示，為方便說明，將圖中4個支座從左往右依次編號為0，1，2，3，則其相對應(yīng)的支座反力分別為R₀，R₁，R₂，R₃。以”0”號支座為基準，則其余三個支座R₁，R₂，R₃到R₀的距離分別為L₁，L₂，L₃；P₀和P₁分別為A車左端車輪和右端車輪的重量，P₂和P₃為B車左端車輪和右端車輪的重量；a₁為A車前后輪之間的距離，a₂為B車前后輪之間的距離。

任意設(shè)A車的速度為v₁，B車的速度為v₂，則A、B兩車左邊車輪距左基準支座0的距離分別為b₁＝v₁t，b₂＝L₃-v₂t-a₂。

以奇異廣義函數(shù)為基礎(chǔ)，寫出在任意截面x處整體梁關(guān)于移動速度和移動時間的彎矩方程:

將彎矩方程(1)利用奇異函數(shù)積分法則進行兩次積分后，得到撓度方程：

其中，C₁和C₂為積分常數(shù)。

由支座處的撓度條件y|_x＝0＝0，可得：

C²＝0 (3)

由最右端支座的邊界條件可得：

上述五個方程(3)～(7)利用Mathcad軟件進行求解，將方程輸入到Mathcad軟件中，利用Mathcad軟件求解方程的功能模塊，求解出五個未知量C₁(x,v₁,v₂,t)，C₂(x,v₁,v₂,t)，R₀(x,v₁,v₂,t)，R₁(x,v₁,v₂,t)和R₂(x,v₁,v₂,t)，再將這五個量回代到(1)、(2)兩式，即可得到相應(yīng)的彎矩方程M(x,v₁,v₂,t)和撓度方程y(x,v₁,v₂,t)。因為各方程比較長、函數(shù)中變量較多，以上過程直接在Mathcad軟件中進行。

下面分兩種情況分析橋梁的彎曲變形：

一、同一時刻不同車載移動速度下橋梁的彎矩及彎曲變形

任取A車和B車的移動速度v₁、v₂，任意設(shè)a₁＝2.5m，a₂＝2.3m；L₁＝100m，L₂＝280m，L₃＝380m；P₀＝0.012MN，P₁＝0.018MN，P₂＝0.0108MN，P₃＝0.0072MN；橋梁的抗彎剛度EI＝1.012TN·m²。圖2為利用Mathcad軟件得到同一時刻不同車載移動速度下橋梁的彎矩分布圖，圖3為同一時刻不同車載移動速度下橋梁的撓曲線分布場。根據(jù)圖2和圖3，表1為利用Mathcad軟件可跟蹤得出橋梁的危險截面，表2為橋梁在不同移動速度下的最大撓度及相應(yīng)的截面位置。根據(jù)表2可繪制出不同移動速度下最大撓度的變化曲線圖，即圖4。由圖4可知，隨著作相向移動的車載的速度不斷增大，最大撓度呈先增后減的趨勢，當v₁＝68km/h,v₂＝69km/h時，最大撓度達到峰值為0.00260653m，所處橋梁截面位置為x＝190m。

表1不同車載移動速度下橋梁的危險截面及其最大彎矩

表2不同車載移動速度下橋梁的最大撓度及相應(yīng)的截面位置

二、橋梁給定截面處的時變彎曲變形

任意給定橋梁的不同截面x，利用Mathcad軟件得到給定截面處橋梁撓度隨時間的變化曲線，即圖5。根據(jù)圖5，利用Mathcad軟件可跟蹤得出表3所列不同截面處，橋梁的最大撓度及相應(yīng)的時刻，根據(jù)表3繪制出給定的不同截面處最大撓度的變化曲線圖，即圖6。由圖6可知，橋梁的最大撓度隨指定截面的增大呈先增后減趨勢，當x＝225m時，最大撓度達到峰值為0.00196358m，此時車載所處時刻為t＝10.71s。

表3指定截面處橋梁的最大撓度及相應(yīng)的時刻

假設(shè)，從0號支座開往3號支座為正向(向右)，3號支座開往0號支座為反向(向左)。

推廣①單一車載正向移動

假設(shè)如圖1所示的三跨橋梁上只有A車正向經(jīng)過，則此時只需在Mathcad中令上一例中的P₂、P₃取值為0即可得到單一正向車載作用下橋梁關(guān)于移動速度和移動時間的彎矩函數(shù)和撓度函數(shù)，對單車載A的移動速度、車身重量以及橋長和橋跨進行不同賦值，都可得到相應(yīng)情況下橋梁的彎曲變形圖。

(1)同一時刻不同車載移動速度下橋梁的彎矩及彎曲變形

任取A車的移動速度v₁，利用Mathcad軟件得到圖7所示的同一時刻不同車載移動速度下橋梁的彎矩分布圖，以及圖8所示的同一時刻不同移動速度下橋梁撓曲線分布圖。根據(jù)圖7和圖8，利用Mathcad軟件可跟蹤得出的表4所示橋梁的危險截面，以及表5所示不同移動速度下橋梁的最大撓度及相應(yīng)的截面位置，根據(jù)表5可繪制出圖9所示的不同移動速度下最大撓度的變化曲線圖。由圖9可知，隨著單車載A的移動速度的不斷增大，最大撓度呈先增后減的趨勢，當v₁＝68km/h時，最大撓度達到峰值為0.00162892m，所處橋梁截面位置為x＝189.62m。

表4正向單車載A作用下橋梁的危險截面及其最大彎矩

表5正向單車載A作用下橋梁的最大撓度及相應(yīng)的截面位置

(2)不同時刻下橋梁給定截面處的時變彎曲變形

任意給定單車載A作用下橋梁的不同截面x，利用Mathcad軟件得到的圖10所示給定截面處橋梁撓度隨時間的變化曲線。根據(jù)圖10，利用Mathcad軟件可跟蹤得出不同截面處，表6所示橋梁的最大撓度及相應(yīng)的時刻，根據(jù)表6可繪制出圖11所示給定截面處最大撓度的變化曲線圖。由圖11可知，橋梁的最大撓度隨指定截面的增大呈先增后減趨勢，當x＝225m時，最大撓度達到峰值為0.00125893m，此時車載所處時刻為t＝11.172s。

表6單車載A作用下橋梁在給定截面處的最大撓度及相應(yīng)的時刻

推廣②同向兩個不同移動速度的車載

假設(shè)如圖1所示的三跨橋梁上有A₁和A₂兩車同向正向通過，如圖12所示雙車載作同向正向移動圖，則此時只需將推廣①中的A分別替換為A₁和A₂，P₀替換為P₀₁、P₀₂，P₁替換為P₁₁、P₁₂，a₁替換為a₁₁、a₁₂，v₁替換為v₁₁、v₁₂，即可得到單車載A₁作用下和單車載A₂作用下的橋梁關(guān)于移動速度和移動時間的彎矩函數(shù)和撓度函數(shù)，再將兩者進行疊加即可得到A₁和A₂同時通過橋梁時的彎矩函數(shù)和撓度函數(shù)。

任意設(shè)a₁₁＝2.5m，a₁₂＝2.3m；L₁＝100m，L₂＝280m，L₃＝380m；P₀₁＝0.012MN，P₁₁＝0.018MN，P₀₂＝0.0072MN，P₁₂＝0.0108MN；橋梁的抗彎剛度EI＝1.012TN·m²。

(1)同一時刻不同速度下橋梁在同向雙車載作用下的彎矩及彎曲變形

任取A₁和A₂兩車的移動速度v₁₁、v₁₂，利用Mathcad軟件得到圖13所示同一時刻下不同移動速度大橋梁的彎矩分布圖，以及圖14所示橋梁隨速度變化的撓曲線分布場圖。根據(jù)圖13和圖14，利用Mathcad軟件可跟蹤得出表7所示橋梁的危險截面及表8所示同一時刻不同移動速度下橋梁的最大撓度及相應(yīng)的截面位置，根據(jù)表8可繪制出不同移動速度下最大撓度的變化曲線圖，即圖15。由圖15可知，隨著兩同向移動的車載的移動速度的不斷增大，最大撓度呈先增后減的趨勢，當v₁＝68km/h,v₂＝69km/h時，最大撓度達到峰值0.00260449m，所處橋梁截面位置為x＝190.76m。

表7正向雙車載作用下橋梁的危險截面及其最大彎矩

表8正向雙車載作用下橋梁的最大撓度及相應(yīng)的截面位置

(2)正向雙車載作用下橋梁給定截面處的時變彎曲變形

任意給定雙車載作用下橋梁的不同截面x，利用Mathcad軟件得到圖16所示給定截面處橋梁撓度隨時間的變化曲線。根據(jù)圖16，利用Mathcad軟件可跟蹤得出不同截面處，表9所示橋梁的最大撓度及相應(yīng)的時刻，根據(jù)表9可繪制出給定截面處最大撓度的變化曲線圖，即圖17。由圖17可知，正向雙車載作用下橋梁的最大撓度隨指定截面的增大大致呈先增后減趨勢，當x＝225m時，最大撓度達到峰值為0.00199744m，此時車載所處時刻為t＝12s。

表9正向雙車載作用下橋梁在給定截面處的最大撓度及相應(yīng)的時刻

推廣①和推廣②分別討論了三跨橋梁在單一車載和雙同向車載作用下的時變彎曲變形，可將上述方法推廣到一般情況:若n跨橋梁上同時作用了m個正向移動的車載A_j，車載移動速度為v_1j，車載后輪重量為P_0j，車載前輪重量為P_1j，車載前后輪間距為a_1j，每個支座到基準支座的距離為L_i，梁的全長為L_n，支座反力為R_i，其中i＝0,2，···n-1，j＝1,2，···，m。根據(jù)疊加原理，可得全梁的彎矩方程和撓度方程分別為：

推廣③單一車載反向移動

假設(shè)如圖1所示的三跨橋梁上只有B車反向經(jīng)過，則此時只需在Mathcad中令P₀、P₁取值為0，即可得到單一反向車載B作用下橋梁關(guān)于移動速度和移動時間的彎矩函數(shù)和撓度函數(shù)，對單車載B的移動速度、車身重量以及橋長和橋跨進行不同賦值，都可得到相應(yīng)情況下橋梁的彎曲變形圖。

(1)同一時刻不同移動速度下橋梁在單一反向移動車載作用下的彎矩及彎曲變形

任取B車的移動速度v₂，利用Mathcad軟件得到圖18所示同一時刻不同車載移動速度下橋梁的彎矩分布圖，以及圖19所示橋梁隨速度變化的撓曲線分布場圖。根據(jù)圖18和圖19，利用Mathcad軟件可跟蹤得出表10所示單一反向車載作用下橋梁的危險截面，以及不同移動速度下表11所示橋梁的最大撓度及相應(yīng)的截面位置，根據(jù)表11可繪制出圖20所示不同移動速度下最大撓度的變化曲線圖。由圖20可知，隨著反向單車載B的移動速度的不斷增大，最大撓度呈先增后減的趨勢，當v₂＝69km/h時，最大撓度達到峰值為0.000977497m，所處橋梁截面位置為x＝190m。

表10反向單車載作用下橋梁的危險截面及其最大彎矩

表11反向單車載B作用下橋梁的最大撓度及相應(yīng)的截面位置

(2)不同時刻下橋梁給定截面處的時變彎曲變形

任意給定反向單車載B作用下橋梁的不同截面x，利用Mathcad軟件得到圖21所示給定截面處橋梁撓度隨時間的變化曲線圖。根據(jù)圖21，利用Mathcad軟件可跟蹤得出不同截面處，表12所示橋梁的最大撓度及相應(yīng)的時刻，根據(jù)表12可繪制出圖22所示給定截面處最大撓度的變化曲線圖。由圖22可知，橋梁的最大撓度隨指定截面的增大大致呈先增后減趨勢，當x＝225m時，最大撓度達到峰值為0.000755392m，此時車載所處時刻為t＝9.849s。

表12反向單車載B作用下橋梁在給定截面處的最大撓度及相應(yīng)的時刻

推廣④反向兩個不同速度的車載

假設(shè)如圖1所示的三跨橋梁上有B₁和B₂兩車同向通過(反向)，即圖23雙車載作同向反向移動圖，則此時只需將推廣③中的B分別替換為B₁和B₂，P₂替換為P₂₁、P₂₂，P₃替換為P₃₁、P₃₂，a₂替換為a₂₁、a₂₂，v₂替換為v₂₁、v₂₂，即可得到單車載B₁作用下和單車載B₂作用下的橋梁關(guān)于移動速度和移動時間的彎矩函數(shù)和撓度函數(shù)，再將兩者進行疊加即可得到B₁和B₂同時通過橋梁時的彎矩函數(shù)和撓度函數(shù)。

任意設(shè)a₂₁＝2.3m，a₂₂＝2.5m；L₁＝100m，L₂＝280m，L₃＝380m；P₂₁＝0.0108MN，P₃₁＝0.0072MN，P₂₂＝0.018MN，P₃₂＝0.012MN；橋梁的抗彎剛度EI＝1.012TN·m²。

(1)同一時刻不同速度下橋梁在反向雙車載作用下的彎矩及彎曲變形

任取B₁和B₂兩車的移動速度v₂₁、v₂₂，利用Mathcad軟件得到圖24所示同一時刻不同移動速度下橋梁的彎矩分布圖，以及圖25所示橋梁隨速度變化的撓曲線分布場。根據(jù)圖24和圖25，利用Mathcad軟件可跟蹤得出表13所示橋梁的危險截面及表14所示同一時刻不同移動速度下橋梁的最大撓度及相應(yīng)的截面位置，根據(jù)表14可繪制出圖26所示不同移動速度下最大撓度的變化曲線圖。由圖26可知，隨著兩同向移動的車載的移動速度的不斷增大，最大撓度呈先增后減的趨勢，當v₂₁＝68km/h,v₂₂＝69km/h時，最大撓度達到峰值0.00260516m，所處橋梁截面位置為x＝190.38m。

表13反向雙車載作用下橋梁危險截面及其最大彎矩

表14反向雙車載作用下橋梁的最大撓度及相應(yīng)的截面位置

(2)反向雙車載作用下橋梁在給定截面處的時變彎曲變形

任意給定反向雙車載作用下橋梁的不同截面x，利用Mathcad軟件得到圖27所示給定截面處橋梁撓度隨時間的變化曲線。根據(jù)圖27，利用Mathcad軟件可跟蹤得出不同截面處，表15所示橋梁的最大撓度及相應(yīng)的時刻，根據(jù)表15可繪制出圖28所示給定截面處最大撓度的變化曲線圖。由圖28可知，反向雙車載作用下橋梁的最大撓度隨指定截面的增大大致呈先增后減趨勢，當x＝225m時，最大撓度達到峰值為0.0020011m，此時車載所處時刻為t＝10.78s。

表15反向雙車載作用下橋梁在給定截面處的最大撓度及相應(yīng)時刻

推廣③和推廣④分別討論了三跨橋梁在單一車載和雙同向車載作用下的時變彎曲變形(車載反向經(jīng)過)，可將上述方法推廣到一般情況:若n跨橋梁上同時作用了k個反向移動的車載B_q，車載移動速度為v_2q，車載后輪重量為P_2q，車載前輪重量為P_3q，車載前后輪間距為a_2q，每個支座到基準支座的距離為L_i，梁的全長為L_n，支座反力為R_i，其中i＝0,2，···n-1，q＝1,2，···，k。根據(jù)疊加原理，可得全梁的彎矩方程和撓度方程分別為：

推廣⑤：兩個正向移動的車載和兩個反向移動的車載

若圖29所示三跨橋梁上同時作用了兩個正向移動的車載和兩個反向移動的車載，則此時只需將推廣②和推廣④進行疊加，即可得到此時三跨橋梁關(guān)于移動速度和移動時間的彎矩函數(shù)和撓度函數(shù)。

(1)同一時刻不同移動速度下橋梁在多車載作用下的彎矩及彎曲變形

任取A₁、A₂、B₁、B₂四車的移動速度v₁₁,v₁₂,v₂₁,v₂₂，利用Mathcad軟件得到圖30所示同一時刻下橋梁的彎矩分布，以及圖31所示橋梁隨速度變化的撓曲線分布場。根據(jù)圖30和圖31，利用Mathcad軟件可跟蹤得出表16所示橋梁的危險截面，及表17所示不同移動速度下橋梁的最大撓度和相應(yīng)的截面位置，由表17可知，當v₁₁＝68km/h，v₁₂＝69km/h，v₂₁＝54km/h，v₂₂＝58km/h時，最大撓度達到峰值為0.0044728m，所處橋梁截面位置為x＝195m。

表16多車載作用下橋梁的危險截面及其最大彎矩

表17多車載作用下橋梁的最大撓度及相應(yīng)截面位置

(2)多車載作用下橋梁在給定截面處的時變彎曲變形

任意給出多車載作用下橋梁的不同截面x，利用Mathcad軟件得到圖32所示給定截面處橋梁撓度隨時間的變化曲線。根據(jù)圖32，利用Mathcad軟件可跟蹤得出不同截面處，表17所示橋梁的最大撓度及相應(yīng)的時刻，根據(jù)表17可知，當x＝225m時，最大撓度達到峰值為0.00387534m，此時車載所處時刻為t＝11.638s。

表17多車載作用下橋梁在給定截面處的最大撓度及相應(yīng)時刻

推廣⑥：多個同向及多個反向的不同速度的移動車載

基于以上結(jié)論，推廣到一般形式：若n跨橋梁上同時作用了m個正向移動的車載A_j和k個反向移動的車載B_q。其中，正向移動的車載的移動速度為v_1j，車載后輪重量為P_0j，車載前輪重量為P_1j，車載前后輪間距為a_1j；反向移動的車載的移動速度為v_2q，車載后輪重量為P_2q，車載前輪重量為P_3q，車載前后輪間距為a_2q；每個支座到基準支座的距離為L_i，梁的全長為L_n，支座反力為R_i，其中i＝0,2，···n-1，j＝1,2，···，m，q＝1,2,···,k。

根據(jù)疊加原理，可利用前面單一正向移動車載作用下的解答，在Mathcad中直接更改速度得到各不同速度下的單一正向車載下的解答，再疊加得到多個不同速度正向移動車載作用下的解答；同理，可利用前面單一反向移動車載作用下的解答，在Mathcad中直接更改速度得到各不同速度下的單一反向車載下的解答，再疊加得到多個不同速度反向移動車載作用下的解答；最后疊加得到上述多個正向及反向移動車載作用下的解答。