歸是在程序的步驟中的一者涉及調(diào)用所述程序自身時程序所經(jīng)過 的過程。經(jīng)過遞歸的程序被稱為"遞歸的"。
[0053]在信號處理中，窗函數(shù)(也稱為切趾函數(shù)或漸變函數(shù))是零值超出某一所選區(qū)間的 數(shù)學(xué)函數(shù)。舉例來說，在所述區(qū)間內(nèi)部為常數(shù)且在別處為零的函數(shù)被稱作矩形窗口，這描述 了其圖形表示的形狀。在另一函數(shù)或波形/數(shù)據(jù)序列乘以窗函數(shù)時，乘積也是超出所述區(qū)間 的零值:在左部的是其重疊的部分，即"穿過所述窗口的視野"。窗函數(shù)的應(yīng)用包含頻譜分 析、濾波器設(shè)計和波束成形。在典型的應(yīng)用中，使用的窗函數(shù)是非負平滑"鐘形"曲線，但可 使用矩形、三角形和其它函數(shù)。窗函數(shù)的更一般定義并不需要其相同地為超出區(qū)間的零，只 要所述窗口乘以其變量參數(shù)的乘積是平方可積的即可，并且，更具體地說，所述函數(shù)足夠快 速地朝零變化。在待轉(zhuǎn)換的數(shù)據(jù)集的長度大于提供所要頻率解析度所必需時，慣例是將其 細分成較小集合并個別地使其開窗。為了減輕所述窗口邊緣處的"損失"，個別集合可適時 重疊。
[0054] 如果X是線性矢量XeRn并且是所獲得樣本的矢量，那么
[0055] y=Ax (1)
[0056] 在AeRmxn為取樣(感測)矩陣的情況下，本發(fā)明提出方法和裝置以在m〈〈n時恢復(fù)X。 用方程式（1)標(biāo)示的系統(tǒng)是欠定的線性系統(tǒng)。根據(jù)壓縮感測，主要結(jié)果是如果X是k稀疏并且 k〈Cm/log(n/k)，那么對于此未確定的線性系統(tǒng)的解是可能的。
[0057] 應(yīng)求解下文所述的問題PQ以便找出產(chǎn)生測量值y的最稀疏矢量X。此問題是非確定 性多項式時間困難問題或NP困難問題，這需要搜索A的列的所有子集。從本領(lǐng)域所知，如果 存在多項式時間對于Η圖靈可約的NP完整問題L(即，L < TH)并且僅當(dāng)存在所述問題L時，問 題Η是ΝΡ困難問題。換句話說，可在多項式時間中通過具有用于Η之預(yù)言的預(yù)言機(oracle machine)來求解 L。
[0058] 問題Po被陳述為
[0059] 求| |x| |〇主項的最小值A(chǔ)x = y
[0060] 由于問題P〇-般為NP困難問題，所以此問題必須通過易控制方法"近似"。兩個連 續(xù)凸函數(shù)最佳化問題用于根據(jù)線性測量值恢復(fù)稀疏矢量。
[0061]第一最佳化問題被稱作"基追蹤(Basis Pursuit)"，其中求解問題Ρο等效于求解li 最小化問題BP:
[0062] 求| |χ| |ι主項的最小值A(chǔ)x = y
[0063] 對于所有k稀疏矢量X，如果A滿足受限等距性質(zhì)(RIP)，其中&^ S ^ ，那么前述 問題等效于Ρο。最佳化問題(BP)被稱作基追蹤。由于(BP)可作為線性程序重算，因此求解 (ΒΡ)與求解一般對于大型個例難處理的問題(Ρο)對比在計算上更高效，例如，經(jīng)由內(nèi)點法。
[0064] 最佳化問題被稱作最小絕對值選擇與收縮率算子(Least Absolute Selection and Shrinkage 0perator;LASS0)。在噪聲的存在下，測量模型y=Ax變成：
[0065] y=Ax+w； (2)
[0066] 其中表示加性測量噪聲。
[0067] 在此設(shè)定中，可應(yīng)用如下的基追蹤的變體，即基追蹤去噪(BTON)，在統(tǒng)計文獻中最 好被稱為LASS0:
[0068] 求| |x| 主項的最小值(3)
[0069 ] 其中適當(dāng)?shù)剡x擇彥s iT來解釋測量中的加性噪聲。
[0070] 如此項技術(shù)中已知，通過對偶性，所述問題可與不受限制的最佳化問題等效地提 出：
[0071 ]求最小值||也-少'|: +2.K (4)
[0072] 其中λ是控制稀疏性和重建構(gòu)誤差之間的平衡點的正則化參數(shù)。
[0073] 對產(chǎn)生用于對流式傳輸數(shù)據(jù)執(zhí)行壓縮感測的遞歸方案有用的定理是關(guān)于LASSO的 誤差的定理，其陳述如果A滿足受限等距性質(zhì)(RIP)，其中那么方程式(3)的解 X*遵守公式：
[0074]
(5)
[0075] 其中·|χ-/Α指不模型錯配并且CpCr指不噪聲。Co和Ci是常數(shù)，其中Xk是矢 量X，其中除了最大k分量的所有分量設(shè)定為0。換句話說，處是通過將X的許多k元素保持為 具有最高量值而獲得的矢量。
[0076] 具體地說，如果X是k稀疏并且化玄為-1，那么||尤-尤||2 S Ci ·沒。
[0077]所述定理陳述重建構(gòu)誤差具有由以下兩個項定界的上限：第一個是歸因于模型錯 配的誤差，并且第二個是與測量噪聲方差的比例。
[0078]關(guān)鍵是如果m2 Cklog(n/k)，那么通過從取樣自單位球面的隨機矢量獲得的矩陣、 隨機高斯矩陣和隨機Bernoulli矩陣以高概率符合對等距常數(shù)的假設(shè) [0079]其中C是取決于每一個例的常數(shù)。
[0080] 在本領(lǐng)域中，展示了 LASSO的誤差可用于近理想支集檢測。為了陳述近理想支集檢 測的結(jié)果特性，定義一般k稀疏模型。
[0081] 如果XeRn指示k稀疏信號并且lx:=supp(x)是其支集集合，那么在以下情況下信 號X據(jù)稱是由一般k稀疏模型產(chǎn)生的：
[0082] 隨機均一地選擇1的支集/^{1，2,,....，_?:|,并且|1」=1^，及
[0083]取決于Ix，非零符號同樣很可能是-1和1。
[0084] 可如下檢測k稀疏信號的支集集合：
[0085] 假設(shè)常數(shù)cl的μ(Α) <C1/log n>0,那么X由一般k稀疏模型和用于常數(shù)c2的
生。
[0086] 如果對于lx: =supp(x)，
[0087] minj.^| > SaJ2\ogn
[0088] 那么通過選擇測量值的/1 = 4〇-^/2k)g/7獲得LASSO估計值，其中
[0089] w ~Ν(0，σ2Ι)
[0090] 遵從：
[0091 ] supp(i)=siipp(x)
[0092] ) = sgn(Xi>其中ielx
[0093] 具有至少
的概率。
[0094] 對于具有以卜兀索的取樣矩陣
[0095] Ai，j~N(0，1/m)
[0096] 算子范數(shù)是μ|卜·^，
[0097]因此所述定理中的稀疏性條件變成k < cim/logn。
[0098]為了滿足此不等式，m的值需要為m = (/ik logn。
[0099]此外，對于隨機高斯矩陣
[0100] /Φ4)~X如果m>0(log3n)，那么滿足對相干性的條件。
[0101] 組合所述界限，需要m為
[0102] m>min{0(k logn) ,0(log3n)} 〇
[0103] 正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit;0MP)是針對根據(jù)無噪聲測量值恢 復(fù)稀疏矢量X的貪婪算法y=Ax。所述算法通過迭代地選擇通過投影到已選列的線性跨段而 最小化近似y的殘余誤差的列來輸出A的列子集。展示了如果測量矩陣A的互相干滿足 M/0 < ，那么0ΜΡ根據(jù)無噪聲測量恢復(fù)k稀疏信號。
[0104] 存在針對LASS0開發(fā)的算法，其是由用于非平滑連續(xù)凸函數(shù)最佳化的接近算法所 啟發(fā)的：ISTA是接近梯度法，F(xiàn)ISTA是加速接近梯度法，并且SALSA是乘法器的替代引導(dǎo)方法 的應(yīng)用。
[0105] 由于誤差定義為G(xt)-G(x*)，其中G(x)是方程式⑷中的LASS0的目標(biāo)函數(shù)并且X* = arg minG(x)，所以誤差隨ISTA的l/t、FISTA的Ι/t2和SALSA的Ι/t2衰減，其中t是迭代數(shù) 目。本領(lǐng)域中還已知用于非平滑連續(xù)凸函數(shù)最佳化的牛頓型方法，其中收斂速率不比l = t2 更差但是是局部二次的。
[0106] 所關(guān)注的信號是無限序列{xjpiu,...，如在處理流式傳輸數(shù)據(jù)時的情況一樣。對 于此類所關(guān)注的信號，從流式傳輸信號獲取的第i窗口定義為
[0107] x(l) ： = [xiXi+l . . .Xi+n-l]T〇
[0108] 如果x(1)已知為稀疏的，那么以上調(diào)查工具適用于恢復(fù)每一窗口中的信號部分，因 此適用于恢復(fù)數(shù)據(jù)流。然而，涉及的操作成本高，并且高效聯(lián)機實施不確定。
[0109]因此，根據(jù)本發(fā)明，提出一種有效地取樣及恢復(fù)流式傳輸數(shù)據(jù)的方法。此方法是遞 歸壓縮感測方法，并且下文將詳細地描述所述方法。如將在本文檔中進一步詳細展示，本發(fā) 明的所述方法在取樣和估計部分中展現(xiàn)低復(fù)雜度，這使得其算法適合于高效聯(lián)機實施。
[0110] 其中指示{Xl}為無限序列{Xlh=(U,...，并且x(1)eR n(長度η的第i窗口）。
[0111] 具有R輸入的動態(tài)模型表示為
[0112]
(6)
[0113]本發(fā)明的所述方法允許使用以下形式的逐次測量y(1)提供估計值ft}的穩(wěn)固低復(fù) 雜度滑窗算法的設(shè)計
[0114] y ⑴=A⑴X⑴(7)
[0115] 其中{A(1)}是測量值矩陣序列。如果{^}在每一窗口中足夠稀疏（即如果對于每一 i，| |x(1)| |o《k，其中k〈〈n)或如果以足夠高的概率遵守此條件，那么穩(wěn)固低復(fù)雜度滑窗算 法的設(shè)計是可能的。
[0116] 如果A(1)滿足限制等距性質(zhì)，其中名^、/$-1，那么之前在本文檔中回顧的方法可 漸近地應(yīng)用于估計值{x(1)}。運行所述算法聯(lián)機是成本高的并因此期望設(shè)計在最好的情況 下可合格地作為專用的對此類方法的替代。
[0117] 根據(jù)本發(fā)明，利用逐次窗口之間的信號重疊，其由如下的遞歸取樣(編碼步驟)和 遞歸估計(解碼步驟)組成：
[0118] 關(guān)于遞歸取樣步驟:為了避免每一 y(i)的矩陣相乘，A(i)經(jīng)設(shè)計使得y(i)可在計 算y (i+1)中以最小計算開銷進行再使用：
[0119] = ，Xi+n，Xi) 〇
[0120] 關(guān)于遞歸估計步驟:為了加速迭代優(yōu)化方案的收斂，使用對應(yīng)于先前窗口的估計 值戶4 ,以推導(dǎo)出i?的估計程序的起始點??:
[0121]
6
[0122] 在下文中，將更詳細描述遞歸取樣步驟和遞歸估計步驟。
[0123] 關(guān)于遞歸取樣步驟，提出具有最小計算開銷特征的遞歸取樣方案。在第一迭代中， =〇，不存在先前估計值，因此所計算的是
[0124] y(0)=A(0)x(0)。
[0125] 遞歸地感測矩陣A(i)的序列經(jīng)選擇為：
[0126]
(8)
[0127] 其中of為A(i)的第1列并且P為置換矩陣：
[0128]
[0129]以下輔助定理確保此編碼方案的成功:如果A(())滿足給定k與常數(shù)的限制性等距 性質(zhì)，那么在上文的方程式(8)中定義的A(1)也滿足同一 的限制性等距性質(zhì)。
[0130]其遵循方程式(SMG^A^P1，并且通過重排A(())的列來獲得A(1)。按照定義，限制 性等距性質(zhì)僅取決于I |x| |〇,并且對于X的項的置換(等效地A(())的列的置換)不敏感。
[0131]假定A(1)的特定遞歸選擇y(1+1)計算如下：
[0132]
[0133] 在所關(guān)注的信號包括噪聲時，所述有噪聲的測量標(biāo)注為
[0134] y⑴=13(0+?^1)其中t/1)二八⑴叉⑴
[0135] 因此，
[0136] hii+l) = A{t+l)xu+i) ^bin+(xi+tl -x,)ay}
[0137] 通過將b(1+1)的值代入用于y(1+1)的方程式中，獲得：
[0138] =b^+n^ =bU)+{xi+n -x^ + H-(,+I) =.y<0 +(xIH, -x,)a；;) +h*<,+1) -w(f)
[0139] 通過定義2(1\=，、(1- 1\如果{?(〇}是獨立遞增過程，那么2(1嘀2( 1+1嗔獨立 的。
[0140] 在方程式(8)中給定的取樣矩陣...的特定選擇滿足