以下條件
[0141] A⑴X⑴=八(0中\(zhòng)⑴
[0142] 通過將v(1)定義為v(1):=P(1)x(1)，遞歸取樣可被看作通過使用同一測量矩陣A (q)來 編碼v(1)。具有在方程式(6)中給定的x (1)的特定結(jié)構(gòu)，除 <丨外，v(1)和的所有項(xiàng)相等。
[0143 ]對于所關(guān)注的信號(hào)的遞歸估計(jì)，通過利用估計(jì)值浐> =[<>..]找到用于 …竹"叫的估計(jì)值。
[0144] 在迭代算法中，收斂速度取決于起始點(diǎn)到最優(yōu)解的距離。為了實(shí)現(xiàn)加速收斂，利用 窗口之間的重疊并且使用以下開始點(diǎn)：
[0145]
[0146] 其中j = 2,…，n-1的是基于先前窗口的最優(yōu)解的部分。此在優(yōu)化文獻(xiàn)中被稱 作'熱啟動(dòng)(warm start)'。通過如此選擇起始點(diǎn)，降低用于收斂的迭代的預(yù)期數(shù)目。將在本 文檔的稍后部分中實(shí)際上表明此情況，其中具體討論定量結(jié)果。
[0147] 在下文中，論述在給定標(biāo)準(zhǔn)正交基中的所關(guān)注的稀疏信號(hào)。
[0148] 到目前為止在本文檔中針對給定nez+隱含地假設(shè)從序列{Xl}獲得的長度η的窗口 X⑴滿足稀疏性約束I Ix(i) I Ik，V"一般來說，情況可為x(i)自身并不稀疏，但可在適當(dāng)選 擇的基中稀疏地表示。
[0149] X⑴ERn由于X⑴=Φαω而在給定標(biāo)準(zhǔn)正交基Φ中可稀疏地表示，其中a(i)是稀疏 的。
[0150] 假設(shè)用于具有大小η的窗口上的整個(gè)序列出}的共同基，獲得：
[0151] y⑴=?、臱⑴=?、纽咋立拧?br>[0152] 對于要進(jìn)行的壓縮感測估計(jì)，Α(1)Φ需要滿足受限等距性質(zhì)。對于隨機(jī)矩陣Α(1)和 任何固定矩陣的乘積，以高概率滿足受限等距性質(zhì)。在此情況下，在稀疏性基α (1)中恢復(fù)信 號(hào)的LASSO問題表達(dá)為：
[0153] 求
的最小值
[0154] 其中通過χ(1) = Φα(1)給定輸入信號(hào)。
[0155] 需求解的問題是如何基于α(1)找到用于α(1+1)的遞歸更新以具有用于在遞歸估計(jì)中 的加速收斂的良好初始估計(jì)值，如Ε[α (1+1)|α(1)]。
[0156] 使用方程式(6)獲得：
[0157]
[0158] 其中0^是將所有元素設(shè)定為0的具有長度n-1的矢量。
[0159] 因?yàn)棣?υ = Φαω，獲得：
[0160] 二 W 二[.1 | .0,,.丨]Φβ'1)和
[0161] Λ:丨=!二[0"丨 11]Φ.α )。[0162] 在先前方程式中使兩側(cè)乘以Ψ = Φ '其遵循：
[0163] (11)
[0164] 其中Π :=ΡΤ是在方程式(9)中給定的置換矩陣，并且
[0165] 和分別是標(biāo)準(zhǔn)正交基Φ的第一行和最后一行。
[0166] 由于可針對所述基推導(dǎo)出高效的更新規(guī)則，傅立葉基對于Φ備受關(guān)注。用于傅立 葉基的遞歸取樣如下：
[0167] 如果Φ是具有以下項(xiàng)的ηΧη反向離散傅立葉變換（IDFT)矩陣
[0168] φ. . =〇/'
[0169] 其中/f，在此情況下：
[0170]
(丨，）
[0171 ] 其中Ωη是ηΧη對角矩陣，其中（Qn)i,i= ω-(1-υ，并且Ψ = Φ-1是所述標(biāo)準(zhǔn)正交傅 立葉基。
[0172] 在此特定情況下，方程式（11)簡化成方程式（12)，這是因?yàn)闀r(shí)域的環(huán)形移位對應(yīng) 于傅立葉域中的與復(fù)指數(shù)的相乘，如Ψ Π =ΩηΨ和ΨΦ = Ι。
[0173] 從上文可見，盡管一般來說基于α(1)計(jì)算α(1+1)的計(jì)算的數(shù)目是0(η2)，但對于傅立 葉基，其是〇(η)，這是因?yàn)槌艘驭?(1)的矩陣是對角矩陣。
[0174] 如先前展示，在噪聲的存在下，在迭代LASSO求解器中將Ε[α(1+1)|α(1)]的估計(jì)值用 作起始點(diǎn)以用于熱啟動(dòng)，以便實(shí)現(xiàn)加速收斂。
[0175] 改良誤差方差的一種方式是通過對從逐次窗口獲得的估計(jì)值求平均值。使用估計(jì) 值滬〕，平均估計(jì)值果經(jīng)定義用于流式傳輸信號(hào)的第i項(xiàng)，即 Xl，如：
[0176]
(13)
[0177] 其中對i 2 n-1的η個(gè)許多估計(jì)值和i〈n-l的i+Ι個(gè)許多估計(jì)值求平均值。
[0178] 為簡單性而考慮到i 2 n-1，進(jìn)一步獲得：
[0179]
[0180]其中（a)由應(yīng)用于X2的Jensen不等式推斷。所述不等式暗示重建構(gòu)誤差僅可通過 對估計(jì)值求平均值來降低。
[0181] 在下文中，通過擴(kuò)展方程式和使用下式來分析預(yù)期重建構(gòu)誤差的12范數(shù)
[0182] /V?.，其中 J·計(jì)。
[0183] 為了計(jì)數(shù)便利性，考慮i2n-l的情況，i〈n_l的情況是相似的。
[0184]
[0185] 所得等式是估計(jì)器的所謂的偏差方差分解?？梢婋S著窗口長度增加，第二項(xiàng)接近 零并且重建構(gòu)誤差漸近地收斂成LASSO的偏差的平方。
[0186] 在下文中，將討論根據(jù)本發(fā)明提出的算法。
[0187] -般來說，最小絕對選擇與收縮率算子(LASSO)在其映時(shí)產(chǎn)生計(jì)數(shù)偏置估 計(jì)器，其中η。如果通過對LASSO估計(jì)值直接求平均值來利用窗口之間的重疊，那么重建 構(gòu)誤差歸因于偏差而并不達(dá)到零。另一方面，最小二乘估計(jì)(LSE)是用于超定系統(tǒng)的未偏置 估計(jì)器;如上在本文檔中所述，LASSO可用于估計(jì)信號(hào)的支集集合，LSE可隨后應(yīng)用與所述集 合?；谶@些觀察，提出用于恢復(fù)取樣信號(hào)以降低估計(jì)誤差的兩步估計(jì)程序。首先獲得 LASSO估計(jì)值，其接著用作到去偏算法的輸入。為了去偏，對LASSO估計(jì)值的支集集合執(zhí) 行LSE以獲得P'1，其在| |χ(1)| Ιο^ιι并且正確識(shí)別支集時(shí)給出信號(hào)的實(shí)際非零的未偏置估計(jì) 器。隨后，對在逐次窗口上獲得的去偏估計(jì)值求平均值。方法的框圖和算法的偽碼可分別見 于附圖和下文的算法1中。
[0188] 算法1遞歸壓縮感測：
[0189] 輸入:A(0)ERmxn，{x}，2〇
[0190] 輸出:估計(jì)值俁}
[0191] l支衆(zhòng):選擇計(jì)數(shù)：Μ-{〇}，信號(hào)估計(jì)值：Μ-·{〇} 2..其屮 i=0, 1，2,...
3. 4. 5. ： 6. 7. 8. 的 LSE 9. 計(jì)值，其中零交叉算子分別標(biāo)示逐元素 相乘和相除 10. A(i) Α(-Ψ ?>用于遞歸取樣 11. 結(jié)束。
[0192] 根據(jù)本發(fā)明的一個(gè)實(shí)施例的用于感測流式傳輸數(shù)據(jù)的方法的框圖表示在圖1中。 根據(jù)此實(shí)施例的方法包括使用重疊開窗步驟來遞歸地取樣輸入數(shù)據(jù)流以獲得至少一個(gè)先 前測量值和將所述先前測量值用于獲得后續(xù)測量值的步驟。更精確地，所述方法包括遞歸 取樣輸入數(shù)據(jù)流的步驟102。經(jīng)由遞歸估計(jì)步驟104處理在遞歸取樣步驟102期間取樣的數(shù) 據(jù)。還在遞歸估計(jì)步驟104期間輸入在遞歸取樣之前的先前估計(jì)值獲得步驟116期間獲得的 關(guān)于先前估計(jì)值的信息。如上文結(jié)合遞歸取樣算法的步驟6所描述，在支集檢測步驟106期 間利用在遞歸估計(jì)步驟104期間獲得的數(shù)據(jù)。由于支集檢測步驟而處理的信息可以用于計(jì) 數(shù)估計(jì)，如圖1的步驟110中所展示并且對應(yīng)于遞歸取樣算法的步驟7。如上文結(jié)合遞歸取樣 算法的步驟8所描述，在對支集集合計(jì)算LSE的步驟108期間利用在步驟106中獲得的信息。 隨后，如上文結(jié)合遞歸取樣算法的步驟9所描述，在步驟112中對支集集合的LSE和估計(jì)計(jì)數(shù) 求平均值。根據(jù)所述方法的一實(shí)施例，還在步驟112中對在步驟116期間獲得的先前估計(jì)值 求平均值。如上文結(jié)合遞歸取樣算法的步驟10所描述，在步驟114中獲得新估計(jì)值。
[0193] 根據(jù)一個(gè)此類實(shí)施例的方法還能夠分析所述方法的計(jì)算復(fù)雜度和估計(jì)誤差。
[0194] 更精確地，在下文中，分析所述方法的復(fù)雜度和誤差方差，并且引入用于更穩(wěn)固支 集檢測的表決算法。
[0195]表示所述方法的一個(gè)實(shí)施例的圖1的框圖可擴(kuò)展到包括逐次窗口之間的可變重疊 的方法。
[0196] 要考慮的是其中經(jīng)由具有0<τ< η重疊的遞歸開窗執(zhí)行感測的一般化。
[0197] 如果AelT-指示取樣矩陣，那么i指示窗口指數(shù)，并且ru為取樣效率，即直至?xí)r間 (n+i)為止所獲取的總樣本與所感測項(xiàng)的數(shù)目的比率。對于一個(gè)窗口，取樣效率為m/n，這是 因?yàn)槿泳仃嚍锳ER_。
[0198] 到第i窗口結(jié)時(shí)，在已獲取im個(gè)樣本時(shí)已恢復(fù)n+(i_l)T個(gè)元素。漸近取樣效率為： .,. .,. hu m
[0199] " := 1剛7,二―一7~~-^：=- ,，,， ->· ；/ + (/-1 )τ τ
[0200] 如果替代用于使用排組τ更新的en編碼中的編碼（即，通過使用由環(huán)形移位取樣矩 陣τ時(shí)間所獲得的矩陣），那么漸近取樣效率變成： ,· m + (/ - l)r ,
[0201 ] η = Inn---- = 1 ，一！ /_，+.(/_ l)r
[0202] 在后一種情況下，遞歸取樣方法漸近地等效于每一時(shí)間個(gè)例獲取一個(gè)樣本。所述 方法的益處在于噪聲抑制。通過獲取重疊窗口，以最小的L?/r」-次數(shù)感測每一元素，因此 使用多個(gè)的協(xié)作解碼可用于提高估計(jì)準(zhǔn)確度。
[0203] 先前在本文檔中討論了LASSO到信號(hào)支集估計(jì)的應(yīng)用。進(jìn)一步在本文檔中，引入利 用用于在高測量噪聲中的更穩(wěn)固支集檢測的逐次窗口上的估計(jì)支集的方法。在信號(hào)幅值并 非足夠高以經(jīng)受所述噪聲水平以上的噪聲時(shí)，前述支集檢測機(jī)制可錯(cuò)過非零位置(漏報(bào))或 檢測錯(cuò)誤支集(誤肯定）。因此，先前在本文檔中討論的支集檢測定理可使用較小正則化常 數(shù)λ來以降低成功概率為代價(jià)檢測較低最小非零值的支集。假設(shè)誤肯定隨機(jī)地分布在所有i 的集合{〇r_，n-l}\supp(X(1))上，通過引入位置需要經(jīng)檢測為支集的最小次數(shù)的閾值，可 在低信號(hào)中減少對噪聲體系的誤肯定。
[0204] 通過引入'表決機(jī)'，在表決情況下獲得的兩步算法可表示在圖1中的支集檢測框 106內(nèi)。所述兩步算法通過如下求解LASSO來起作用
[0205]
[0206] 如果將ξ!設(shè)定為>0,那么找到;^的絕對值大于ξι的指數(shù)來估計(jì)x(i)的支集;在第i 窗口中
[0207] 5f =(/:丨養(yǎng)荔}。
[0208]含有選票的序列定義為{Vl}，并且將指數(shù)i用于最小二乘估計(jì)(LSE)的次數(shù)定義為 {U}。在算法的開始，將{^丨和丨^丨設(shè)定為零。對于每一窗口，在集合中的所述位置上的選票 經(jīng)相加作為6~-:^?+1+1所述集合由〇旨示，其中下標(biāo)5； ("+〗用于將窗口內(nèi)的指數(shù)轉(zhuǎn) 換成流式傳輸數(shù)據(jù)上的總體指數(shù)。通過對選票{vd之?dāng)?shù)目應(yīng)用閾值|262+，找到已經(jīng)足夠多 次表決的可接受為非零的指數(shù)并將其存儲(chǔ)在
[0209] = 中。
[0210] 選擇閾值|2以使得，因此產(chǎn)生用于LSE的超定系統(tǒng)?；谶@些指數(shù)求解超 定最小二乘問題，
[0211]
[0212]其中是通過提取由集合#指數(shù)的A(1)的列所獲得的矩陣。接著為了執(zhí)行對最 小二乘估計(jì)值求平均值，回收數(shù)目針對用于LSE程序中的條目遞增如下
[0213] Lsu>+i +1 〇
[0214] 矢量無(/)在一#1中，并且矢量x'eRn是通過將由^;)指數(shù)的元素設(shè)定成最小二乘估 計(jì)值(如if =i(i))并將所有其它指數(shù)設(shè)定成〇來產(chǎn)生的。接著如下更新平均估計(jì)值：
[0215]
j=0, 1，，，_，n-1 〇
[0216] 在下文中分析根據(jù)一個(gè)實(shí)施例的方法的估計(jì)誤差方差和計(jì)算復(fù)雜度。
[0217]在進(jìn)行對兩步RCS方法的估計(jì)誤差方差的分析之前，引入以下輔助定理：
[0218] 輔助定理5.1:由?；標(biāo)示在方程式(4)中對LASSO的解，由/:=supp〇標(biāo)示其支集集 合，并且通過
，所述最小二乘解受限于列A:
[0219] 滿足以下方程式：
[0220]
〇
[0221] 獨(dú)立于所選支集，以下各者適用于應(yīng)用在L